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摘要：《中小学生数学能力心理学》一书是苏联著名心理学家克鲁捷茨基的代表作。书中设计的用以研究中小学生数学能力的测试题较为经典，并且具有一定的特色，为数学习题命制提供了一些启示，如设置变式题组的梯度、增加习题的开放性、提升习题的趣味性等。
关键词：数学习题命制;《中小学生数学能力心理学》;梯度;开放;趣味
《中小学生数学能力心理学》一书是苏联著名心理学家克鲁捷茨基的代表作，其中丰富的测试题、多样化的研究方式给读者留下了深刻的印象。多位学者对本书做了内容的分析，并挖掘了其中的价值。比如，鲍建生、周超对本书从中小学生数学能力的基本结构、实验题体系、个案研究三个方面做了高度概括，并提出了一些研究展望;朱华伟、郑焕介绍了本书蕴含的解题思想，并结合例题分析了学生解题的心理过程;李伯黍作为本书的译者之一，对全书从关于数学能力的假设、研究数学能力的方法和数学能力的成分分析三个方面做了评介。此外，还有部分学者的作品涉及克鲁捷茨基及其著作，但只是蜻蜓点水，并未深入研究。纵观各位研究者对本书的研究成果，主要集中在研究方法与特色、解题思想与心理以及文本内容的介绍上，而对其中测试题的应用价值及命题启示谈论得非常少。实际上，本书中设计的用以研究中小学生数学能力的测试题较为经典，并且具有一定的特色。下面，结合我国数学教育的实际对其进行系统的分析，为数学习题的命制提供一些启示。
一、设置变式题组的梯度
变式训练是我国数学教育的一大特色。其本意是希望减轻学生负担，让学生远离“题海”，多层次、多角度地看待数学习题，并且学会举一反三。然而，在实际操作过程中，存在由于习题命制不当（比如简单重复），导致学生负担加重，甚至阻碍认知策略形成的现象。
克鲁捷茨基在研究中小学生数学能力的实验题目的系列5“同一类型题目的系统”中，给出的一组测试题如下：（1）（a+b）2=________;（2）1+1/（2a3b2）2=_______;（3）（-5x+0.6xy2）2=______;（4）（3x-6y）2=___________;（5）（m+x+b）2=_______;（6）（4x+y3-a）2=________;（7）512=________;（8）（C+D+E）（E+C+D）=______。该组题目通过改变字母、变换顺序、引进指数、增加系数等方式来逐步提升难度，越往后越难看出完全平方公式如何运用。研究学生的数学能力时，实验者先展示最后一题，如果被试无法做出，就按照顺序依次展示前面的题目，并且被试每解答一个前面的题目，都重新做一次最后一题。由此，被试经历的中间环节越少，意味着数学能力越高。这组题目不是简单重复的变式，而是螺旋式上升的有梯度的变式。
心理学家通过这样的方式检测学生的数学能力，数学教师也可以依此命制习题并对学生进行训练。学生学习新知后，教师设置的变式题组，不可简单重复，而要形成梯度：越往后的习题对学生的要求越高，若能顺利解答后面的习题，则前面的习题都不会成为障碍。由此，真正让学生跳出“题海”，提高学习效率。
例如这样一组向量问题：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），当k为何值的时候，ka与a+b的夹角为120°？（2）已知a=（1，2），b=（3，4），当k为何值的时候，ka⊥b？（3）已知a=（3，1），b=（1，3），c=（k，7），若（a-c）∥b，则k为何值？这个变式题组看似进行了变换，分别以特殊角度、垂直和平行设问，其实意义不大。学生只要知道向量夹角的坐标公式，甚至无须知道向量平行、垂直的条件，就都可以解决。因此，属于简单重复，没有形成梯度。对此，可做如下改编：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當k为何值的时候，ka与a+b的夹角为120°？（2）已知a=（1，2），b=（2，-3），如果向量c满足（a+c）∥b，c⊥（a+b），则c=_______。（3）已知OA=（3，1）OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，且OD+OA=OC，求OD的坐标。改编后的题组相比于改编前的明显呈现出梯度：后面的习题包含前面的习题涉及的知识点，并且复杂程度（变量）增加，考查的知识点增多。
教学中，教师可以鼓励基础较好的学生先尝试完成靠后的习题;如果成功，则无须完成前面的习题，从而切实减轻学生的负担。而对于基础一般或较为薄弱的学生而言，适当的梯度相当于为解答最终的习题搭建了“脚手架”;按照先后顺序完成贴近自己“最近发展区”的习题，可以在不断对比、总结规律的基础上更有效地解决复杂问题。
二、增加习题的开放性
习题的开放性是指习题的答案不固定或条件不完备等。习题的开放性能够调动学生的能动性，激发学生的创造性，帮助学生在巩固知识的同时，拓展思维。
克鲁捷茨基在实验题目的系列1“未提出问题的题目”中，仅给出题目的条件，让被试根据条件自行设计问题并解答。例如：一些少先队员收集到65千克废金属，其中铜、铝之和比锌多1千克，而铜比铝多15千克;矩形对角线的交点离开短边的距离比离开长边的距离远6厘米，矩形的周长为44厘米。在实验题目的系列2“缺少信息的题目”中，给出的题目缺少解题的必要条件，需要被试自己补全条件并解答。例如：两城相距225千米，两列火车从两城同时出发，客车以时速50千米自甲城出发，货车以时速40千米自乙城出发，两车何时相遇？三角形三边之比为5∶4∶3，求各边的长度。
数学教师在命制习题（试题）时也要增加开放性。具体而言，可以对一些教材或配套教辅中的习题以及一些比较经典的结论进行改编和推广，形成开放性的习题（试题）。
例如，沪教版高中数学教材配套习题册中有这样一道题：已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an/an+3，an≠0（n∈N*），求a1、a2、a3。将其稍做改编，就成了一道开放性的试题：[2010年上海市春季高考数学卷第23题第（3）小题]已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axn/xn+1（a为常数），当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。解答此题时，学生对问题的探究以及写出的真命题会体现不同的思维层次。 再如，教学“对数函数的性质”后，可以推广提出如下开放性的问题：函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足对任意的x、y∈R*，都有f（xy）=f（x）+f（y），当x>1时f（x）>0，请你根据上述条件自行猜想结论并证明。解答此题时，学生可能得到“f（1）=0”“当0
又如，布置立体几何作业时，展示平面几何或平面解析几何的结论，让学生推广到立体几何中，自行作出猜想并尝试加以证明。以平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和为例，学生将其推广到立体几何中，可能得到平行六面体对角线的平方和等于12条棱长的平方和等结论。
三、提升习题的趣味性
虽然有趣往往是一种主观的感觉，但是趣味性的习题常常还是表现出一定的特征：除了情境性、体验性和游戏性之外，最重要的是“意料之外，情理之中”。“文似看山不喜平”，这样的习题能够提升学生的学习兴趣，锻炼学生的思维能力，尤其能激发学生的认知冲突，打破学生的思维定式。
克鲁捷茨基使用了许多“意料之外，情理之中”的题目作为测试题。在实验题目的系列16“暗示‘自我限制’的题目”中，有许多看似错误、实则正确的题目。例如：“一个家庭由丈夫、妻子、女儿、儿子组成，他们的年龄和为73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前他们的年龄和为58岁。家庭每个成员现在几岁？”对此，许多被试会认为题目有误：四年前的年龄之和应该比现在少16岁，而不是15岁。但是，换个思路来看，这恰好说明四年前最年轻的家庭成员尚未出生。在实验题目的系列21“数学诡辩”中，有一些题目中的结论看似正确，其实错误。例如：“某集体农庄庄员有2篓不同品种的梨。每篓各有150个。第一种梨的价格是每卢布10个，第二种梨的价格是每卢布15个。这样，卖掉第一种梨可得15卢布，卖掉第二种梨可得10卢布，总计25卢布。由此，这个庄员推论，10个第一种梨和15个第二种梨一共可卖2卢布。因此，他将两种梨混在一起，以2卢布25个的价钱卖掉所有300个梨。但是，他只得到24卢布，即少卖了1卢布。这1卢布到哪里去了？”
数学教师也应注意增加习题（试题）的趣味性。为此，要具有敏锐的洞察力，基于学生的认知常识和思维定式，关注一些有趣的素材，将其加工成习题。一般来说，这样的素材在教材和配套教辅中不容易见到，而在各种课外的通俗读物、科普作品以及报纸杂志中更容易见到。因此，教师要广泛阅读、多加留心，发掘这样的素材并巧妙地改编。
例如，人教A版高中数学必修2（基于实验版课标编写的旧教材;目前处于新旧教材过渡阶段，该版教材还在使用）中“魔术师的地毯”的故事就可以改编成一道很有趣的习题，引导学生运用直线斜率的知识解决“如下页图1所示的正方形裁成四块后拼成如下页图2所示的长方形，为什么它们的面积不相等”的问题，从而充分感受到数学的魅力。
再如，教学“古典概型的计算”后，可以布置如下习题：小A（三枪能命中一枪）和神枪手（百发百中）、怪枪手（三枪能命中两枪）对决，小A最先射击，神枪手最后射击，小A如何才能保证胜率最高？该题改编自一本趣味数学游戏集中的素材，其答案是：小A可以放空枪，因为神枪手和怪枪手都会优先射击威胁较大的人。学生在做题时会尝试探讨各种可能性，枯燥的概率计算顿时生动有趣起来。
类似的例子还有很多，甚至电视综艺节目中的小游戏也能改编成数学习题。例如，美国电视综艺节目《让我们做个交易》（Let's Make a Deal）中，有一个很有趣的概率问题，也被称为“三门问题”。主持人向游戏参与者展示三扇关着的门。其中，两扇门后面各有一只山羊，另一扇门后面有一辆汽车。参与者选中有汽车的那扇门即可赢得汽车。当参与者选中一扇门后，主持人并不立即打开它，而是开启剩余两扇门中的一扇，露出后面的山羊（主持人事先知道每扇门后面分别是什么）。随后，主持人询问参与者是否要换另外一扇仍然关着的门。参与者可以更改原来的选择，也可以保持原来的选择不变。教学“条件概率”后，教师可以将这一游戏情境改编为习题，让学生计算更换前后赢得汽车的概率。大部分学生凭借直觉，会认为无论更改与否，概率都相等;而通过计算，可以帮助他们纠正错误的观点，加深对条件概率的理解。
参考文献：
[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2] 朱华伟，郑焕.《中小学生数学能力心理学》中蕴含的解题思想[J].数学教育学报，2010（2）.
[3] 李伯黍.《中小学生数学能力心理学》评介[J].心理科学通讯，1983（3）.
[4] 克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学[M].李伯黍，洪宝林，艾国英，等译.上海：上海教育出版社，1983.
[5] 吴跃忠，郑璇.“机械变式训练”阻碍认知策略的形成[J].数学通报，2014（12）.
[6] 钱巍，章飞.加强开放性，提升阅读力——对“八省联考”数学卷中两种新题型的教学思考[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（2）.
[7] 刘正松.趣味·過程·开放——英国小学数学练习印象[J].教育研究与评论（课堂观察），2015（8）.
[8] 顾彦琼.基于“三级水平”的“条件概率”教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（12）.
关键词：数学习题命制;《中小学生数学能力心理学》;梯度;开放;趣味
《中小学生数学能力心理学》一书是苏联著名心理学家克鲁捷茨基的代表作，其中丰富的测试题、多样化的研究方式给读者留下了深刻的印象。多位学者对本书做了内容的分析，并挖掘了其中的价值。比如，鲍建生、周超对本书从中小学生数学能力的基本结构、实验题体系、个案研究三个方面做了高度概括，并提出了一些研究展望;朱华伟、郑焕介绍了本书蕴含的解题思想，并结合例题分析了学生解题的心理过程;李伯黍作为本书的译者之一，对全书从关于数学能力的假设、研究数学能力的方法和数学能力的成分分析三个方面做了评介。此外，还有部分学者的作品涉及克鲁捷茨基及其著作，但只是蜻蜓点水，并未深入研究。纵观各位研究者对本书的研究成果，主要集中在研究方法与特色、解题思想与心理以及文本内容的介绍上，而对其中测试题的应用价值及命题启示谈论得非常少。实际上，本书中设计的用以研究中小学生数学能力的测试题较为经典，并且具有一定的特色。下面，结合我国数学教育的实际对其进行系统的分析，为数学习题的命制提供一些启示。
一、设置变式题组的梯度
变式训练是我国数学教育的一大特色。其本意是希望减轻学生负担，让学生远离“题海”，多层次、多角度地看待数学习题，并且学会举一反三。然而，在实际操作过程中，存在由于习题命制不当（比如简单重复），导致学生负担加重，甚至阻碍认知策略形成的现象。
克鲁捷茨基在研究中小学生数学能力的实验题目的系列5“同一类型题目的系统”中，给出的一组测试题如下：（1）（a+b）2=________;（2）1+1/（2a3b2）2=_______;（3）（-5x+0.6xy2）2=______;（4）（3x-6y）2=___________;（5）（m+x+b）2=_______;（6）（4x+y3-a）2=________;（7）512=________;（8）（C+D+E）（E+C+D）=______。该组题目通过改变字母、变换顺序、引进指数、增加系数等方式来逐步提升难度，越往后越难看出完全平方公式如何运用。研究学生的数学能力时，实验者先展示最后一题，如果被试无法做出，就按照顺序依次展示前面的题目，并且被试每解答一个前面的题目，都重新做一次最后一题。由此，被试经历的中间环节越少，意味着数学能力越高。这组题目不是简单重复的变式，而是螺旋式上升的有梯度的变式。
心理学家通过这样的方式检测学生的数学能力，数学教师也可以依此命制习题并对学生进行训练。学生学习新知后，教师设置的变式题组，不可简单重复，而要形成梯度：越往后的习题对学生的要求越高，若能顺利解答后面的习题，则前面的习题都不会成为障碍。由此，真正让学生跳出“题海”，提高学习效率。
例如这样一组向量问题：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），当k为何值的时候，ka与a+b的夹角为120°？（2）已知a=（1，2），b=（3，4），当k为何值的时候，ka⊥b？（3）已知a=（3，1），b=（1，3），c=（k，7），若（a-c）∥b，则k为何值？这个变式题组看似进行了变换，分别以特殊角度、垂直和平行设问，其实意义不大。学生只要知道向量夹角的坐标公式，甚至无须知道向量平行、垂直的条件，就都可以解决。因此，属于简单重复，没有形成梯度。对此，可做如下改编：（1）已知a=（1，1），b=（0，-2），當k为何值的时候，ka与a+b的夹角为120°？（2）已知a=（1，2），b=（2，-3），如果向量c满足（a+c）∥b，c⊥（a+b），则c=_______。（3）已知OA=（3，1）OB=（-1，2），OC⊥OB，BC∥OA，且OD+OA=OC，求OD的坐标。改编后的题组相比于改编前的明显呈现出梯度：后面的习题包含前面的习题涉及的知识点，并且复杂程度（变量）增加，考查的知识点增多。
教学中，教师可以鼓励基础较好的学生先尝试完成靠后的习题;如果成功，则无须完成前面的习题，从而切实减轻学生的负担。而对于基础一般或较为薄弱的学生而言，适当的梯度相当于为解答最终的习题搭建了“脚手架”;按照先后顺序完成贴近自己“最近发展区”的习题，可以在不断对比、总结规律的基础上更有效地解决复杂问题。
二、增加习题的开放性
习题的开放性是指习题的答案不固定或条件不完备等。习题的开放性能够调动学生的能动性，激发学生的创造性，帮助学生在巩固知识的同时，拓展思维。
克鲁捷茨基在实验题目的系列1“未提出问题的题目”中，仅给出题目的条件，让被试根据条件自行设计问题并解答。例如：一些少先队员收集到65千克废金属，其中铜、铝之和比锌多1千克，而铜比铝多15千克;矩形对角线的交点离开短边的距离比离开长边的距离远6厘米，矩形的周长为44厘米。在实验题目的系列2“缺少信息的题目”中，给出的题目缺少解题的必要条件，需要被试自己补全条件并解答。例如：两城相距225千米，两列火车从两城同时出发，客车以时速50千米自甲城出发，货车以时速40千米自乙城出发，两车何时相遇？三角形三边之比为5∶4∶3，求各边的长度。
数学教师在命制习题（试题）时也要增加开放性。具体而言，可以对一些教材或配套教辅中的习题以及一些比较经典的结论进行改编和推广，形成开放性的习题（试题）。
例如，沪教版高中数学教材配套习题册中有这样一道题：已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an/an+3，an≠0（n∈N*），求a1、a2、a3。将其稍做改编，就成了一道开放性的试题：[2010年上海市春季高考数学卷第23题第（3）小题]已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axn/xn+1（a为常数），当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。解答此题时，学生对问题的探究以及写出的真命题会体现不同的思维层次。 再如，教学“对数函数的性质”后，可以推广提出如下开放性的问题：函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足对任意的x、y∈R*，都有f（xy）=f（x）+f（y），当x>1时f（x）>0，请你根据上述条件自行猜想结论并证明。解答此题时，学生可能得到“f（1）=0”“当0
又如，布置立体几何作业时，展示平面几何或平面解析几何的结论，让学生推广到立体几何中，自行作出猜想并尝试加以证明。以平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和为例，学生将其推广到立体几何中，可能得到平行六面体对角线的平方和等于12条棱长的平方和等结论。
三、提升习题的趣味性
虽然有趣往往是一种主观的感觉，但是趣味性的习题常常还是表现出一定的特征：除了情境性、体验性和游戏性之外，最重要的是“意料之外，情理之中”。“文似看山不喜平”，这样的习题能够提升学生的学习兴趣，锻炼学生的思维能力，尤其能激发学生的认知冲突，打破学生的思维定式。
克鲁捷茨基使用了许多“意料之外，情理之中”的题目作为测试题。在实验题目的系列16“暗示‘自我限制’的题目”中，有许多看似错误、实则正确的题目。例如：“一个家庭由丈夫、妻子、女儿、儿子组成，他们的年龄和为73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前他们的年龄和为58岁。家庭每个成员现在几岁？”对此，许多被试会认为题目有误：四年前的年龄之和应该比现在少16岁，而不是15岁。但是，换个思路来看，这恰好说明四年前最年轻的家庭成员尚未出生。在实验题目的系列21“数学诡辩”中，有一些题目中的结论看似正确，其实错误。例如：“某集体农庄庄员有2篓不同品种的梨。每篓各有150个。第一种梨的价格是每卢布10个，第二种梨的价格是每卢布15个。这样，卖掉第一种梨可得15卢布，卖掉第二种梨可得10卢布，总计25卢布。由此，这个庄员推论，10个第一种梨和15个第二种梨一共可卖2卢布。因此，他将两种梨混在一起，以2卢布25个的价钱卖掉所有300个梨。但是，他只得到24卢布，即少卖了1卢布。这1卢布到哪里去了？”
数学教师也应注意增加习题（试题）的趣味性。为此，要具有敏锐的洞察力，基于学生的认知常识和思维定式，关注一些有趣的素材，将其加工成习题。一般来说，这样的素材在教材和配套教辅中不容易见到，而在各种课外的通俗读物、科普作品以及报纸杂志中更容易见到。因此，教师要广泛阅读、多加留心，发掘这样的素材并巧妙地改编。
例如，人教A版高中数学必修2（基于实验版课标编写的旧教材;目前处于新旧教材过渡阶段，该版教材还在使用）中“魔术师的地毯”的故事就可以改编成一道很有趣的习题，引导学生运用直线斜率的知识解决“如下页图1所示的正方形裁成四块后拼成如下页图2所示的长方形，为什么它们的面积不相等”的问题，从而充分感受到数学的魅力。
再如，教学“古典概型的计算”后，可以布置如下习题：小A（三枪能命中一枪）和神枪手（百发百中）、怪枪手（三枪能命中两枪）对决，小A最先射击，神枪手最后射击，小A如何才能保证胜率最高？该题改编自一本趣味数学游戏集中的素材，其答案是：小A可以放空枪，因为神枪手和怪枪手都会优先射击威胁较大的人。学生在做题时会尝试探讨各种可能性，枯燥的概率计算顿时生动有趣起来。
类似的例子还有很多，甚至电视综艺节目中的小游戏也能改编成数学习题。例如，美国电视综艺节目《让我们做个交易》（Let's Make a Deal）中，有一个很有趣的概率问题，也被称为“三门问题”。主持人向游戏参与者展示三扇关着的门。其中，两扇门后面各有一只山羊，另一扇门后面有一辆汽车。参与者选中有汽车的那扇门即可赢得汽车。当参与者选中一扇门后，主持人并不立即打开它，而是开启剩余两扇门中的一扇，露出后面的山羊（主持人事先知道每扇门后面分别是什么）。随后，主持人询问参与者是否要换另外一扇仍然关着的门。参与者可以更改原来的选择，也可以保持原来的选择不变。教学“条件概率”后，教师可以将这一游戏情境改编为习题，让学生计算更换前后赢得汽车的概率。大部分学生凭借直觉，会认为无论更改与否，概率都相等;而通过计算，可以帮助他们纠正错误的观点，加深对条件概率的理解。
参考文献：
[1] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2] 朱华伟，郑焕.《中小学生数学能力心理学》中蕴含的解题思想[J].数学教育学报，2010（2）.
[3] 李伯黍.《中小学生数学能力心理学》评介[J].心理科学通讯，1983（3）.
[4] 克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学[M].李伯黍，洪宝林，艾国英，等译.上海：上海教育出版社，1983.
[5] 吴跃忠，郑璇.“机械变式训练”阻碍认知策略的形成[J].数学通报，2014（12）.
[6] 钱巍，章飞.加强开放性，提升阅读力——对“八省联考”数学卷中两种新题型的教学思考[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（2）.
[7] 刘正松.趣味·過程·开放——英国小学数学练习印象[J].教育研究与评论（课堂观察），2015（8）.
[8] 顾彦琼.基于“三级水平”的“条件概率”教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（12）.