【摘 要】
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本文主要研究分形方块的Lipschitz等价分类和Sierpi（?）ski地毯的拟对称刚性两个方面的内容.（1）分形方块的Lipschitz等价分类自相似集中的两个经典集合是Sierpi（?）ski垫和Sierpiinski地毯.分形方块作为Sierpi（?）ski垫和Sierpi（?）ski地毯的推广,定义如下:设n ≥ 2,D = {d1,d2,…,dm}（?）{0,1,…,n-1}2为一个数
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本文主要研究分形方块的Lipschitz等价分类和Sierpi（?）ski地毯的拟对称刚性两个方面的内容.（1）分形方块的Lipschitz等价分类自相似集中的两个经典集合是Sierpi（?）ski垫和Sierpiinski地毯.分形方块作为Sierpi（?）ski垫和Sierpi（?）ski地毯的推广,定义如下:设n ≥ 2,D = {d1,d2,…,dm}（?）{0,1,…,n-1}2为一个数字集.Si（x）=1/n（x+di）.∈ D,i =1,2,….m,则（?）是R2上的一个迭代函数系（IFS）[1],从而存在唯一的自相似集F（?）R2满足集方程F=（?）Si（F）= 1/n（F+D）,称F为由n和D确定的分形方块.分形方块的形成与Cantor三分集类似:第一步,按照给定的D,将单位正方形[0,1]2等分为n2个小正方形,留下m个（留下的小正方形在本文图中涂黑）;第二步,将留下的每个小正方形按第一步方式再等分成n2个小正方形后留下m个;如此反复下去,最后得到的极限集就是由n和D确定的分形方块F.不同的数字集D得到不同的分形方块,用Fn,m表示当m,n给定时的分形方块族,Fn,m中的所有分形方块的豪斯多夫维数均为log m/log n[1].本文研究并解决了一类分形方块F3,6的Lipschitz等价分类问题.主要方法是:如果观察到两个分形方块之间存在双Lipschitz映射,则将它构造出来;如果不存在,则利用一些拓扑不变量是否存在来证明两个分形方块不是同胚,也就不是Lipschitz等价的.（2）Sierpi（?）ski地毯的拟对称刚性Bonk和Merenkov[2-4]得到了 一系列Sierpiinski地毯上拟共形和拟对称映射的有关性质,特别是获得了经典Sierpi（?）ski地毯S3上的拟对称刚性结果,即Sierpi（?）ski地毯S3到自身的拟对称映射是欧氏等距映射.他们主要是利用共形模和S3几何结构上的对称性获得此刚性结果.Zeng和Su[5]在S3的基础上构造了一类正方形地毯,证明了此正方形地毯具有与S3相同的拟对称刚性性质.本文中构造了一类新的Sierpi（?）ski地毯一三角形地毯,并运用地毯模和弱切等工具证明了在此种地毯上拟对称自映射群是欧氏等距群.
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