本文分两部分，第一部分是对如下形式的拟线性退化抛物方程(a)u/(a)t=(a)/(a)xi(aij(u，x，t)(a)u/(a)xj）+(a)/(a)xibi(u，x，t)+c（u，x，t），aij(u，x，t)ξiξj≥0，(∨)ξ∈RnCauchy问题讨论了解的存在唯一性;第二部分是讨论了黎曼流形中的一些几何问题，主要是将欧氏空间平行射线的概念推广到一般黎曼流形，并研究其所具有的性质。　　上述拟线性退化抛物方程来源于物理、力学、生物和金融等许多领域，研究该方程解的存在性、唯一性和稳定性及其他性质具有广泛的意义。当aij=0，i，j=1，2，…，n时该方程退化为守恒律型方程，因此一般没有古典解。　　当空间变量是一维时，人们对该退化抛物方程的Cauchy问题和第一边值问题解的存在唯一性已经进行了深入的研究。　　对于多个空间变量的情况，解的存在性研究也已得到了深入的结果，但对于解的唯一性，人们只是在一些特殊情况下证明了的Cauchy问题和第一边值问题解的唯一性。特别是对于强退化抛物方程，至今还没有令人满意的结果。　　基于已有的研究基础上，本文对上述方程提出了一个新的弱解概念，该概念隐含了原来所定义的弱解所丢弃的一些有用的信息。基于此概念，通过对BV函数的间断点集合Hausdorff测度的仔细分析，以及利用Kruzkov技巧等我们证明了上述方程BV解的存在唯一性。我们所定义的弱解的存在性是通过正则化方法以及弱收敛技巧得到的。　　本文的第二部分，基于对一些典型的黎曼流形几何性质的观察，结合已有的研究成果，我们首次给出了完备非紧黎曼流形上平行射线的定义，该定义在欧式空间中就是普通的平行射线。在流形的曲率有下界时，我们利用Toponogov比较定理，证明了过一射线外一点可引唯一的射线与原射线平行;并且利用Busemann函数的定义探讨了完备非紧黎曼流形上平行射线的的性质，证明了当流形的截曲率满足-a2≥KM≥-b2时，流形上的射线与欧式空间具有相同的各种平行性质;当流形的截曲率为非负时，情况则有本质的不同。利用核心的思想，我们还探讨了无穷多闭测地线等几何结构问题。