本文的主要内容有以下三个部分．　　 1．秩约束下矩阵方程的极秩和秩约束条件下矩阵方程的最小二乘解　　 首先我们给出秩约束条件r(X)=k下r(A-BX)的极小值；其次给出秩约束条件r(X)=k，X≥0下r(A-BXBH)的极小值，其中A∈Cm×m是Hermite矩阵，B∈Cm×n，r(B)=b；最后给出秩约束条件r(C-AXB)=min下‖G-AXB‖F=min的解，其中A∈Cm×n，B∈Cp×q，C∈Cm×q给定。　　 2．若干矩阵广义逆的表示　　 首先利用矩阵A的秩为r的子矩阵Aα,*(A*,β)给出矩阵A的{2}-逆的表示；其次，给出矩阵A的k-阶子式给出Moore-Penrose逆、群逆的表示，其中k≥(A)；最后我们应用广义奇异值分解给出一类秩约束条件下矩阵和的Moore-penrose逆的表示。　　 3．EP和加权EP矩阵的刻画　　 设A∈Cm×m，我们称A是EP矩阵，若R(A)=R(AH)．A是EP矩阵当且仅当r[A AH]=r(A)．我们首先罗列出已有文献中关于EP矩阵的等价关系，并利用矩阵Moore-Penrose逆、群逆和秩等式r(A)=r(A2)等给出EP矩阵的若干新的刻画，最后，我们给出加权EP矩阵的若干刻画。