【摘 要】
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Atiyah-Singer指标定理是二十世纪中具有里程碑意义的定理,此定理蕴含了其他学科的三个重要定理,分别是：微分几何的Gauss-Bonnet-Chern定理,拓扑中的Hirzebruch定理,以及代数
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Atiyah-Singer指标定理是二十世纪中具有里程碑意义的定理,此定理蕴含了其他学科的三个重要定理,分别是：微分几何的Gauss-Bonnet-Chern定理,拓扑中的Hirzebruch定理,以及代数几何中的Riemann-Roch定理.Atiyah-Singer指标定理对于偶数维光滑流形M有如下等式成立：显然公式左边是与分析有关的,但同时公式右边是一个关于示性类的积分,由于示性类是具有拓扑意义的,所以右边反映了流形本身的拓扑性质,更简单的说Atiyah-Singer指标定理给出了一个连接分析与拓扑的桥梁.由于Atiyah-Singer指标定理有不同的证明方法,但由公式而言,不同的证明里必须要有Dirac算子,示性类以及Clifford模,事实上Dirac算子的定义是在Clifford模上进行的.本文接下来会依次给出Atiyah-Singer指标定理所需要的基本概念进行介绍并且利用热方程的性质证明对其进行证明,同时也会进一步的利用该指标定理来证明经典的Gauss-Bonnet-Chern定理
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