【摘 要】
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在组合数学中,经常借助多项式研究相应系数序列的性质,因此,多项式是连接离散数学和连续数学之间的桥梁,它可以使我们借助连续数学的相关知识去解决离散数学中的问题.多项式序列的研究是组合数学中的经典问题之一,包括其Jacobi型连分式表达式、Hankel行列式以及单峰型性质等的研究.由于多项式序列的Hankel行列式以及单峰型性质都可以借助Jacobi型连分式表达式得到,因此Jacobi型连分式表达式的
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在组合数学中,经常借助多项式研究相应系数序列的性质,因此,多项式是连接离散数学和连续数学之间的桥梁,它可以使我们借助连续数学的相关知识去解决离散数学中的问题.多项式序列的研究是组合数学中的经典问题之一,包括其Jacobi型连分式表达式、Hankel行列式以及单峰型性质等的研究.由于多项式序列的Hankel行列式以及单峰型性质都可以借助Jacobi型连分式表达式得到,因此Jacobi型连分式表达式的地位显得尤为重要.本文考虑了两类推广的多项式序列（Pn（q））n≥0和（Qn（q））n≥0,其中序列（Pn（q））n≥0包含许多经典的多项式序列,例如:圈积Cr（?）Sn上的欧拉多项式、错排多项式、二项欧拉多项式、B型二项欧拉多项式及A（B）型1/k-欧拉多项式;而圈积Cr（?）Sn上的对合多项式以及Hermite多项式是序列（Qn（q））n≥0的特例.本文主要利用Stieltjes-Rogers定理及正交多项式理论,证明了两类推广多项式序列一般生成函数的Jacobi型连分式表达式.作为应用,进一步得到了这两类推广多项式序列的Hankel行列式以及多项式序列（Pn（q））n≥0的强q-对数凸性.本文的具体内容如下:第一章介绍基本概念、发展现状以及本文的主要工作.第二章首先定义了两类推广的多项式序列（Pn（q））n≥0和（Qn（q））n≥0,其次证明了这两类推广多项式序列的Jacobi型连分式表达式.借助Jacobi型连分式表达式,我们最后得到了这两类推广多项式序列的Hankel行列式及多项式序列（Pn（q））n≥0的强q-对数凸性.第三章作为应用,得到了圈积Cr（?）Sn上的欧拉多项式、错排多项式、二项欧拉多项式、对合多项式、B型二项欧拉多项式、A（B）型1/k-欧拉多项式以及Hermite多项式的Jacobi型连分式表达式;然后借助Jacobi型连分式表达式进一步得到这些多项式的一些其他性质,如:Hankel行列式、强q-对数凸性、3-q-对数凸性、γ-正性以及q-SM性.第四章对本文进行总结.
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