【摘 要】
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本论文研究了均衡约束数学规划问题（MPEC）的一类特殊问题：对称锥互补约束数学规划问题（SCMPCC）这类问题不但在经济和工程中具有应用,许多数学问题,例如对称锥双层规划问题,鲁棒优化问题,对称锥逆问题等都可以转化为对称锥互补约束数学规划问题来求解,因此研究该问题的最优性条件和求解算法就变得非常重要.论文讨论了对称锥互补约束数学规划问题的稳定性条件及光滑化方法,并且详细地讨论了它的特例二阶锥互补约
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本论文研究了均衡约束数学规划问题（MPEC）的一类特殊问题：对称锥互补约束数学规划问题（SCMPCC）这类问题不但在经济和工程中具有应用,许多数学问题,例如对称锥双层规划问题,鲁棒优化问题,对称锥逆问题等都可以转化为对称锥互补约束数学规划问题来求解,因此研究该问题的最优性条件和求解算法就变得非常重要.论文讨论了对称锥互补约束数学规划问题的稳定性条件及光滑化方法,并且详细地讨论了它的特例二阶锥互补约束数学规划问题（SOCMPCC）和半定矩阵锥互补约束数学规划问题（SDCMPCC）的稳定性条件和光滑化方法的收敛性.本论文的主要研究成果可概括如下：第三章提出了对称锥互补约束数学规划问题的稳定性条件和线性无关约束规范的定义,利用对称锥投影函数的广义雅可比给出了对称锥互补约束数学规划问题的C-稳定点和线性无关约束规范（SCMPCC-LICQ）的表达形式.对于特例二阶锥互补约束数学规划问题,我们不但通过二阶锥投影函数的广义雅可比定义了C-稳定性条件,还利用二阶锥投影函数的正则伴同导数,极限伴同导数引入了M-,S-稳定点的概念,并且基于二阶锥互补约束数学规划问题的线性无关约束规范（SOCMPCC-LICQ）和二阶锥上水平严格互补条件（SOC-ULSC）的定义,建立了在不同的约束规范下各稳定点之间的等价关系.第四章研究了求解对称锥互补约束数学规划问题的光滑化方法,并详细地讨论该方法的收敛性.首先采用光滑化的对称锥投影函数来近似对称锥互补约束,从而构造了带有对称锥互补约束优化问题的光滑近似问题,并分析了当光滑参数趋于0时,光滑近似问题的可行集,最优解集,最优值函数及稳定点的收敛性.具体地,在SCMPCC-LICQ假设下,证明了光滑近似问题的可行集与原问题的可行集之间的Hausdorff距离的收敛率是光滑参数的同阶量,并且光滑近似问题的最优值函数与最优解集映射在光滑参数等于0时分别是Lipschitz连续和外半连续的,光滑近似问题的KKT点在光滑参数趋于0时收敛到对称锥互补约束优化问题的C-稳定点.对于二阶锥互补约束优化问题和半定矩阵锥互补约束优化问题的光滑化方法,不但继承了对称锥互补约束优化问题光滑化方法的一切收敛性结论,在不同的假设条件下,我们还建立了光滑近似问题的KKT点分别到这两个问题的M-稳定点和S-稳定点的收敛性.第五章考虑一类目标函数和约束集合中的参数都调整的二阶锥二次规划逆问题.这类问题可以等价地转化为一类带有线性二阶锥互补约束并且目标函数是半光滑可微的优化问题,这本质上是一类二阶锥互补约束数学规划问题.利用光滑化的二阶锥投影函数,构造了这类问题的光滑近似问题.基于第四章讨论的二阶锥互补约束数学规划问题的光滑化方法,证明了光滑近似问题的可行集和最优解集映射在光滑参数等于0时分别是连续的和外半连续的.我们采用光滑化牛顿法来求解这个光滑近似问题,并给出了收敛性定理.最后利用Matlab编程用数值实验验证了光滑化牛顿法求解这类逆问题的有效性.
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