半环上矩阵代数自同构的若干研究

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矩阵代数及其子代数的自同构是矩阵理论研究领域中的一个非常活跃和成果丰硕的课题.早在1927年,Skolem就获得了著名的Skolem-Noether定理:域上的矩阵代数的自同构皆为内自同构.此后,人们在这个领域上已经做了大量的研究.在这些研究中我们看到所涉及的研究对象主要是域或环上的矩阵代数的自同构.本文主要研究半环上矩阵代数的自同构,共分四章. 第一章主要介绍本文中要用到的一些基本概念和基本引理. 第二章主要探讨交换半环上n阶矩阵代数Mn (R)的自同构.在这一章中,我们首先利用半环上常量矩阵的性质把环上矩阵代数的性质拓广到半环上,获得了交换半环上矩阵代数自同构的一些代数性质,接下来采用积和式的方法证明任意非负交换半环上n阶矩阵代数Tn (R)的自同构的n次幂必为内自同构. 第三章主要考虑交换半环上n阶三角矩阵代数的自同构.利用矩阵的一些性质,克服了环上可逆矩阵在半环中未必可逆的难点,证明交换半环R上的n阶三角矩阵代数Tn (R)的自同构都是内自同构. 第四章主要刻画半环上三角矩阵C -代数乘法半群自同构.证明当R是一个有效半环或幂等元都是中心元的半环时,R上的三角矩阵C -代数Tn (R)上的映射Φ是乘法半群自同构当且仅当存在Tn (R)中的可逆矩阵G和R上的半环自同构τ使得?A =( aij )n×n∈Tn(R),均有Φ( A) =G?1τ(A)G,这里τ( A) = (τ(aij))n×n. 本文所获得的结果拓广了前人的主要研究结论.
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