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摘 要：相对于知识的线性展开，知识间的整合对学生的思维发展具有更大的价值.因此，教师要开发整合课程，以帮助学生整合不同知识，促进思维方式的转变和跃迁，发现知识之间的内在统一，使貌似互不相容
课程内容的编排和教学过程的推进，一般都按照由简到繁、由低级到高级、由直观到抽象的循“序”原则进行.这对于线性知识的学习非常有利，但当遇到知识间跨度较大的情况，师生则会遇到极大挑战.
就拿“方程”与“函数”来说，单纯从某一个方面出发，而不考虑二者的内在统一性，就有可能走到“山重水复”的境地.在现实的课堂中，虽然有些教师在讲授函数的时候，会涉及方程的知识，但大多采用拿来主义的方式为我所用，学生难以从更高的层面把握二者的本质联系，无法整合思维惯性，难以形成上位思考.为此，我们开发实施了专门的整合课程，以帮助学生整合不同知识，促进思维方式的转变和跃迁，发现知识之间的内在统一，体验“峰回路转”，享受“柳暗花明”.
一、顺势而为突遇障碍 智慧显现尽在后续
教师：请同学们一起回答下面算式的结果.（板书：2-1=？）
学生惊讶.
教师：那如果我将上式改成下面一个等式，你会想到什么呢？（板书：x-1=1）
学生1：这是一个一元一次方程.
学生2：这个方程的解为x=2.
教师：很好，那如果我再将上式改成下面一个方程，你又会想到什么呢？（板书：x-y=1）
学生1：这是一个二元一次方程.
学生2：这个方程的解为x=y 1.
学生3：不对，x=y 1不是该方程的解，x的值应该是一个具体的值.所以这个方程没有解.
学生4：不对，我看x=2，y=1就应该是这个方程的解.
教师：噢，还有其他表达形式的解吗？
学生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是该方程的解.
学生2：这些解的形式是成组出现的，并且有无数组.
教师：既然二元一次方程x-y=1有无数组解，那么我们究竟用怎样的方式来表示这无数组解呢？用怎样的呈现形式来更为直观地描述这无数组解呢？
课堂现场：学生讨论，无果，留下疑惑：方程的解都是具体的数值，而能满足方程成立的数值有无数组，无数组解的表达是永远不可能实现的.
教师：请同学们思考一下，在过去的学习中，哪些知识是用有限形式代表了无限形式的表达呢？
学生1：循环小数的表达是用有限形式代表无限形式的.比如：0.33……，因小数点后面有无限多个3而无法全部写出，故用0.■表示即可.
学生2：无理数的表达也是用有限形式代表无限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一个无限不循环小数，如果把所有的小数点后面的部分用数字表达是无法全部写出的，故用■或-■来表示即可.
学生3：在几何作图的时候也存在用有限形式替代無限形式的表达方式，比如直线AB的作图，我们即可用下图的作图方式表达，端点A、B之外表示向两方无限延伸.（学生作图如下）
学生4：哦，看来不能用常规形式表达的时候，可以转化其表达形式.所以我想二元一次方程x-y=1的无数组解也应该有办法表达，只不过要选择一种新的表达形式，那又该选择怎样的表达形式呢？
【设计意图】通过教师将三个等式逐一列举的过程，让学生感受从算式到方程的微妙变化；让学生意识到一元一次方程有唯一一组解，而二元一次方程则有无数组解.于是一个问题将呈现在学生面前：二元一次方程的无数组解该如何表达？穷极学生思维，把学生带到“行到水穷处”的境地，让他们体验到“山重水复疑无路”的窘迫，引发学生欲罢不能、跃跃欲试的情感冲动.
二、历史融入智慧复演 原理探究策略达成
教师：这个问题，在数学发展史上有很多人研究过，法国数学家费马就是其中一位.1630年在其论文《平面与立体轨迹引论》中提到：“两个未知量决定的方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线.”大家从这句话中，能否发现什么呢？
学生1：我认为这位数学家是从轨迹的角度研究方程的，即从直线或曲线的角度研究方程式.这样一来，直线或曲线的形式将更为直观地描述无数组解，跳出方程的解的常规思路.
学生2：可是如何从轨迹的角度研究方程呢？就比如我们刚才探讨的二元一次方程x-y=1，它怎么能与轨迹联系到一起呢？
学生3：我们原来学习一次函数的时候，往往要研究函数的图象，一次函数的图象是一条直线，可是这里没有一次函数的解析式啊.怎样才能把二元一次方程与一次函数建立联系呢？这种联系又要通过怎样的方式方法来实现呢？
教师：很好，大家的思考非常有价值.我们研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其无数组解.对于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是该方程的解，像这样形式的解有无数组.我们如果将其转化成有序实数对（1，0），（2，1）形式，那么也就构成了点的坐标形式……
学生1：老师，您的意思是否是这样的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通过有序实数对的形式转化成点坐标（1，0），（2，1），并在直角坐标系中表示出来.这样方程的两组解就转化成两个点，这两个点不正是方程的两组解所对应的轨迹吗.
学生2：如果能将更多组解转化成其对应点的轨迹，那么方程对应的轨迹不就表示出来了吗.可是无数组解一个一个地转化不也是很麻烦的吗？
教师：这个问题问得非常好，哪位同学能够帮助他解决这个问题？
学生3：其实，将二元一次方程x-y=1进行恒等变形为y=x-1的形式，就有点一次函数的外形了.联系到我们学过的一次函数图象，就可以把x的值与对应的y的值看成是数对，在平面直角坐标系中找到对应的点.如此，二元一次方程无限组解的表达困难也就因新的表达方式迎刃而解.
课程内容的编排和教学过程的推进，一般都按照由简到繁、由低级到高级、由直观到抽象的循“序”原则进行.这对于线性知识的学习非常有利，但当遇到知识间跨度较大的情况，师生则会遇到极大挑战.
就拿“方程”与“函数”来说，单纯从某一个方面出发，而不考虑二者的内在统一性，就有可能走到“山重水复”的境地.在现实的课堂中，虽然有些教师在讲授函数的时候，会涉及方程的知识，但大多采用拿来主义的方式为我所用，学生难以从更高的层面把握二者的本质联系，无法整合思维惯性，难以形成上位思考.为此，我们开发实施了专门的整合课程，以帮助学生整合不同知识，促进思维方式的转变和跃迁，发现知识之间的内在统一，体验“峰回路转”，享受“柳暗花明”.
一、顺势而为突遇障碍 智慧显现尽在后续
教师：请同学们一起回答下面算式的结果.（板书：2-1=？）
学生惊讶.
教师：那如果我将上式改成下面一个等式，你会想到什么呢？（板书：x-1=1）
学生1：这是一个一元一次方程.
学生2：这个方程的解为x=2.
教师：很好，那如果我再将上式改成下面一个方程，你又会想到什么呢？（板书：x-y=1）
学生1：这是一个二元一次方程.
学生2：这个方程的解为x=y 1.
学生3：不对，x=y 1不是该方程的解，x的值应该是一个具体的值.所以这个方程没有解.
学生4：不对，我看x=2，y=1就应该是这个方程的解.
教师：噢，还有其他表达形式的解吗？
学生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是该方程的解.
学生2：这些解的形式是成组出现的，并且有无数组.
教师：既然二元一次方程x-y=1有无数组解，那么我们究竟用怎样的方式来表示这无数组解呢？用怎样的呈现形式来更为直观地描述这无数组解呢？
课堂现场：学生讨论，无果，留下疑惑：方程的解都是具体的数值，而能满足方程成立的数值有无数组，无数组解的表达是永远不可能实现的.
教师：请同学们思考一下，在过去的学习中，哪些知识是用有限形式代表了无限形式的表达呢？
学生1：循环小数的表达是用有限形式代表无限形式的.比如：0.33……，因小数点后面有无限多个3而无法全部写出，故用0.■表示即可.
学生2：无理数的表达也是用有限形式代表无限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一个无限不循环小数，如果把所有的小数点后面的部分用数字表达是无法全部写出的，故用■或-■来表示即可.
学生3：在几何作图的时候也存在用有限形式替代無限形式的表达方式，比如直线AB的作图，我们即可用下图的作图方式表达，端点A、B之外表示向两方无限延伸.（学生作图如下）
学生4：哦，看来不能用常规形式表达的时候，可以转化其表达形式.所以我想二元一次方程x-y=1的无数组解也应该有办法表达，只不过要选择一种新的表达形式，那又该选择怎样的表达形式呢？
【设计意图】通过教师将三个等式逐一列举的过程，让学生感受从算式到方程的微妙变化；让学生意识到一元一次方程有唯一一组解，而二元一次方程则有无数组解.于是一个问题将呈现在学生面前：二元一次方程的无数组解该如何表达？穷极学生思维，把学生带到“行到水穷处”的境地，让他们体验到“山重水复疑无路”的窘迫，引发学生欲罢不能、跃跃欲试的情感冲动.
二、历史融入智慧复演 原理探究策略达成
教师：这个问题，在数学发展史上有很多人研究过，法国数学家费马就是其中一位.1630年在其论文《平面与立体轨迹引论》中提到：“两个未知量决定的方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线.”大家从这句话中，能否发现什么呢？
学生1：我认为这位数学家是从轨迹的角度研究方程的，即从直线或曲线的角度研究方程式.这样一来，直线或曲线的形式将更为直观地描述无数组解，跳出方程的解的常规思路.
学生2：可是如何从轨迹的角度研究方程呢？就比如我们刚才探讨的二元一次方程x-y=1，它怎么能与轨迹联系到一起呢？
学生3：我们原来学习一次函数的时候，往往要研究函数的图象，一次函数的图象是一条直线，可是这里没有一次函数的解析式啊.怎样才能把二元一次方程与一次函数建立联系呢？这种联系又要通过怎样的方式方法来实现呢？
教师：很好，大家的思考非常有价值.我们研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其无数组解.对于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是该方程的解，像这样形式的解有无数组.我们如果将其转化成有序实数对（1，0），（2，1）形式，那么也就构成了点的坐标形式……
学生1：老师，您的意思是否是这样的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通过有序实数对的形式转化成点坐标（1，0），（2，1），并在直角坐标系中表示出来.这样方程的两组解就转化成两个点，这两个点不正是方程的两组解所对应的轨迹吗.
学生2：如果能将更多组解转化成其对应点的轨迹，那么方程对应的轨迹不就表示出来了吗.可是无数组解一个一个地转化不也是很麻烦的吗？
教师：这个问题问得非常好，哪位同学能够帮助他解决这个问题？
学生3：其实，将二元一次方程x-y=1进行恒等变形为y=x-1的形式，就有点一次函数的外形了.联系到我们学过的一次函数图象，就可以把x的值与对应的y的值看成是数对，在平面直角坐标系中找到对应的点.如此，二元一次方程无限组解的表达困难也就因新的表达方式迎刃而解.