论文部分内容阅读
纵观近几年的高考试题，平面向量在高考中主要考查向量的共线、垂直、数量积的运算，重点是平面向量基本定理、坐标运算、几何意义及应用. 由于平面向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，因而成为联系数与形的重要纽带，容易与函数、三角函数、解析几何、数列、不等式等许多重要内容交汇综合，因此在复习时要特别注意向量与三角函数、解析几何等相关联问题的解决方法.
一、三角形形状的判断
例1 已知向量[OP1]、[OP2]、[OP3]满足条件[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，且[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，试判断[△P1P2P3]的形状.
分析 通过转化为边或角之间的关系来判断三角形的形状.
解 如图，以[OP1]与[OP2]为邻边作平行四边形[OP1PP2]，利用向量加法的平行四边形法则，易知[OP1]+[OP2]=[OP].
∵[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，∴[OP]=-[OP3].
又[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，
∴[|OP|]=[|OP1|]=[|PP1|]=1，
四边形[OP1PP2]为菱形.
∴[△POP1]为等边三角形.
故[∠P1OP=60°]，从而[∠P1OP2=120°].
同理可得[∠P2OP3=∠P1OP3=120°].
∵[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，
∴[△P1OP2]≌[△P2OP3]≌[△P1OP3].
∴[|P1P2|]=[|P2P3|]=[|P1P3|].
∴[△P1P2P3]为正三角形.
点拨 判断三角形的形状涉及到了平面向量中的平行四边形法则或三角形法则，通过求出三角形边长之间的关系或者边角关系或者数量积为零的结论来判断三角形的形状.
二、四心问题——内心、垂心、重心、外心
例2 已知[△ABC]的外心[O],重心[G].
（Ⅰ）设[OH=OA+OB+OC]，求证：[H]为垂心；
（Ⅱ）外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一条直线(欧拉线)上,且[|GH|=2|OG|].
分析 通过重心分中线的比，外心到三顶点的距离相等、垂心的垂直关系找到证明思路.
证明 （Ⅰ）[OH=OA+OB+OC]，
[∴AH=OB+OC]，
[AH⋅•BC=(OB+OC)•(OC-OB) =OC2-OB2=0.]
[∴AH⊥BC].
同理 [BH⊥AC,CH⊥BC]，即[H]为垂心.
（Ⅱ）[∴GA+GB+GC=0,OH=OA+OB+OC,]
[∴(OA-OG)+(OB-OG)+(OC-OG)=0],
[∴OG=13(OA+OB+OC)=13OH.]
[∴][△ABC]的外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一条直线(欧拉线)上,且[|GH|=2|OG|].
点拨 欧拉线能清晰地体现三心的位置关系，理解这些对解决相关的选择填空题很有帮助.
四心问题与向量的数量积、向量的平行四边形和三角形法则关系甚密，应理解并能应用以下结论：
①[λ(ABAB+ACAC),λ∈[0,+∞)]是[∠BAC]的角平分线上的任意向量，过内心；
②[λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)][,λ∈[0,+∞)]是[△ABC]边[BC]的高[AD]上任意向量，过垂心；
③[λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)]是[BC]边上的中线[AD]上的任意向量，过重心；
④在[△ABC]中，若[OA2=OB2=OC2]，[O]是[△ABC]的外心；
⑤若[OA+OB+OC=0]，则[O]是[△ABC]的重心；
⑥若[OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA]，则[O]是[△ABC]的垂心；
⑦若[a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0]，则[O]是[△ABC]的内心.
三、平行与垂直
例3 已知向量[a=(1,2)]，[b=(2,-3)]. 若向量[c]满足[(c+a)∥b]，[c⊥(a+b)]，则[c=]（ ）
A.[(79,73)] B.[(-73,-79)] C.[(73,79)] D.[(-79,-73)]
分析 向量用坐标形式给出，用坐标表示向量的平行和重合.
解 不妨设[c=(m,n)]，
则[a+c=(1+m,2+n),][a+b=(3,-1)]，
对于[(c+a)∥b]，则有[-3(1+m)=2(2+n)].
又[c⊥(a+b)]，则有[3m-n=0]，
解得[m=-79,n=-73], 选D.
例4 平面向量[a=(3,-1),][b=(12,32)]，若存在不同时为0的实数[k]和[t]，使[x=a+(t2-3)b,][y=-ka+tb,]且[x⊥y]，试求函数关系式[k=f(t)].
分析 先将题目条件的向量坐标化，再套用公式.
解 由[a=(3,-1),][b=(12,32)]，
得[a⋅b=0, |a|=2, |b|=1].
由[[a+(t2-3)b]⋅(-ka+tb)=0,]
得[-ka2+ta⋅b-k(t2-3)a⋅b+t(t2-3)b2=0,]
[-4k+t3-3t=0, k=14(t3-3t), ]
[故f(t)=14(t3-3t).]
点拨 平行与垂直的问题要注意基向量不垂直的情况，此时要灵活应用平面向量基本定理和数量积得计算公式.
四、角度问题
例5 已知在平面直角坐标系[xOy]中，向量[j=(0,1), △OFP]的面积为[23]，且[OF⋅FP=t,OM][=33OP+j] .
（Ⅰ）设[4 （Ⅱ）设以原点[O]为中心，对称轴在坐标轴上，以[F]为右焦点的椭圆经过点[M]，且[|OF|=c,t=(3-1)c2,]当[OP]取最小值时，求椭圆的方程.
分析 直接带入数量积计算公式，再与三角形的面积公式联立，将夹角的某一三角函数表示出来，再进行运算.
解 （Ⅰ）由[23=12OF•FP•sinθ,]
得[OF•FP=43sinθ.]
由[cosθ=OF⋅FPOF•FP=tsinθ43]，得[tanθ=43t.]
[∵4 [∵θ∈[0,π], ∴夹角θ的取值范围是(π4，π3).]
（Ⅱ）[设P(x0,y0),则FP=(x0-c,y0),OF=(c,0),]
[∴OF⋅FP=(x0-c,y0)⋅(c,0)]
[=(x0-c)c=t=3-1c2, ∴x0=3c.]
又[∵SΔOFP=12OF•y0=23, ∴y0=±43c.]
[OP=(3c)2+(43c)2≥26,]
当且仅当[c=2]时有最小值,
此时[OP]=([23],[±23]),
[∴OM=(2,3)]或（2,-1）,
故所求方程为[x216+y212=1]
或[x29+172+y21+172=1.]
点拨 角度问题多与数量积联系在一起，注意数量积的定义公式与坐标公式的应用.
五、共线与共点
例6 已知[OB=λOA+μOC]，其中[λ+μ=1]. 求证：[A]、[B]、[C]三点共线.
分析 通过向量共线(如[AB=kAC])得三点共线.
证明 如图,由[λ+μ=1]得[λ=1-μ],
则[OB=λOA+μOC=(1-μ)OA+μOC,]
[∴][OB-OA=μ(OC-OA),]
[∴][AB=μAC,]
[∴][A]、[B]、[C]三点共线.
六、轨迹方程问题
例7 平面直角坐标系中，[O]为坐标原点，已知[A(3,1)、B(-1,3),]若点[C]满足[OC=αOA+βOB]，其中[α、β∈R]，且[α+β=1]，则点[C]的轨迹方程为（ ）
A. [(x-1)2+(y-2)2=5] B. [3x+2y-1=0]
C. [2x-y=0] D. [x+2y-5=0]
分析 用向量相等的充要条件写各坐标之间关系，再用代入法求轨迹.
解 设[C(x,y)]，由题意
[(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)][=(3α-β, α+3β)].
于是[x=3α-β, ①y=α+3β, ②]
①＋②×2得[x+2y=5(α+β)=5].
于是点[C]的轨迹方程为[x+2y-5=0].
点拨 涉及到轨迹与方程问题，向量只是各种关系的呈现手段，直接将条件翻译成向量的关系或者运算公式即可.
七、平面向量在平面几何中的应用
例8 已知四边形[ABCD]是菱形，点[P]在对角线[AC]上（不包括端点[A、C]），则[AP]等于（ ）
A. [λ(AB+AD),λ∈(0,1)]
B. [λ(AB+BC),λ∈(0,22)]
C. [λ(AB-AD),λ∈(0,1)]
D. [λ(AB-BC),λ∈(0,22)]
分析 利用平行四边形的性质和向量的加法法则即可.
解 由向量的运算法则[AC=AB+AD]. 而点[P]在对角线[AC]上，所以[AP]与[AC]同向，且[AP 点拨 处理平面几何问题是平面向量最重要的应用之一. 以下是向量在平行四边形[ABCD]中的两个结论：
若[AB=AD]，则[(AB+AD)⋅(AB-AD)=0]，即菱形模型.
若[AB⊥AD]，则[AB+AD=AB-AD]，即矩形模型.
八、向量在物理中的应用
例9 已知力[F]与水平方向的夹角为[30°]（斜向上），[F]的大小为[50N]，[F]拉着一个重[80N]的木块在摩擦因数[μ=0.02]的水平平面上运动了[20mm]，问[F]、摩擦力[f]所做的功分别为多少？
分析 “功”是作用力与位移的数量积.
解 设木块的位移为[s]，
则[F⋅s=F•scos30°=50×20×32=5003J,]
[F在竖直方向上的分力的大小为]
[Fsin30°=50×12=25(N),]
[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]
[所以f⋅s=f•scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]
[即F、f 所做的功分别是5003J、-22J].
点评 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原成物理问题.
[【专题训练三】]
1. 已知向量[a]=(－2,1)，[b]=(－3，0)，则[a]在[b]方向上的投影为（ ）
A. －2 B. [5] C. 2 D. [-5]
2. 已知向量[a、b]不共线，若向量[a+λb]与[b+λa]的方向相反，则[λ]=（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. ±1
3. 已知[a]、[b]为非零向量，函数[f(x)=(xa][+b)⋅(a-xb)]，则使[f(x)]的图象为关于[y]轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（ ）
A. [a⊥b] B. [a∥b] C. [|a|=|b|] D. [a=b]
4. 若[e1]、[e2]是夹角为[π3]的单位向量，且[a=2e1]+[e2, ][b=-3e1]+[e2, ]则[a⋅b=]（ ）
A. 1 B. -4 C. [-72] D. [72]
5. 一质点受到平面上的三个力[F1、F2、F3]（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知[F1、F2]成[120°]角，且[F1、F2]的大小分别为1和2，则有（ ）
A. [F1、F3]成[90°]角 B. [F1、F3]成[150°]角
C. [F2、F3]成[90°]角 D. [F2、F3]成[60°]角
6. 已知向量[OA=(4,6),][OB=(3,5),]且[OC⊥OA,][AC∥OB]，则向量[OC=]（ ）
A. [(-37,27)] B. [(-27,421)]
C. [(37,-27)] D. [(27,-421)]
7. 若向量[a、b]满足[|a|=|b|=1,][a]与[b]的夹角为[60°],则[a⋅a+a⋅b=]（ ）
A. [12] B. [32] C. [1+32] D. 2
8. [O]为平面中一定点，动点[P]在[A、B、C]三点确定的平面内且满足（[OP-OA]）·（[AB-AC]）=0，则点[P]的轨迹一定过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
9. 向量[(b⋅c)a-(a⋅c)b]与向量[c]（ ）
A. 一定平行但不相等 B. 一定垂直
C. 一定平行且相等 D. 无法判定
10. 在[△ABC]中，有如下四个命题：
①[AB-AC=BC]；
②[AB+BC+CA=0;]
③若[(AB+AC)⋅(AB-AC)=0]，则[△ABC]为等腰三角形；
④若[AC⋅AB>0]，则[△ABC]为锐角三角形.
其中正确的命题序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ②④
11. 若[a、b、c]均为单位向量,且[a⋅b=0,][(a-c)⋅(b-c)≤0,]则[|a+b-c|]最大值为 .
12. 设向量[a与b]的夹角为[θ],[a=(3,3),][2b-a=(-1,1),]若直线[2x-y-8=0]沿向量[b]平移，所得直线过双曲线[x2m2-y222=1]的右焦点，则[cosθ=] ，双曲线[x2m2-y222=1]的离心率[e]= .
13. 已知[A、B、C]是直线[l]上的三点，向量[OA、OB、OC]满足[OA=[y+2f(1)]OB-lnx2⋅OC]，则函数[y=f(x)]的表达式为 .
14. 设两个向量[a＝(λ＋2，λ2－cos2α)]和[b＝(m，m2＋sinα)]，其中[λ、m、α]为实数. 若[a＝2b]，则[λm]的取值范围是 .
15. 设[e1、e2、e3、e4]是平面内的四个单位向量，其中[e1⊥e2, e3]与[e4]的夹角为[135°]，对这个平面内的任一个向量[a=xe1+ye2]，规定经过一次“斜二测变换”得到向量[a1=xe3+y2e4]，设向量[v=3e1-4e2]，则经过一次“斜二测变换”得到的向量[v1]的模[|v1|]是 .
16. 已知点[A(1,1)、B(1,-1)、C(2cosθ，2sinθ)][(θ∈R)]，[O]为坐标原点.
（Ⅰ）若[|BC-BA|=2],求[sin2θ]的值；
（Ⅱ）若实数[m、n]满足[mOA+nOB=OC],求[(m-3)2+n2]的最大值.
17. 已知[F1]、[F]椭圆[x26+y22=1]的两个焦点，过点[F]的直线[BC]交椭圆于[B、C]两点，
（Ⅰ）[OM=12(OC+OB)]，求点[M]的轨迹方程.
（Ⅱ）若相应于焦点[F]的准线[l]与[x]轴相交于点[A]，[|OF|=2|FA|]，过点[A]的直线与椭圆相交于[P、Q]两点. 设[AP=λAQ(λ>1)]，过点[P]且平行于准线[l]的直线与椭圆相交于另一点[M]，证明:[FM=-λFQ].
18. 如图，点[A1]、[A2]是线段[AB]的三等分点.
（Ⅰ）求证：[OA1+OA2=OA+OB]；
（Ⅱ）一般地，如果点[A1],[A2],…[An-1]是[AB]的[n(n≥3)]等分点，请写出一个结论，使（Ⅰ）为所写结论的一个特例. 并证明你写的结论.
19. 设函数[f(x)＝a⋅b]，其中向量[a＝(2cosx,1)]，[b＝(cosx，－3sin2x)，x∈R].
（Ⅰ）求函数[f(x)]的单调减区间；
（Ⅱ）若[x∈[－π4，0]]，求函数[f(x)]的值域；
（Ⅲ）若函数[y＝f(x)]的图象按向量[c＝(m，n)][(|m|＜π2)]平移后得到函数[y＝2sin2x]的图象，求实数[m、n]的值.
20. 设[{an}]为首项是–10，公差是2的等差数列，[{bn}]为首项是[-12]、公差是[12]的等差数列，[O]是原点，向量[OA=(-1,1),][OB=(1,1)]，点列[{Pn}]满足[OPn=][an⋅OA+bn⋅OB(n∈N*)].
（Ⅰ）证明：[P1，P2，…，Pn]共线；
（Ⅱ）若点[Pk(k∈N*)]表示点列[{Pn}]中处于第一象限的点，求[k]的值.
21. [△AOB]的重心为[G]，过[G]作直线交[DA]、[OB]于[P、Q]，[OP=hOA, OQ=kOB]，[△OAB]和[△OPQ]的面积分别为[S]和[T].
（Ⅰ）求证：[1h+1k=3]；
（Ⅱ）求证：[4S9≤T≤S2].
一、三角形形状的判断
例1 已知向量[OP1]、[OP2]、[OP3]满足条件[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，且[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，试判断[△P1P2P3]的形状.
分析 通过转化为边或角之间的关系来判断三角形的形状.
解 如图，以[OP1]与[OP2]为邻边作平行四边形[OP1PP2]，利用向量加法的平行四边形法则，易知[OP1]+[OP2]=[OP].
∵[OP1]+[OP2]+[OP3=0]，∴[OP]=-[OP3].
又[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，
∴[|OP|]=[|OP1|]=[|PP1|]=1，
四边形[OP1PP2]为菱形.
∴[△POP1]为等边三角形.
故[∠P1OP=60°]，从而[∠P1OP2=120°].
同理可得[∠P2OP3=∠P1OP3=120°].
∵[|OP1|]=[|OP2|]=[|OP3|]=1，
∴[△P1OP2]≌[△P2OP3]≌[△P1OP3].
∴[|P1P2|]=[|P2P3|]=[|P1P3|].
∴[△P1P2P3]为正三角形.
点拨 判断三角形的形状涉及到了平面向量中的平行四边形法则或三角形法则，通过求出三角形边长之间的关系或者边角关系或者数量积为零的结论来判断三角形的形状.
二、四心问题——内心、垂心、重心、外心
例2 已知[△ABC]的外心[O],重心[G].
（Ⅰ）设[OH=OA+OB+OC]，求证：[H]为垂心；
（Ⅱ）外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一条直线(欧拉线)上,且[|GH|=2|OG|].
分析 通过重心分中线的比，外心到三顶点的距离相等、垂心的垂直关系找到证明思路.
证明 （Ⅰ）[OH=OA+OB+OC]，
[∴AH=OB+OC]，
[AH⋅•BC=(OB+OC)•(OC-OB) =OC2-OB2=0.]
[∴AH⊥BC].
同理 [BH⊥AC,CH⊥BC]，即[H]为垂心.
（Ⅱ）[∴GA+GB+GC=0,OH=OA+OB+OC,]
[∴(OA-OG)+(OB-OG)+(OC-OG)=0],
[∴OG=13(OA+OB+OC)=13OH.]
[∴][△ABC]的外心[O]、重心[G]、垂心[H]在一条直线(欧拉线)上,且[|GH|=2|OG|].
点拨 欧拉线能清晰地体现三心的位置关系，理解这些对解决相关的选择填空题很有帮助.
四心问题与向量的数量积、向量的平行四边形和三角形法则关系甚密，应理解并能应用以下结论：
①[λ(ABAB+ACAC),λ∈[0,+∞)]是[∠BAC]的角平分线上的任意向量，过内心；
②[λ(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)][,λ∈[0,+∞)]是[△ABC]边[BC]的高[AD]上任意向量，过垂心；
③[λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)]是[BC]边上的中线[AD]上的任意向量，过重心；
④在[△ABC]中，若[OA2=OB2=OC2]，[O]是[△ABC]的外心；
⑤若[OA+OB+OC=0]，则[O]是[△ABC]的重心；
⑥若[OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA]，则[O]是[△ABC]的垂心；
⑦若[a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0]，则[O]是[△ABC]的内心.
三、平行与垂直
例3 已知向量[a=(1,2)]，[b=(2,-3)]. 若向量[c]满足[(c+a)∥b]，[c⊥(a+b)]，则[c=]（ ）
A.[(79,73)] B.[(-73,-79)] C.[(73,79)] D.[(-79,-73)]
分析 向量用坐标形式给出，用坐标表示向量的平行和重合.
解 不妨设[c=(m,n)]，
则[a+c=(1+m,2+n),][a+b=(3,-1)]，
对于[(c+a)∥b]，则有[-3(1+m)=2(2+n)].
又[c⊥(a+b)]，则有[3m-n=0]，
解得[m=-79,n=-73], 选D.
例4 平面向量[a=(3,-1),][b=(12,32)]，若存在不同时为0的实数[k]和[t]，使[x=a+(t2-3)b,][y=-ka+tb,]且[x⊥y]，试求函数关系式[k=f(t)].
分析 先将题目条件的向量坐标化，再套用公式.
解 由[a=(3,-1),][b=(12,32)]，
得[a⋅b=0, |a|=2, |b|=1].
由[[a+(t2-3)b]⋅(-ka+tb)=0,]
得[-ka2+ta⋅b-k(t2-3)a⋅b+t(t2-3)b2=0,]
[-4k+t3-3t=0, k=14(t3-3t), ]
[故f(t)=14(t3-3t).]
点拨 平行与垂直的问题要注意基向量不垂直的情况，此时要灵活应用平面向量基本定理和数量积得计算公式.
四、角度问题
例5 已知在平面直角坐标系[xOy]中，向量[j=(0,1), △OFP]的面积为[23]，且[OF⋅FP=t,OM][=33OP+j] .
（Ⅰ）设[4
分析 直接带入数量积计算公式，再与三角形的面积公式联立，将夹角的某一三角函数表示出来，再进行运算.
解 （Ⅰ）由[23=12OF•FP•sinθ,]
得[OF•FP=43sinθ.]
由[cosθ=OF⋅FPOF•FP=tsinθ43]，得[tanθ=43t.]
[∵4
（Ⅱ）[设P(x0,y0),则FP=(x0-c,y0),OF=(c,0),]
[∴OF⋅FP=(x0-c,y0)⋅(c,0)]
[=(x0-c)c=t=3-1c2, ∴x0=3c.]
又[∵SΔOFP=12OF•y0=23, ∴y0=±43c.]
[OP=(3c)2+(43c)2≥26,]
当且仅当[c=2]时有最小值,
此时[OP]=([23],[±23]),
[∴OM=(2,3)]或（2,-1）,
故所求方程为[x216+y212=1]
或[x29+172+y21+172=1.]
点拨 角度问题多与数量积联系在一起，注意数量积的定义公式与坐标公式的应用.
五、共线与共点
例6 已知[OB=λOA+μOC]，其中[λ+μ=1]. 求证：[A]、[B]、[C]三点共线.
分析 通过向量共线(如[AB=kAC])得三点共线.
证明 如图,由[λ+μ=1]得[λ=1-μ],
则[OB=λOA+μOC=(1-μ)OA+μOC,]
[∴][OB-OA=μ(OC-OA),]
[∴][AB=μAC,]
[∴][A]、[B]、[C]三点共线.
六、轨迹方程问题
例7 平面直角坐标系中，[O]为坐标原点，已知[A(3,1)、B(-1,3),]若点[C]满足[OC=αOA+βOB]，其中[α、β∈R]，且[α+β=1]，则点[C]的轨迹方程为（ ）
A. [(x-1)2+(y-2)2=5] B. [3x+2y-1=0]
C. [2x-y=0] D. [x+2y-5=0]
分析 用向量相等的充要条件写各坐标之间关系，再用代入法求轨迹.
解 设[C(x,y)]，由题意
[(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)][=(3α-β, α+3β)].
于是[x=3α-β, ①y=α+3β, ②]
①＋②×2得[x+2y=5(α+β)=5].
于是点[C]的轨迹方程为[x+2y-5=0].
点拨 涉及到轨迹与方程问题，向量只是各种关系的呈现手段，直接将条件翻译成向量的关系或者运算公式即可.
七、平面向量在平面几何中的应用
例8 已知四边形[ABCD]是菱形，点[P]在对角线[AC]上（不包括端点[A、C]），则[AP]等于（ ）
A. [λ(AB+AD),λ∈(0,1)]
B. [λ(AB+BC),λ∈(0,22)]
C. [λ(AB-AD),λ∈(0,1)]
D. [λ(AB-BC),λ∈(0,22)]
分析 利用平行四边形的性质和向量的加法法则即可.
解 由向量的运算法则[AC=AB+AD]. 而点[P]在对角线[AC]上，所以[AP]与[AC]同向，且[AP
若[AB=AD]，则[(AB+AD)⋅(AB-AD)=0]，即菱形模型.
若[AB⊥AD]，则[AB+AD=AB-AD]，即矩形模型.
八、向量在物理中的应用
例9 已知力[F]与水平方向的夹角为[30°]（斜向上），[F]的大小为[50N]，[F]拉着一个重[80N]的木块在摩擦因数[μ=0.02]的水平平面上运动了[20mm]，问[F]、摩擦力[f]所做的功分别为多少？
分析 “功”是作用力与位移的数量积.
解 设木块的位移为[s]，
则[F⋅s=F•scos30°=50×20×32=5003J,]
[F在竖直方向上的分力的大小为]
[Fsin30°=50×12=25(N),]
[f=(80-25)×0.02=1.1(N)，]
[所以f⋅s=f•scos180°=1.1×20×(-1)=-22(J)]
[即F、f 所做的功分别是5003J、-22J].
点评 用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原成物理问题.
1. 已知向量[a]=(－2,1)，[b]=(－3，0)，则[a]在[b]方向上的投影为（ ）
A. －2 B. [5] C. 2 D. [-5]
2. 已知向量[a、b]不共线，若向量[a+λb]与[b+λa]的方向相反，则[λ]=（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. ±1
3. 已知[a]、[b]为非零向量，函数[f(x)=(xa][+b)⋅(a-xb)]，则使[f(x)]的图象为关于[y]轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（ ）
A. [a⊥b] B. [a∥b] C. [|a|=|b|] D. [a=b]
4. 若[e1]、[e2]是夹角为[π3]的单位向量，且[a=2e1]+[e2, ][b=-3e1]+[e2, ]则[a⋅b=]（ ）
A. 1 B. -4 C. [-72] D. [72]
5. 一质点受到平面上的三个力[F1、F2、F3]（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知[F1、F2]成[120°]角，且[F1、F2]的大小分别为1和2，则有（ ）
A. [F1、F3]成[90°]角 B. [F1、F3]成[150°]角
C. [F2、F3]成[90°]角 D. [F2、F3]成[60°]角
6. 已知向量[OA=(4,6),][OB=(3,5),]且[OC⊥OA,][AC∥OB]，则向量[OC=]（ ）
A. [(-37,27)] B. [(-27,421)]
C. [(37,-27)] D. [(27,-421)]
7. 若向量[a、b]满足[|a|=|b|=1,][a]与[b]的夹角为[60°],则[a⋅a+a⋅b=]（ ）
A. [12] B. [32] C. [1+32] D. 2
8. [O]为平面中一定点，动点[P]在[A、B、C]三点确定的平面内且满足（[OP-OA]）·（[AB-AC]）=0，则点[P]的轨迹一定过[△ABC]的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
9. 向量[(b⋅c)a-(a⋅c)b]与向量[c]（ ）
A. 一定平行但不相等 B. 一定垂直
C. 一定平行且相等 D. 无法判定
10. 在[△ABC]中，有如下四个命题：
①[AB-AC=BC]；
②[AB+BC+CA=0;]
③若[(AB+AC)⋅(AB-AC)=0]，则[△ABC]为等腰三角形；
④若[AC⋅AB>0]，则[△ABC]为锐角三角形.
其中正确的命题序号是（ ）
A. ①② B. ①③④ C. ②③ D. ②④
11. 若[a、b、c]均为单位向量,且[a⋅b=0,][(a-c)⋅(b-c)≤0,]则[|a+b-c|]最大值为 .
12. 设向量[a与b]的夹角为[θ],[a=(3,3),][2b-a=(-1,1),]若直线[2x-y-8=0]沿向量[b]平移，所得直线过双曲线[x2m2-y222=1]的右焦点，则[cosθ=] ，双曲线[x2m2-y222=1]的离心率[e]= .
13. 已知[A、B、C]是直线[l]上的三点，向量[OA、OB、OC]满足[OA=[y+2f(1)]OB-lnx2⋅OC]，则函数[y=f(x)]的表达式为 .
14. 设两个向量[a＝(λ＋2，λ2－cos2α)]和[b＝(m，m2＋sinα)]，其中[λ、m、α]为实数. 若[a＝2b]，则[λm]的取值范围是 .
15. 设[e1、e2、e3、e4]是平面内的四个单位向量，其中[e1⊥e2, e3]与[e4]的夹角为[135°]，对这个平面内的任一个向量[a=xe1+ye2]，规定经过一次“斜二测变换”得到向量[a1=xe3+y2e4]，设向量[v=3e1-4e2]，则经过一次“斜二测变换”得到的向量[v1]的模[|v1|]是 .
16. 已知点[A(1,1)、B(1,-1)、C(2cosθ，2sinθ)][(θ∈R)]，[O]为坐标原点.
（Ⅰ）若[|BC-BA|=2],求[sin2θ]的值；
（Ⅱ）若实数[m、n]满足[mOA+nOB=OC],求[(m-3)2+n2]的最大值.
17. 已知[F1]、[F]椭圆[x26+y22=1]的两个焦点，过点[F]的直线[BC]交椭圆于[B、C]两点，
（Ⅰ）[OM=12(OC+OB)]，求点[M]的轨迹方程.
（Ⅱ）若相应于焦点[F]的准线[l]与[x]轴相交于点[A]，[|OF|=2|FA|]，过点[A]的直线与椭圆相交于[P、Q]两点. 设[AP=λAQ(λ>1)]，过点[P]且平行于准线[l]的直线与椭圆相交于另一点[M]，证明:[FM=-λFQ].
18. 如图，点[A1]、[A2]是线段[AB]的三等分点.
（Ⅰ）求证：[OA1+OA2=OA+OB]；
（Ⅱ）一般地，如果点[A1],[A2],…[An-1]是[AB]的[n(n≥3)]等分点，请写出一个结论，使（Ⅰ）为所写结论的一个特例. 并证明你写的结论.
19. 设函数[f(x)＝a⋅b]，其中向量[a＝(2cosx,1)]，[b＝(cosx，－3sin2x)，x∈R].
（Ⅰ）求函数[f(x)]的单调减区间；
（Ⅱ）若[x∈[－π4，0]]，求函数[f(x)]的值域；
（Ⅲ）若函数[y＝f(x)]的图象按向量[c＝(m，n)][(|m|＜π2)]平移后得到函数[y＝2sin2x]的图象，求实数[m、n]的值.
20. 设[{an}]为首项是–10，公差是2的等差数列，[{bn}]为首项是[-12]、公差是[12]的等差数列，[O]是原点，向量[OA=(-1,1),][OB=(1,1)]，点列[{Pn}]满足[OPn=][an⋅OA+bn⋅OB(n∈N*)].
（Ⅰ）证明：[P1，P2，…，Pn]共线；
（Ⅱ）若点[Pk(k∈N*)]表示点列[{Pn}]中处于第一象限的点，求[k]的值.
21. [△AOB]的重心为[G]，过[G]作直线交[DA]、[OB]于[P、Q]，[OP=hOA, OQ=kOB]，[△OAB]和[△OPQ]的面积分别为[S]和[T].
（Ⅰ）求证：[1h+1k=3]；
（Ⅱ）求证：[4S9≤T≤S2].