摘要：又是一届高三复习，在一轮快要结束，模拟考试接踵而至的时候，怎样用好模拟试题，有针对性的调整复习策略，快速提升复习效率是之后的复习要想的、要做的。
　　关键词：反思复习策略函数的性质学生主体性参与
　　中图分类号：G632.479文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）04-073-2
　　7月8号、9号我校高三第一次模拟考试数学文科卷中有这样一道试题：
　　问题：对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”。函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x︱f（x）=x}，B={x︱f[f（x）]=x}
　　（1）设函数f（x）=ax2 bx c（a≠0），且A=Φ，求证：B=Φ;
　　（2）设函数f（x）=3x 4，求集合A和B ，并分析能否根据中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举一反例。
　　一、考后试卷讲评
　　教师：这次考试的第20题得分率“超低”，其它的试题带有一定的方向性和模式化。打个比方，我们做过的复习如同为你准备了一个工具箱：榔头，钳子、螺丝刀、扳手、电笔等等。但是这道题，有同学翻遍了自己的工具箱，找不到合适的工具去解决。现在老师将为数不多的同学的考试时的解答过程以及试卷提供的答案都写在黑板上，请同学们再次反观此题，“难”在何处？
　　部分学生的解答：
　　学生1：令f（x）=x，即就是ax2 bx c=x，A=Φ即就是△=（b-1）2-4ac<0。
　　再令f[f（x）]=x，即就是a（ax2 bx c） b（ax2 bx c）=x，（应该证明此方程无解，可是化简太繁琐，不知道下面应该怎么做。）
　　学生2：同上面，令f（x）=x，即就是ax2 bx c=x，A=Φ，即就是△=（b-1）2-4ac<0。
　　令t=ax2 bx c，于是方程a（ax2 bx c） b（ax2 bx c） c=x变为at bt c=0计算其△=（b-1）2-4ac<0。
　　学生3：假设B≠Φ，则存在x使得方程f[f（x）]=x有解，则与题设A=Φ矛盾，所以假设不成立，原命题成立，∴B=Φ
　　学生4：f[f（x）]=a[f（x）]2 bf（x） c=x
　　即a[f（x）]2 bf（x） c-x=0又∴x=f（x）
　　∴a[f（x）]2 （b-1）f（x） c=0其△=（b-1）2-4ac<0
　　故B=Φ
　　学生5：（1）空
　　（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}，根据（1）和（2）的结论知A=B成立。因为若f（x）=x则x=f（x）有代入f[f（x）]=x中，又得f（x）=x，故A=B成立。
　　学生6：（1）同上
　　（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能断定A=B成立，取函数y=1x，知集合A={x︱f（x）=x}={-1，1}。集合B={x︱f[f（x）]=x}={x︱x=x}={x︱x≠0，x∈R}，故A≠B。
　　標准答案为：
　　（1）由A=Φ得方程ax2 bx c=x无实数解，则△=（b-1）2-4ac<0。
　　①当a>0时，二次函数y=f（x）-x，即函数y=ax2 （b-1）x c的图像恒在x轴的上方。
　　所以对于任意的x∈R，f（x）-x>0恒成立，
　　即对任意的x∈R，f（x）>x恒成立，
　　对于实数f（x），则有f[f（x）]>f（x）成立，
　　所以对于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ。
　　②当a<0时，同理易得B=Φ。
　　综上对于函数f（x）=ax2 bx c（a≠0），当A=Φ时B=Φ。
　　（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能判断集合A=B成立，举例：函数如表中所给
　　则集合A≠B
　　学生参与讲评：
　　将所有本由教师看到的信息暴露到学生眼前，很快，得分率非常低，考试后抱怨此题“太难”的孩子发现了诸多问题：
　　学生1：标准答案的证明中方程ax2 bx c=x无实数解，则△=（b-1）2-4ac<0好像对于后面证明当A=Φ时B=Φ就没有多大关系？
　　学生2：如果想找到一定的联系，应该是将函数看作是二次函数，以利于讨论开口方向。
　　教师：很好，那如果删去△=（b-1）2-4ac<0的判定，删去a>0和a<0的分类呢？
　　学生3：
　　∵A=Φ，所以对于任意的x∈R，f（x）≠x恒成立，
　　∴对于任意实数x∈R，f（x）-x>0或f（x）-x<0成立，
　　若f（x）-x>0成立即对于任意x∈R，f（x）>x成立
　　则对于实数f（x），则有f[f（x）]>f（x）成立，
　　所以对于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ
　　若f（x）-x<0时，同理易得B=Φ。
　　综上对于函数f（x）=ax2 bx c（a≠0），当A=Φ时B=Φ。
　　教师：这位同学说的非常好，再反思题本身，在上面的证明中，去掉函数f（x）=ax2 bx c（a≠0），对于任意函数f（x），都有若当A=Φ时B=Φ。揣测这道题编者的意图，是“多此一举”有意让大家误入对二次函数的“歧途”？还是为了降低抽象度，用具体的事例诠释函数抽象的性质？如果我们必须被引领至对二次方程“根”的判定上，此题又能怎样解答呢？