【摘 要】
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大约200年前，Legendre和Gauss就已经注意到不大于x的正整数中素数的个数大概为x/logx．这是我们熟知的素数定理．这个结果已由Hadamard和de la Vallee Poussin于1896年分别独立证
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大约200年前，Legendre和Gauss就已经注意到不大于x的正整数中素数的个数大概为x/logx．这是我们熟知的素数定理．这个结果已由Hadamard和de la Vallee Poussin于1896年分别独立证明．素数定理的另外一种表达形式是ψ（x）～x，其中ψ（x）=∑n≤Λ（n）．事实上，我们有下面渐进公式在黎曼假设下,上式的余项可以做到x~(1/2) log~2 x. 对于算术序列中的素数定理,我们有:对于互素的正整数a和q,其中,(1)式对于比较大的q还没有被证明.对于比较小的q,Siegel-Walfisz定理表明:对于互素的正整数a和q及任意的固定常数A>0,当q<(log x)~A时,渐进公式恒成立.在广义黎曼假设条件下,上式的余项还可以做到O(x~(1/2)log~2 x),并且(1)对于满足q=O(x~(1/2)log~(2+ε) x)的q均成立. Bombieri-Vinogradov在不考虑广义黎曼假设的条件下,得到了以下定理:对于任意固定的常数A>0,存在常数B=B(A),当Q=x~(1/2)(log x)~(-B)时,成立.
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