论文部分内容阅读
[摘 要]数学实验课堂是开放性的课堂，它能够给予学生积极思考、动手实践、自主探索、合作交流的机会，是学生经历知识的形成过程，感悟数学思想和方法，获得基本的数学活动经验的重要场所。在数学实验课堂中应该给予学生充足的实验探究时间，尽可能不给或少给限制和提示，鼓励学生用自己喜欢的契合自身实际的认知方式去探索和发现，尊重学生思维的独立性和多样性。
[关键词]多边形内角和；实验；生动
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）29-0028-02
弗赖登塔尔提出：“‘学一个活动的最好方法是做’，通过‘做’进行‘再创造’。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》也提出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，教师在课堂中要挖掘可以给学生进行实验活动的素材，创设实验问题情境，由学生主动构建解决问题的基础模型，给予学生充足的实验探究时间，让学生多角度尝试和发现，从而经历知识的形成过程，感悟数学思想和方法，获得基本的数学活动经验，最终形成数学研究素养。
【教学片段一】自主探究 寻求方向
（从四边形开始探索多边形的内角和时，学生通常会选择一些特殊的四边形，试图通过特殊的例子寻找实验的思路和方法）
生1：我们组选用正方形来研究。正方形的四个角都是90°，所以四边形的内角和是360°。
生2：我们组选用长方形进行研究。由于长方形的四个角都是90°，所以我们认为四边形的内角和是360°。
生3：我们组选择的是平行四边形。把平行四边形分成两个三角形，一个三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和就是两个180°，也就是360°，所以我们也认为四边形的内角和是360°。
（虽然学生选择的都是特殊的多边形，但他们的实验思路却具有一般性）
师：其他的四边形的内角和也可以像平行四边形一样分成两个三角形来求吗？请小组合作，任意画一个四边形进行实验研究。
生（实验研究后总结）：不论是什么样的四边形，只要任意连接其中一条对角线，就可以把四边形分成两个三角形（如图1）。因此，四边形的内角和是360°。
实验研究能够培养学生的思维能力、动手能力、探索和合作精神，因此，教师应设计开放式的实验，在学生实验探究过程中尽可能不给或少给限制和提示，让学生自主寻找实验思路，思考实验方法。对于同一问题，学生在探究时会出现殊途同归的情况，对此，教师应当在学生实验探究的过程中扮演问题关键点的点拨者，引导学生把握实验研究的方向。在四边形内角和的研究中，其中两组学生通过研究正方形和长方形很快就猜测四边形的内角和是360°，这是试图从特殊情况去获取一般情况，而第三组的学生把平行四边形转化成两个三角形，通过三角形的内角和推理得到四边形的内角和。虽然平行四边形也是特殊的四边形，但这个实验的思路和方法却是值得推广的。此时，教师应通过追问引导学生步入正确的实验轨道。显然，只有在教学中给予学生广阔的实验空间，对学生思维不加限制，并在学生遇到困难时进行点拨，才能让学生充分地动起来。
【教学片段二】方法迁移 多面开花
（对于五边形的内角和，因为已经有了四边形内角和的研究经验，绝大多数学生很容易想到將五边形分成若干个已知内角和的多边形来进行研究）
生1：我们把五边形分成三个三角形（如图2），所以五边形的内角和是180°×3=540°。
生2：我们把五边形分成一个三角形和一个四边形（如图3），所以五边形的内角和是180° 360°=540°。
生3：我们把五边形分成五个三角形（如图4），但是中间却多算了一个周角的度数，所以五边形的内角和是180°×5-360°=540°。
对于五边形内角和的实验探究，教材推荐的方法与生1的相同，从节省时间的角度来讲，教师可以直接引导学生利用生2的方法进行研究，然而，积累数学实验经验重于知识的获取，只有在探究时给予学生充足的时间，不束缚研究思路，回报才会是丰硕的：学生的思路打开了，他们能够利用探索四边形内角和的经验，将五边形转化成已知内角和的多边形，这不仅仅是三角形，也可以是三角形“ ”四边形；不仅仅是“ ”，也可以出现“-”——生3的思路又为深度探究提供了思维支撑。至此，学生的“动”让整节课展现了更新的活力。
【教学片段三】提炼规律 深度理解
1.成果汇总，初探规律
根据推导出的不同多边形的内角和，教师组织学生归纳并总结规律。
2.深度探究规律
师：多边形的内角和为什么不是几条边就是几个180°的和，而是边数减2后乘以180°？你们能够用自己的研究来解释这个现象吗？
生1：我们在研究五边形内角和时将五边形分成了五个三角形，但是这种分法必定多算了一个周角，也就是180°×2，所以用“180°乘以边数（5）后必须减去多算的两个180°。研究六边形时也存在这样的问题，所以多边形的内角和一定是“180°×（边数-2）”。
生2：我们是把多边形分成若干个三角形，在分的时候发现至少三个顶点才能得一个三角形，在此基础上，而每增加一个顶点，就会多得一个三角形，多边形是几条边就有几个顶点，那么这样分得的三角形个数就必定比多边形的顶点数少2，可以看成“边数-2”，所以多边形的内角和是“180×（边数-2）”。 弗赖登塔尔说：“在较低层次的活动过程中的想法、制造的数学工具等会变成高层次学习时思考的物件。”也就是说，在实验探究的过程中，学生探究的思路，活动的过程、表达的语言、总结的公式等都会变成更高层次学习的媒介。对于这些重要的生成性资源，教师要有意识地进行拾取，让学生退回下一层或自然进入更高层次的学习。在学生通过实验探究出多边形内角和的一般规律“180°×（边数-2）”后，教师对学生的结论进行有意引导，可引发学生对规律的进一步探究，从而让学生对于规律的理解上升到更高层次。
【教学片段四】外延拓展 扩大成果
师：其实多边形除了内角之外还有外角。如图5，这个三角形中的∠1、∠2、∠3是内角，而∠4、∠5、∠6是和这些内角相对应的外角。通过刚才的实验探究我们发现每一种多边形都有固定的内角和，且这些多边形的内角和是有规律可循的，即180°的倍数，是不是多边形的外角和和内角和一样也存在着规律呢？
生1：我们组用量角器量出了每个外角的度数，求出三角形的外角和是360°。
生2：我們组是认为每个内角和对应的外角的和正好是一个平角（180°），那么三角形内角与外角的总和就是180°×3=540°，而三角形的内角和是180°，所以外角和就是540°-180°=360°。
在研究三角形外角和的基础上，学生自主实验探究四边形、五边形、六边形的外角和。
数学实验课堂应当是开放性的课堂，教学内容的选择不要拘泥于教材，要关注与学生探究活动中有关的知识，让学生的体验过程更加完整。通过数据汇总，学生发现内外角总和总是比内角和多“180°×2”，更是明晰了360°的来历。这样，外角和作为本节课的主要知识，既让学生感受到了每种多边形内角和的“统一”，又让学生在教学最后对外角和的挖掘研究中感悟到数学的“同一”，这不正是数学的美吗？
让学生“动”起来的数学实验课堂，能创造更多的机会并给予充足的时间让学生在实验探究中经历知识形成的过程，从而理解数学概念、体会数学思想、形成数学技能。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬等，编译.上海：上海教育出版社，1995.
[2] 陈士文.白话数学：“1”和“三角形”[J].小学数学教师，2016（2）.
[3] 陈燕虹.“数学是人类活动”观点下的数学活动[J].小学数学教师，2016（6）.
（责编 金 铃）
[关键词]多边形内角和；实验；生动
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）29-0028-02
弗赖登塔尔提出：“‘学一个活动的最好方法是做’，通过‘做’进行‘再创造’。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》也提出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此，教师在课堂中要挖掘可以给学生进行实验活动的素材，创设实验问题情境，由学生主动构建解决问题的基础模型，给予学生充足的实验探究时间，让学生多角度尝试和发现，从而经历知识的形成过程，感悟数学思想和方法，获得基本的数学活动经验，最终形成数学研究素养。
【教学片段一】自主探究 寻求方向
（从四边形开始探索多边形的内角和时，学生通常会选择一些特殊的四边形，试图通过特殊的例子寻找实验的思路和方法）
生1：我们组选用正方形来研究。正方形的四个角都是90°，所以四边形的内角和是360°。
生2：我们组选用长方形进行研究。由于长方形的四个角都是90°，所以我们认为四边形的内角和是360°。
生3：我们组选择的是平行四边形。把平行四边形分成两个三角形，一个三角形的内角和是180°，平行四边形的内角和就是两个180°，也就是360°，所以我们也认为四边形的内角和是360°。
（虽然学生选择的都是特殊的多边形，但他们的实验思路却具有一般性）
师：其他的四边形的内角和也可以像平行四边形一样分成两个三角形来求吗？请小组合作，任意画一个四边形进行实验研究。
生（实验研究后总结）：不论是什么样的四边形，只要任意连接其中一条对角线，就可以把四边形分成两个三角形（如图1）。因此，四边形的内角和是360°。
实验研究能够培养学生的思维能力、动手能力、探索和合作精神，因此，教师应设计开放式的实验，在学生实验探究过程中尽可能不给或少给限制和提示，让学生自主寻找实验思路，思考实验方法。对于同一问题，学生在探究时会出现殊途同归的情况，对此，教师应当在学生实验探究的过程中扮演问题关键点的点拨者，引导学生把握实验研究的方向。在四边形内角和的研究中，其中两组学生通过研究正方形和长方形很快就猜测四边形的内角和是360°，这是试图从特殊情况去获取一般情况，而第三组的学生把平行四边形转化成两个三角形，通过三角形的内角和推理得到四边形的内角和。虽然平行四边形也是特殊的四边形，但这个实验的思路和方法却是值得推广的。此时，教师应通过追问引导学生步入正确的实验轨道。显然，只有在教学中给予学生广阔的实验空间，对学生思维不加限制，并在学生遇到困难时进行点拨，才能让学生充分地动起来。
【教学片段二】方法迁移 多面开花
（对于五边形的内角和，因为已经有了四边形内角和的研究经验，绝大多数学生很容易想到將五边形分成若干个已知内角和的多边形来进行研究）
生1：我们把五边形分成三个三角形（如图2），所以五边形的内角和是180°×3=540°。
生2：我们把五边形分成一个三角形和一个四边形（如图3），所以五边形的内角和是180° 360°=540°。
生3：我们把五边形分成五个三角形（如图4），但是中间却多算了一个周角的度数，所以五边形的内角和是180°×5-360°=540°。
对于五边形内角和的实验探究，教材推荐的方法与生1的相同，从节省时间的角度来讲，教师可以直接引导学生利用生2的方法进行研究，然而，积累数学实验经验重于知识的获取，只有在探究时给予学生充足的时间，不束缚研究思路，回报才会是丰硕的：学生的思路打开了，他们能够利用探索四边形内角和的经验，将五边形转化成已知内角和的多边形，这不仅仅是三角形，也可以是三角形“ ”四边形；不仅仅是“ ”，也可以出现“-”——生3的思路又为深度探究提供了思维支撑。至此，学生的“动”让整节课展现了更新的活力。
【教学片段三】提炼规律 深度理解
1.成果汇总，初探规律
根据推导出的不同多边形的内角和，教师组织学生归纳并总结规律。
2.深度探究规律
师：多边形的内角和为什么不是几条边就是几个180°的和，而是边数减2后乘以180°？你们能够用自己的研究来解释这个现象吗？
生1：我们在研究五边形内角和时将五边形分成了五个三角形，但是这种分法必定多算了一个周角，也就是180°×2，所以用“180°乘以边数（5）后必须减去多算的两个180°。研究六边形时也存在这样的问题，所以多边形的内角和一定是“180°×（边数-2）”。
生2：我们是把多边形分成若干个三角形，在分的时候发现至少三个顶点才能得一个三角形，在此基础上，而每增加一个顶点，就会多得一个三角形，多边形是几条边就有几个顶点，那么这样分得的三角形个数就必定比多边形的顶点数少2，可以看成“边数-2”，所以多边形的内角和是“180×（边数-2）”。 弗赖登塔尔说：“在较低层次的活动过程中的想法、制造的数学工具等会变成高层次学习时思考的物件。”也就是说，在实验探究的过程中，学生探究的思路，活动的过程、表达的语言、总结的公式等都会变成更高层次学习的媒介。对于这些重要的生成性资源，教师要有意识地进行拾取，让学生退回下一层或自然进入更高层次的学习。在学生通过实验探究出多边形内角和的一般规律“180°×（边数-2）”后，教师对学生的结论进行有意引导，可引发学生对规律的进一步探究，从而让学生对于规律的理解上升到更高层次。
【教学片段四】外延拓展 扩大成果
师：其实多边形除了内角之外还有外角。如图5，这个三角形中的∠1、∠2、∠3是内角，而∠4、∠5、∠6是和这些内角相对应的外角。通过刚才的实验探究我们发现每一种多边形都有固定的内角和，且这些多边形的内角和是有规律可循的，即180°的倍数，是不是多边形的外角和和内角和一样也存在着规律呢？
生1：我们组用量角器量出了每个外角的度数，求出三角形的外角和是360°。
生2：我們组是认为每个内角和对应的外角的和正好是一个平角（180°），那么三角形内角与外角的总和就是180°×3=540°，而三角形的内角和是180°，所以外角和就是540°-180°=360°。
在研究三角形外角和的基础上，学生自主实验探究四边形、五边形、六边形的外角和。
数学实验课堂应当是开放性的课堂，教学内容的选择不要拘泥于教材，要关注与学生探究活动中有关的知识，让学生的体验过程更加完整。通过数据汇总，学生发现内外角总和总是比内角和多“180°×2”，更是明晰了360°的来历。这样，外角和作为本节课的主要知识，既让学生感受到了每种多边形内角和的“统一”，又让学生在教学最后对外角和的挖掘研究中感悟到数学的“同一”，这不正是数学的美吗？
让学生“动”起来的数学实验课堂，能创造更多的机会并给予充足的时间让学生在实验探究中经历知识形成的过程，从而理解数学概念、体会数学思想、形成数学技能。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬等，编译.上海：上海教育出版社，1995.
[2] 陈士文.白话数学：“1”和“三角形”[J].小学数学教师，2016（2）.
[3] 陈燕虹.“数学是人类活动”观点下的数学活动[J].小学数学教师，2016（6）.
（责编 金 铃）