Burgers方程是一类非常重要的动力学模型,该方程在气体动力学,弹性力学,水资源污染以及连续随机过程等许多领域都有着广泛的应用.该类方程的定解问题常常伴有激波现象产生,从而给数值求解带来很大的困难.因此,用高效的数值计算方法求解Burgers方程具有重要的理论和现实意义.1915年Bateman在研究流体运动时提出了Burgers方程.随后, Lager-strom等人在研究一维非定常Navier-Stokes (N-S)方程时,发现Burgers方程是N-S方程的一个简化模型.该方程是描述对流扩散之间相互影响的最基础的模型,它虽然不包含压力梯度项,却包含非线性对流项和扩散项,这就保留了N-S方程混合型的特性.因此, Burgers方程不仅可以作为流体动力学中N-S方程的简化模型,而且还可以代表浅水波问题中以及当代交通流动力学中的数学模型.本文提出了Burgers方程的两重网格有限差分方法.该方法是在粗网格上求解一个空间步长为H的非线性问题,在细网格上求解一个空间步长为h的线性问题.这是一种隐式格式且无条件稳定,同时能够达到与单水平方法求解下相当的收敛阶.由于单水平方法需要在细网格上求解一个大型的非线性问题,因而会花费过多的计算时间,而我们提出的方法却不必要求解大型的非线性问题,从而可以节省大量的计算时间.与此同时,本文还讨论了在矩形区域上一类具有第二边值条件的椭圆问题的块中心差分方法,该方法兼具了有限差分方法计算简单和混合元方法高精度的优点.在一维情形下,我们讨论均匀网格上带有间断系数的两点边值问题并给出了数值实验;在二维情形下,我们分别讨论在非均匀网格和均匀网格上的块中心差分格式,数值实验结果表明,非均匀网格对于大梯度问题效果比较好.全文共有5节,第1节是序言部分,简单介绍Burgers方程的研究背景,目的和意义,以及Burgers方程数值求解方法的研究现状.此节最后我们给出本文的组织结构.第2节提出线性化的Burgers方程的Crank-Nicolson格式,该格式是二阶的显式差分格式,并且无条件稳定的.由于该格式是非线性的,所以首先要对格式中的非线性项u进行线性化处理,进而进行求解.数值实验表明该格式具有高精度性和有效性.第3节介绍Burgers方程的两重网格有限差分方法,它是一种无条件稳定的隐式差分格式,并且能够达到与单水平方法求解下相当的收敛阶.此节还给出该格式的稳定性证明以及相应的数值试验,数值结果与理论分析吻合,说明该格式是有效的.第4节考虑二阶椭圆问题,通过引入一阶导数变量u构造出离散块中心差分格式.并在一维情形下,讨论均匀网格上带有间断系数的两点边值问题;在二维情形下,分别讨论非均匀网格和均匀网格上的块中心差分格式,与此同时,给出对应的数值实验.第5节是结论部分,对全文进行总结,通过对数值结果的比较,我们提出的两重网格方法能够达到与单水平方法求解下相当的收敛阶,并且提高了计算效率.而文中提出的针对二阶椭圆问题的块中心差分格式,在非均匀网格下更适用于大梯度问题.