科学计算和工程应用中的诸多领域,如流体力学,结构力学,约束最优化,电磁学,图像恢复,信号处理,控制理论和系统理论等,都与线性系统的求解息息相关.因此,根据系统的结构和特点设计出稳定,高效的数值算法具有十分重要的理论意义和实际应用价值.本论文主要研究了两类线性系统的求解,一类是具有奇异,非Hermitian半正定系数矩阵的大型稀疏线性方程组的数值求解,另一类是线性矩阵方程的数值求解及应用.首先,我们研究了系数矩阵为奇异,非Hermitian半正定矩阵的线性方程组的数值求解问题.通过为Hermitian和反Hermitian（HSS）迭代方法引入一类奇异预处理子,我们出了一种广义的预处理HSS（GPHSS）迭代方法.并证明了在一定条件下,该方法收敛到相容和不相容的奇异线性方程组的最小范数最小二乘解,并且该收敛不依赖于初始估计向量的选取.同时,我们还分析了GPHSS预处理的GMRES方法的收敛性质.此外,我们还证明了GPHSS迭代方法可以无条件收敛到奇异鞍点问题的最小范数最小二乘解.最后,我们用数值例子验证了GPHSS迭代方法和相应的预处理子的可行性和有效性.其次,我们将求解一类非奇异块二乘二线性方程组的PMHSS迭代方法推广到了奇异的情况,出了广义的PMHSS（GPMHSS）迭代方法.收敛性分析表明,GPMHSS迭代方法可以无条件收敛到相容和不相容的奇异块二乘二线性方程组的最小范数最小二乘解.同时,对应的预处理GMRES方法也可以收敛到相容的奇异块二乘二线性方程组的最小范数最小二乘解.数值例子验证了GPMHSS迭代方法和GPMHSS预处理子的稳定性和高效性.然后,我们探讨了如何数值求解多边形区域上的椭圆偏微分方程.借助于Schwarz-Christoffel（SC）共形映射和Matlab中的SC工具包,我们将定义在多边形区域上的椭圆偏微分方程转化到矩形区域上,并利用有限差分方法离散得到一类特殊的矩阵方程.因为转化后的偏微分方程的复杂性,使得相应的矩阵方程涉及到了Hadamard乘积,故常见的用于求解一般广义矩阵方程的方法都不完全适用,因此我们详细地讨论了如何数值求解该类矩阵方程.此外,我们还分析了如何选取Schwarz-Christoffel映射中的控制顶点.数值实验结果验证了该方法的可行性和有效性.最后,为了解决向量形式的Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）算法在求解矩阵方程时的计算弊端,我们探讨了如何利用矩阵形式的Sherman-Morrison-Woodbury算法来数值求解小规模和中等规模的广义线性矩阵方程,并简单分析了该方法的稳定性.然后,通过将其与投影方法相结合,我们将矩阵形式的SMW算法应用到了大规模广义矩阵方程的求解中.此外,基于矩阵形式的SMW算法,我们还给出了一种求解线性张量方程的方法.最后,我们用数值例子验证了这些算法的有效性和稳定性.