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近来，由于工程物理和化学领域新问题的提出，奇异非线性常微分方程及方程组边值问题的正解这一课题引起了广泛关注，在研究过程中，人们对方程右端的非线性函数提出了种种约束条件，本文第二章和第三章从线性全连续算子的特征值和谱半径的角度出发，对边值问题中非线性函数提出了一类新型的约束条件，并且利用锥理论和不动点指数理论获得了正解的存在性结果，推广了一些相应文献的结论.第四章用锥拉伸与压缩不动点定理得到了一般形式的Sturm-Liouville型微分方程组的正解，改进了以往一些文献中相应的结果.
第二章考虑四阶奇异边值问题u(4)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(O，1)，(1)a1u(0)-b1u(0)=0，c1u(1)+d1u(1)=0，(2)a2u"(O)-b2um(O)=0，c2u"(1)+d2um(1)=O，(3)和u(4)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(0，1)，(4)a2u(O)-b2u(0)=O，c2u(1)+d2u(1)=O，(5)a1u"(O)-b1um(0)=0，c1u"(1)+d1um(1)=O，(6)并且ai，bi，ci，di满足ai≥0，bi≥0，ci≥0，di≥0，ai2+bi2＞O，ci2+di2＞0，△i=aici+aidi+bici＞O，(i=1，2).假设(H1)h：(0，1)→[0，+∞)连续，h(t)在(0，1)上不恒为零，且允许在t=0及t=1处奇异;(H2)f：[O，+∞)→[O，+∞)连续；(H3)∫01Gi(s，s)h(s)ds＜+∞，i=1，2.Gi(t，s)=1/△i{(bi+ais)[di+ci(1-t)],0≤s≤t≤1,i=1，2.(bi+ait)[di+ci(1-s)],0≤t≤s≤1.在条件liminfu→0+f(u)/u＞λ1*，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1*；(7)或limsupu→0+f(u)/u＜λ1，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1.(8)下，边值问题(1)-(3)至少存在一个正解.在条件liminfu→0+f(u)/u＞λ1，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1，(9)或limsupu→0+f(u)/u＜λ1*，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*，(10)下，边值问题(4)-(6)至少存在一个正解.这里λ1，λ1*是相应线性算子的第一特征值.第三章研究了边值问题(-1)nu(2n)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(O，1)，(11)u(2i)(O)=u(2i)(1)=0.(12)和(-1)nu(2n)(t)=h(t)f(u(t))，t∈(0，1)，(13)u(2i)(O)=u(2i+1)(1)=O.(14)其中i=O，1，2，…，n-1.假设以下条件满足(F1)h：(0，1)→[O，+∞)连续，h(t)在(0，1)上不恒为零，且允许在t=O及t=1处奇异；(F2)f：[0，+∞)→[0，+∞)连续；(F3)∫10Gi(s,s)h(s)ds＜+∞，i=1，2，其中G1(t，s)={t(1-s)，0≤t≤s≤1，s(1-t)，0≤s≤t≤1.G2(t，s)={t，0≤t≤s≤1，s，0≤s≤t≤1.是相应齐次边值问题的Green函数.limsupu→0+f(u)/u＜λ1，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*；(15)或liminfu→0+f(u)/u＞λ1，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1.(16)则边值问题(11)，(12)至少存在一个正解.(F1)，(F2)，(F3)满足，且liminfu→0+f(u)/u＞λ1*，limsupu→+∞f(u/)u＜λ1*；(17)或limsupu→0+f(u)/u＜λ1*，liminfu→+∞f(u/)u＞λ1*.(18)则边值问题(13)，(14)至少存在一个正解.这里λ1，λ1*是相应线性算子的第一特征值.第四章考虑了边值问题-Lu(t)=a(t)f(u(t)，v(t))，-Lv(t)=b(t)g(u(t),v(t))，0＜t＜1.(19)R1(u)=α1u(0)-β1u’(O)=0，R1(y)=α1v(0)-β1v’(O)=O，R2(u)=α2u(1)+β2u’(1)=O，R2(v)=α2(1)+β2v’(1)=O.其中Lu=(p(t)u’)’+q(t)u，αi≥0，βi≥0，αi2+βi2≠O，i=1，2，p(t)∈C1[0，1]，q(t)∈C[O，1]，p(t)＞O，q(t)≤0，()t∈[0，1]，a(t)，b(t)允许在t=0和t=1处奇异.假设(S1)f，g：[0，+∞)×[0，+∞)→[O，+∞)连续；(S2)a(t)，b(t)：(O，1)→[O，+∞)连续，不恒为O，且允许在t=O和t=1处奇异；(S3)m1=∫10G(s，s)a(s)ds＜+∞，m2=∫10G(s，s)b(s)ds＜+∞，这里G(t，s)=1/w{u(t)v(s)，0≤t≤s≤l，u(s)v(t)，O≤s≤t≤1.w＞O.limsupu→0+v≥0f(u,v)/u＜m1-1，limsupv→0+u≥0g(u,v)/v＜m2-1；(20)liminfu→+∞v≥0f(u,v)/u＞M1-1，liminfv→+∞u≥0g(u,v)/v＞M2-1.(21)或limsupu→0+v≥0f(u,v)/u＜m1-1，limsupv→0+u≥0g(u,v)/v＜m2-1；(22)liminfu→+∞v≥0f(u,v)/u＞Q1-1，liminfv→+∞u≥0g(u,v)/v＞Q2-1.(23)则边值问题(19)至少有一正解.