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【摘 要】当前的数学思想方法的教学现状不完全令人满意。针对现状，基于对“不等关系”教学示范课的研究，进一步指出有效的数学思想方法教学的相关特征：立足理解，挖掘思想；教学示范，范式引领；显隐结合，形式多样；情境迁移，经验提升。
【关键词】数学思想方法；数学理解；数学迁移；数学经验
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）51-0034-04
【作者简介】何睦，江苏省张家港市常青藤实验中学（江苏张家港，215600）教师，二级教师，江苏师范大学（江苏徐州，221116）数学与统计学院研究生。
数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。数学离不开数学思想方法，数学的教学更离不开数学思想方法的教学。随着新一轮数学课程改革的不断推进，数学思想方法的教学已经成为数学课堂教学的一个重要环节。但相关研究表明[1]，当前的数学思想方法的教学还没有完全落到实处，数学思想方法的教学现状也不完全令人满意，具体表现为：教师对数学思想方法的认识不足；学生对数学思想方法的理解不透，获得的数学思想方法形式单一，对数学思想方法的学习仅仅是一种简单的模仿，等等。
怎样设计数学思想方法的教学，什么是有效的数学思想方法的教学理应成为一个亟待开展的课题。因此，有必要通过对数学课堂教学的考察，探讨在数学教学过程中应如何实施有效的数学思想方法的教学。一堂高效、有序的数学思想方法的教学实例能为我们从事有效的数学思想方法的教学指明方向。苏州中学樊亚东老师的“不等关系”就是这样的一节课。
一、课堂教学实录
在简单的自我介绍后，樊老师就开始组织“不等关系”的课堂教学了，他花了不到10分钟的时间和学生一起分析了教材上的3个实际问题。正当在场的所有听课教师为樊老师“捏把汗”时，谁也没有料到一堂成功、精彩、高效、有序的数学思想方法的课堂教学这才拉开序幕。以下仅展示后30分钟的教学片段。
【片段1】
樊：我们学习时，要养成一个好习惯：当我们接触一个新的数学内容时，请思考一下是否有我们已经学过的知识和它是有关联的。大家觉得我们即将要学习的“不等式”内容和我们之前学习的哪些内容能产生联系？
生1：一元一次方程。
生2：一元一次不等式。
生3：函数。
……
樊：同学们的回答提醒我们，我们之前已经学过了许多相关知识。我和大家交流一下我的看法，假如我来学不等式，我觉得发生关联最多的应该是等式的问题。刚才有同学说一元一次方程，这就是一个特殊的等式。还有同学说到一元一次不等式，这是提醒我们已经学过不等式。可以看出，等式和已经学过的不等式会和今天要学的不等式发生最密切的联系。下面，我们就顺着这个思路，先来回顾一下我们学过哪些相关的等式知识。
【片段2】
樊：观察两个式子1 1=2和x 2=3，它们一样吗？
生：虽然它们形式上都是等式，但是表达的意思不一样。
樊：两者不相同。这就是关于等式分类的问题了。1 1=2是绝对成立的等式，我们称为恒等式。而x 2=3，这个等式成立的条件是什么呢？
生：x=1。
樊：如果x=1就是等式，那么x=3就不是等式了。对于x 2=3这个等式，存在使它成立的条件，也有使它不成立的条件。因此我们常常要做的一件事就是解方程。即等式有两类：一类为恒成立的，一类为非恒成立的。在等式中，我们碰到过很多恒成立的式子，比如（a b）2=a2 2ab b2，我们往往做的工作就是证明它成立；我们还会碰到解等式的问题，如刚才的等式x 2=3何时成立。也就是说，研究等式，一般有两类工作要做：一是证明恒等式，二是解等式，即解方程。
樊：那么，类比一下，大家觉得这一章不等式我们会研究哪些内容？
生：我觉得不等式这一章研究的内容会和等式一样：证明恒成立的不等式和解不等式。
【片段3】
樊：在等式中，若a=b，则ac=bc，等式的两边同时乘以一个数以后，等式仍然成立。那么，类比等式的性质，对照起来能推出什么结论呢？
生：若a>b，则ac>bc成立。
樊：这个不等式一定成立吗？
生：不一定成立，若c>0，则ac>bc；若c<0，则ac 樊：这就告诉我们在进行类比迁移时需要注意的问题了，等式和不等式的成立各自需要一定的条件，我们从等式的性质引申出不等式的性质特别要注意这个问题。
【片段4】
樊：刚才大家提到，今天要学习的不等式不仅和等式有关，还和已经学过的不等式有关。在初中，我们学过了一元一次不等式，我们一起来回顾一下是如何研究一元一次不等式的，不妨以一元一次不等式x 1<0为例。我們先构造一次函数y=x 1，并作出它的图象。在图象y=x 1中，如果令y=0，就转化为一个一元一次方程x 1=0，解这个方程也就是找图象和x轴的交点（-1，0），这个交点为，其中-1叫作方程的一个解。如果令y<0，就变成了一元一次不等式x 1<0，我们已经知道了方程和相应的函数之间的联系，那么，怎样从图象上来分析研究x 1<0呢？
生：x 1<0就是y<0。
樊：体现在图象上是怎样呢？
生：x<-1，图象位于x轴下方的部分。
樊：y<0在图象上有好多个点，这些点对应的x就是使得这个不等式成立的x。把所有的解集中起来，就得到了不等式的解集。这就是利用函数图象研究一元一次不等式求解集的方法，我们在此基础上进一步研究不等式。
樊：如果我们碰到的不等式是x2 2<3呢？能否类比初中所学的一元一次不等式的解法，来研究这个一元二次不等式呢？为方便起见，我们先将其变成x2-1<0，请大家思考如何研究这个不等式？
【关键词】数学思想方法；数学理解；数学迁移；数学经验
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）51-0034-04
【作者简介】何睦，江苏省张家港市常青藤实验中学（江苏张家港，215600）教师，二级教师，江苏师范大学（江苏徐州，221116）数学与统计学院研究生。
数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。数学离不开数学思想方法，数学的教学更离不开数学思想方法的教学。随着新一轮数学课程改革的不断推进，数学思想方法的教学已经成为数学课堂教学的一个重要环节。但相关研究表明[1]，当前的数学思想方法的教学还没有完全落到实处，数学思想方法的教学现状也不完全令人满意，具体表现为：教师对数学思想方法的认识不足；学生对数学思想方法的理解不透，获得的数学思想方法形式单一，对数学思想方法的学习仅仅是一种简单的模仿，等等。
怎样设计数学思想方法的教学，什么是有效的数学思想方法的教学理应成为一个亟待开展的课题。因此，有必要通过对数学课堂教学的考察，探讨在数学教学过程中应如何实施有效的数学思想方法的教学。一堂高效、有序的数学思想方法的教学实例能为我们从事有效的数学思想方法的教学指明方向。苏州中学樊亚东老师的“不等关系”就是这样的一节课。
一、课堂教学实录
在简单的自我介绍后，樊老师就开始组织“不等关系”的课堂教学了，他花了不到10分钟的时间和学生一起分析了教材上的3个实际问题。正当在场的所有听课教师为樊老师“捏把汗”时，谁也没有料到一堂成功、精彩、高效、有序的数学思想方法的课堂教学这才拉开序幕。以下仅展示后30分钟的教学片段。
【片段1】
樊：我们学习时，要养成一个好习惯：当我们接触一个新的数学内容时，请思考一下是否有我们已经学过的知识和它是有关联的。大家觉得我们即将要学习的“不等式”内容和我们之前学习的哪些内容能产生联系？
生1：一元一次方程。
生2：一元一次不等式。
生3：函数。
……
樊：同学们的回答提醒我们，我们之前已经学过了许多相关知识。我和大家交流一下我的看法，假如我来学不等式，我觉得发生关联最多的应该是等式的问题。刚才有同学说一元一次方程，这就是一个特殊的等式。还有同学说到一元一次不等式，这是提醒我们已经学过不等式。可以看出，等式和已经学过的不等式会和今天要学的不等式发生最密切的联系。下面，我们就顺着这个思路，先来回顾一下我们学过哪些相关的等式知识。
【片段2】
樊：观察两个式子1 1=2和x 2=3，它们一样吗？
生：虽然它们形式上都是等式，但是表达的意思不一样。
樊：两者不相同。这就是关于等式分类的问题了。1 1=2是绝对成立的等式，我们称为恒等式。而x 2=3，这个等式成立的条件是什么呢？
生：x=1。
樊：如果x=1就是等式，那么x=3就不是等式了。对于x 2=3这个等式，存在使它成立的条件，也有使它不成立的条件。因此我们常常要做的一件事就是解方程。即等式有两类：一类为恒成立的，一类为非恒成立的。在等式中，我们碰到过很多恒成立的式子，比如（a b）2=a2 2ab b2，我们往往做的工作就是证明它成立；我们还会碰到解等式的问题，如刚才的等式x 2=3何时成立。也就是说，研究等式，一般有两类工作要做：一是证明恒等式，二是解等式，即解方程。
樊：那么，类比一下，大家觉得这一章不等式我们会研究哪些内容？
生：我觉得不等式这一章研究的内容会和等式一样：证明恒成立的不等式和解不等式。
【片段3】
樊：在等式中，若a=b，则ac=bc，等式的两边同时乘以一个数以后，等式仍然成立。那么，类比等式的性质，对照起来能推出什么结论呢？
生：若a>b，则ac>bc成立。
樊：这个不等式一定成立吗？
生：不一定成立，若c>0，则ac>bc；若c<0，则ac
【片段4】
樊：刚才大家提到，今天要学习的不等式不仅和等式有关，还和已经学过的不等式有关。在初中，我们学过了一元一次不等式，我们一起来回顾一下是如何研究一元一次不等式的，不妨以一元一次不等式x 1<0为例。我們先构造一次函数y=x 1，并作出它的图象。在图象y=x 1中，如果令y=0，就转化为一个一元一次方程x 1=0，解这个方程也就是找图象和x轴的交点（-1，0），这个交点为，其中-1叫作方程的一个解。如果令y<0，就变成了一元一次不等式x 1<0，我们已经知道了方程和相应的函数之间的联系，那么，怎样从图象上来分析研究x 1<0呢？
生：x 1<0就是y<0。
樊：体现在图象上是怎样呢？
生：x<-1，图象位于x轴下方的部分。
樊：y<0在图象上有好多个点，这些点对应的x就是使得这个不等式成立的x。把所有的解集中起来，就得到了不等式的解集。这就是利用函数图象研究一元一次不等式求解集的方法，我们在此基础上进一步研究不等式。
樊：如果我们碰到的不等式是x2 2<3呢？能否类比初中所学的一元一次不等式的解法，来研究这个一元二次不等式呢？为方便起见，我们先将其变成x2-1<0，请大家思考如何研究这个不等式？