【摘 要】
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近年来,人们发现在统计学、排队论、控制理论、网络优化等领域中,许多问题最终都可以归结为求一类特殊的对称非线性矩阵方程X±A*X-nA=Q（n=1,2）的正定解.对此类矩阵方程解的研究引起了学者们的广泛关注.随着研究的深入,对此类非线性矩阵方程的研究也逐渐被推广到诸多更为广泛的形式.本文研究三类推广型的对称非线性矩阵方程:X±A*X-1A=Q、Xs±A*X-tA=Q（s,t为自然数）、X±A*X-q
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近年来,人们发现在统计学、排队论、控制理论、网络优化等领域中,许多问题最终都可以归结为求一类特殊的对称非线性矩阵方程X±A*X-nA=Q（n=1,2）的正定解.对此类矩阵方程解的研究引起了学者们的广泛关注.随着研究的深入,对此类非线性矩阵方程的研究也逐渐被推广到诸多更为广泛的形式.本文研究三类推广型的对称非线性矩阵方程:X±A*X-1A=Q、Xs±A*X-tA=Q（s,t为自然数）、X±A*X-qA=Q（q>0为任意正实数）、X±∑mi=1A*iX-qAi=Q、X+∑mi=1lA*iX-qAi-∑nj=1B*jX-rBj=Q（0<q,r≤1）,主要讨论其可解性、数值求解算法及正定解的扰动分析等方面内容.1.讨论非线性矩阵方程X-A*X-1A=Q的正定解,其中Q为Hermite正定阵,A*表示矩阵A的共轭转置矩阵,X表示X的共轭矩阵.证明了该方程总有唯一正定解,且若系数矩阵A非奇异,该方程还有唯一负定解.基于Sherman-Morrison-Woodbury公式,得到方程X-A*X-1A=I的唯一正定解和非线性矩阵方程y+B*Y-1B=P（其中B,P由矩阵A唯一确定）的极大正定解之间的一种良好关系,从而给出了计算X-A*X-1A=I的唯一正定解的几个高效算法,如无逆不动点迭代算法、保结构加倍算法、牛顿迭代法等.同时还研究了非线性矩阵方程X-A*X-1A=I与Y+B*Y-1B=Q的正定解的关系,并对减号方程X-A*X-lA=I的唯一正定解,给出几个新的迭代算法.最后通过数值例子验证和比较了所给算法的有效性.2.讨论方程X±∑mi=1A*iX-qAi=Q的正定解（A1,A2,…,A,n为n×n非奇异复矩阵,Q为Hermite正定阵,0<q≤1,m为自然数）.当q=1时,已有文献证明减号方程X-∑mi=1A*iX-1Ai=Q必有唯一正定解,本文讨论其唯一正定解的扰动问题,借助于Schauder不动点定理,给出两个易于计算的扰动上界,并进一步得到其Rice条件数的显式表达式.对加号方程X+∑mi=1A*iX-qAi=Q（0<q≤1）,讨论其正定解存在的条件及区间,证明了若该矩阵方程存在正定解,则必有极大正定解,并给出极大正定解的迭代算法.同时讨论了极大正定解的扰动问题,给出扰动上界及Rice条件数的显式表达式.最后,通过数值例子对所给算法和扰动估计式进行了验证.3.讨论方程X+∑mi=1A*iX-qAi-∑nj=11B*jX-rBj=Q的正定解,其中m,n≥1为自然数,0<q,r≤1,Ai,Bj（i=1,2,…,m,j=1,2,..,n）为n×n复矩阵,Q 为Hermite正定矩阵.分别在q=r=1和0<q,r<1两种情形下,利用Bhaskar-Lakshmikantham不动点定理得到该方程存在唯一正定解的条件,给出计算唯一正定解的迭代算法,并进一步分别讨论了这两种情形下正定解的扰动问题.
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