【摘 要】
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两块可分凸优化问题在科学与工程中有很多重要应用,乘子交替方向法（ADMM）和Peaceman-Rachford分裂方法（PRSM）是求解该类问题的经典算法.PRSM的收敛性仅在目标函数的凸性下无法保证,但是由于进行了两次乘子更新,PRSM的数值效果优于ADMM.众所周知,传统ADMM和PRSM均以增广拉格朗日函数为效益函数,当子问题求解较为困难时,线性化技术被广泛使用.在增广拉格朗日函数的基础上,
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两块可分凸优化问题在科学与工程中有很多重要应用,乘子交替方向法（ADMM）和Peaceman-Rachford分裂方法（PRSM）是求解该类问题的经典算法.PRSM的收敛性仅在目标函数的凸性下无法保证,但是由于进行了两次乘子更新,PRSM的数值效果优于ADMM.众所周知,传统ADMM和PRSM均以增广拉格朗日函数为效益函数,当子问题求解较为困难时,线性化技术被广泛使用.在增广拉格朗日函数的基础上,通过增加一个半正定或正定的邻近项,以新产生的函数为效益函数,那么利用临近算子就可以很快地得到效益函数的闭式解.然而,当邻近项的权重太大时,会导致原始问题步长下降,解的改进变慢.故研究求解两块可分凸优化问题数值效果好的、有收敛性保证的、带不定邻近项的改进PRSM具有十分重要的理论和实际应用价值.针对两块可分凸优化问题,本文拟利用ADMM和PRSM的迭代格式,结合使用不定线性化、步长调整策略、惯性和回代等多种理论和技术,设计计算量小且行之有效的算法.基于变分不等式的证明框架,研究算法的收敛性,分析算法的复杂度和参数最优取值,通过仿真和实际问题验证这些算法的可行性和高效性.主要工作和创新点如下:1.利用回代步,设计了一个带回代步的广义邻近PRSM算法.首先将PRSM算法的第一个对偶变量更新加上一个步长,然后利用广义ADMM算法类似地改写PRSM算法第二个子问题和第二个对偶变量的更新公式,并且对第二个子问题作不定线性化,以保证第二个子问题可以在更短的时间内找到闭式解.算法的主要优点在于将第二个对偶步长的取值范围由（0,1）扩展到了（0,2）,并且做了不定线性化,可以很好地改进算法的数值结果.主要难点在于收敛性证明,这里我们增加回代步,可以保证算法的全局收敛性和遍历意义下的收敛率.2.利用惯性步,提出了一个惯性广义邻近PRSM算法.算法分为两步,第一步是惯性步,第二步是广义邻近PRSM算法步.算法的主要优点就是将第二个对偶步长的取值范围由（0,1）扩展到了（0,2）,在标准的假设条件下,证明了算法的全局收敛性,分析了算法的复杂度,并且证明了此时邻近项无法取到不定矩阵.3.结合严格压缩PRSM算法和回代步,引入了一个带回代的严格压缩PRSM算法.算法首先进行严格压缩PRSM步,然后执行回代步.由严格压缩PRSM步产生预测序列,由回代步校正生成的序列.我们发现惯性和回代在某种意义上有等价性,而且利用变分不等式框架可以很好地证明算法的全局收敛性和非遍历意义下的收敛率.数值实验表明,相对于固定常数,自适应调整惯性参数或者回代步长对数值效果影响不大.4.整合严格压缩PRSM算法和惯性步,构造了一个惯性邻近严格压缩PRSM算法.算法分为两步,第一步是惯性步,第二步是严格压缩PRSM算法步.首先利用变分不等式的框架得到一个预测校正结果,然后对惯性参数增加一个必要的假设条件,接下来利用惯性邻近点方法和重要不等式进行对预测校正结果进行缩放.证明了算法求解两块可分凸问题的残差收敛、目标函数值收敛和全局收敛性,并且利用目标函数值和约束的残差分析了算法的复杂度.通过反例证明了线性化参数的最优取值.通过LASSO模型,各项同性和各向异性全变差去噪问题,图像动画纹理分解以及计算机断层成像问题的数值实验,可以看出不定线性化、步长调整策略、惯性步和回代步对数值结果的改进是可行的.所提出的算法即便是和比较成熟的算法相比,也是非常有优势的.灵敏度分析表明所提出算法是非常有效和鲁棒的.
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