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摘要：在Hilbert空间中利用梯度和混合投影方法构造一种新的迭代算法研究一致非扩张映射的分裂公共不动点问题解的收敛性。
关键词：Hilbert空间；一致非扩张映射；分裂公共不动点问题
1.问题的提出
1994年，Censor和Elfving[1]在有限维Hilbert空间中提出分裂可行性问题（Split feasibility problems）。作为分裂可行性问题的推广，Moudafi[2]2010年提出了分裂公共不动点问题（split common fixed point roblems）：令 和 是Hilbert空间， 和 是两个非线性映射且不动点集 和 非空， 的一个有界线性算子，则分裂公共不动点问题就是求一点 满足
，使得 . （1）
2015年，Zhang等人[3]利用混合投影方法研究了渐进非扩张映射的分裂公共不动点问题的强收敛性并提出如下算法
（2）
基于以上问题的提出和研究，本文将在Hilbert空间中利用梯度和混合投影的方法构造新的迭代算法研究分裂公共不动点问题的解，该算法强收敛性也被证明。
2.预备知识
设 ， ， 是Hilbert空间， 表示 的不动点， 表示问题（1）的解集。
定义2.1 令 是Hilbert空间 的非空闭凸子集，若 为 在 上的度量投影，则对任意的 ，都存在唯一点 满足
， ， （3）
引理2.2令 是一致非扩张映射，则下列性质等价： ， ；（2） 也是一致非扩张映射。
引理2.3在Hilbert空间 中，对任意的 和 ，下列性质满足：
（1） ， ， ；
（2） 。
定义2.4映射 称为半闭于零，如果对任意的序列 满足 弱收敛于 且 ，那么 。
引理2.5设 是一致非扩张映射，且使得 是 到 的一个凸函数。令 的有界线性算子且 ， ，则有 ， ；
是 -利普希茨映射，即 ， 。
3.主要结果
定理3.1设 和 都是Hilbert空间， 的一个有界线性算子，
和 是两个非线性映射且不动点集 和 非空，且使得 是 到 一个凸函数，对任意初始点 ，序列 通过下列迭代算法产生：
（4）
其中 ， ， 。
如果 ， ，则序列 强收敛于分裂公共不动点问题的解 。
证明 首先说明 是闭凸的，显然 是闭凸的。假设 是闭凸的，对任意的 ，都有 即 。所以说明 是闭凸的。对任意 ，我们有 ， 。 是一致非扩张映射，则 是一致非扩张映射，由引理2.2有
（5）
然后根据（5）式和定理条件可得
又利用上式、引理2.3以及 ， ，可得
因此，说明分裂公共不动点问题的解集 ， 。
接下来证明 是柯西序列。因为 且 ，由度量投影定义有 和 ，因此 是有界收敛序列。对任意正整数 且 ，根据 和引理2.3有 ，结合 是有界收敛序列就有 。因此，证得序列 是柯西序列。
于是，假设序列 强收敛于 ，只需证明 。因为 ，由算法（4）可有 ，所以我们有 也是强收敛于 。再根据（6）式变形可得
又由条件 ， ，我们可得极限 和 。根据引理2.6可得 ，所以 是有界的。因此 ， 。利用定义2.4可得 。
又由前面的证明过程和引理2.2、引理2.3，我们有
于是，将上式变形我们可有
根据极限 、 和序列 是有界可得到 。又根据定义2.4可得 。从而证明序列 強收敛于分裂公共不动点问题的解。证毕。
参考文献：
[1]Y.Censor，T.Elfving. A multi-projection algorithm using Bregman projections in a product space. Numer. Algorithms 8， 221-239（1994）.
[2]A.Moudafi.The split common fixed point problem for demi-contractive mappings. Inverse problem， 26（2010）， 055007.
[3]X.F.Zhang，L.Wang，Z.L.Ma，L.J.Qin.The strong convergence theorems for split common fixed point problem of asymptotically nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Journal of Inequalities and Applications， Vol. 2015， No. 1， 2015.
关键词：Hilbert空间；一致非扩张映射；分裂公共不动点问题
1.问题的提出
1994年，Censor和Elfving[1]在有限维Hilbert空间中提出分裂可行性问题（Split feasibility problems）。作为分裂可行性问题的推广，Moudafi[2]2010年提出了分裂公共不动点问题（split common fixed point roblems）：令 和 是Hilbert空间， 和 是两个非线性映射且不动点集 和 非空， 的一个有界线性算子，则分裂公共不动点问题就是求一点 满足
，使得 . （1）
2015年，Zhang等人[3]利用混合投影方法研究了渐进非扩张映射的分裂公共不动点问题的强收敛性并提出如下算法
（2）
基于以上问题的提出和研究，本文将在Hilbert空间中利用梯度和混合投影的方法构造新的迭代算法研究分裂公共不动点问题的解，该算法强收敛性也被证明。
2.预备知识
设 ， ， 是Hilbert空间， 表示 的不动点， 表示问题（1）的解集。
定义2.1 令 是Hilbert空间 的非空闭凸子集，若 为 在 上的度量投影，则对任意的 ，都存在唯一点 满足
， ， （3）
引理2.2令 是一致非扩张映射，则下列性质等价： ， ；（2） 也是一致非扩张映射。
引理2.3在Hilbert空间 中，对任意的 和 ，下列性质满足：
（1） ， ， ；
（2） 。
定义2.4映射 称为半闭于零，如果对任意的序列 满足 弱收敛于 且 ，那么 。
引理2.5设 是一致非扩张映射，且使得 是 到 的一个凸函数。令 的有界线性算子且 ， ，则有 ， ；
是 -利普希茨映射，即 ， 。
3.主要结果
定理3.1设 和 都是Hilbert空间， 的一个有界线性算子，
和 是两个非线性映射且不动点集 和 非空，且使得 是 到 一个凸函数，对任意初始点 ，序列 通过下列迭代算法产生：
（4）
其中 ， ， 。
如果 ， ，则序列 强收敛于分裂公共不动点问题的解 。
证明 首先说明 是闭凸的，显然 是闭凸的。假设 是闭凸的，对任意的 ，都有 即 。所以说明 是闭凸的。对任意 ，我们有 ， 。 是一致非扩张映射，则 是一致非扩张映射，由引理2.2有
（5）
然后根据（5）式和定理条件可得
又利用上式、引理2.3以及 ， ，可得
因此，说明分裂公共不动点问题的解集 ， 。
接下来证明 是柯西序列。因为 且 ，由度量投影定义有 和 ，因此 是有界收敛序列。对任意正整数 且 ，根据 和引理2.3有 ，结合 是有界收敛序列就有 。因此，证得序列 是柯西序列。
于是，假设序列 强收敛于 ，只需证明 。因为 ，由算法（4）可有 ，所以我们有 也是强收敛于 。再根据（6）式变形可得
又由条件 ， ，我们可得极限 和 。根据引理2.6可得 ，所以 是有界的。因此 ， 。利用定义2.4可得 。
又由前面的证明过程和引理2.2、引理2.3，我们有
于是，将上式变形我们可有
根据极限 、 和序列 是有界可得到 。又根据定义2.4可得 。从而证明序列 強收敛于分裂公共不动点问题的解。证毕。
参考文献：
[1]Y.Censor，T.Elfving. A multi-projection algorithm using Bregman projections in a product space. Numer. Algorithms 8， 221-239（1994）.
[2]A.Moudafi.The split common fixed point problem for demi-contractive mappings. Inverse problem， 26（2010）， 055007.
[3]X.F.Zhang，L.Wang，Z.L.Ma，L.J.Qin.The strong convergence theorems for split common fixed point problem of asymptotically nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Journal of Inequalities and Applications， Vol. 2015， No. 1， 2015.