偏微分方程的高精度紧致差分格式已经越来越受到人们的重视、也是近年来重要的研究方向.本文提出了一种新的离散能量分析技巧-离散H2能量方法.在不增加光滑性要求的前提下,该方法可以给出差分格式数值解误差的离散H2模估计.借助于离散Sobolev嵌入不等式得到最大模误差估计,从而给出数值解在最大模意义下的渐进展开式.我们利用离散H2能量方法,埘薛定谔方程、二阶双曲方程、色散方程和抛物方程初边值问题的高阶差分格式进行了较为系统地研究.也将该方法用于分析一类并行求解抛物问题的校正型显隐区域分裂算法.　　 离散H2能量方法是一种旨在获得数值解H2模误差的分析技巧.它以解函数的时间导数作为独立变量将初边值问题转化为一个混合方程组.并以此为出发点来构建差分离散格式,分析数值计算格式的稳定性和收敛性.通常,当混合方程组离散化之后.所引进的辅助变量可以从离散系统中消去而形成关于原问题的差分计算格式.引入新变量和混合方程组的主要目的在于对差分计算格式进行理论分析.　　 首先对在量子力学、光学、地震学和等离子物理学中出现的线性和非线性薛定谔方程建立了高阶紧敛格式.我们证明,二维和三维线性方程的四阶紧致差分格式在最大模意义下无条件稳定并收敛；而在一维情形下,离散H2能量法给出了数值解及其一阶差商的最大模误差估计.利用数值解关于网格离散参数(时间、空间步长)的渐进展开式.可以通过外推计算获得更高精度的逼近解.我们还构建了具有空间四阶精度的紧交替方向隐格式.并利用H2能量法证明了数值解的无条件稳定性,得到了差分解在最大模意义下的渐进展开式.由此利用外推方法得到了高精度的数值解.接着考虑了一类具有一股形式的广义非线性薛定谔方程的高精度逼近.应用两种不同的线性化策略.建立了两个三层线性化四阶紧格式并给出了收敛性分析.在呼吸波、孤立波和平面波的数值模拟中,线性化紧格式不仅改善Crank-Nicolson型格式的振幅误差,也改善相位误差；数值试验表明,时滞线性化方法比局部外推方法要好,因为不管在二阶格式还是在紧格式中,后者在长时间积分中更易于引发不规则振荡.　　 对于二阶双曲方程、色散方程和抛物方程.离散H2能量方法可以简化为一种时间方向分部求和技巧,并在通常离散能量方法的框架下实现,只是要适当增加连续解关于时间变量的光滑性.近年来,直接由二阶形式来构建波动方程的高精度格式逐渐得到人们的重视.在使用时间四阶格式计算第一层数值解的条件下,我们证明求解二维波动方程的三层显式格式和三层交替方向隐格式的解在最大模意义下二阶收敛.由于需要应用显式方法获取第一层的数值解,这些三层格式之数值解的渐进展开式中往往包含网格参数的奇数次幂项.从而需要利用三组网格的数值解作外推才可使得解精度提高两阶.为方便对初始条件的离散和应用变时间步长方法,并使得渐进展式中只含有网格参数的偶数次项,构建了一类两层紧交替方向隐格式,给出了误差的最大模估计.我们还对分析了线性色散方程的一个具有五个守恒律、无条件稳定的四阶紧差分格式,给出了离散解及其一阶差商的最大模误差估计.数值试验表明,该格式可明显改善Crank-Nicolson格式的相位误差.对于抛物问题,讨论了二维线性方程的交替方向和紧交替方向隐格式.利用离散H2能量法得到了离散解的最大模误差估计和渐进展开式.　　 显隐区域分裂算法是一类结构简洁、通信效率高、可直接利用串行程序的可扩展并行算法.由于在人工内边界处使用显式格式,该算法通常是条件稳定的,不能使用大步长进行时间积分.通过在每个时间层上追加一个内边界隐式校正步而形成的校正型显隐区域分裂算法是一类无条件稳定的分布式并行算法.为增强区域分解的灵活性,提高算法的可扩展性,我们特别设计了一类锯齿形内边界来进行区域分解.　　 在实际应用中,通常需要利用更为简洁的直线内边界将计算区域分解成带状或块状子区域.然而,由于内边界上追加了全隐校正格式,基于内部交叉的直线内边界所形成的区域分解算法往往要求全局数据通信.为避免全局通信问题,又进一步设计了一类由直线段和锯齿接口组合而成的组合内边界来进行区域分解.通过应用时间分部求和技巧,我们证明上述三种内边界形状下的校正型显隐区域分裂算法均唯一可解和无条件稳定,并得到了与数值试验结果相一致的精确误差估计.