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当数列{an}的递推式满足an 2 pan 1 qan=0（p，q∈R，n≥1）时，称数列{an}是一个二阶线性递推数列.这个数列是我们非常熟悉的，可以应用特征方程法求其通项.然而有些时候通项并不是我们所关心的，我们更关心的是这个数列所具有的一些性质，况且往往这种数列通项的形式非常繁琐.这里介绍一个二阶线性递推数列的非常好的性质：
若数列{an}满足二阶线性递推式，即an 2 pan 1 qan=0（p，q∈R，n≥1），则数列{a2n 1 pan 1an qa2n}构成等比数列，且公比为q.
证明：首先构造参数λ1，λ2，使得an 2-λ1an 1=λ2（an 1-λ1an）.
与原递推式相比较，发现λ1 λ2=-p，λ1λ2=q，这也就是说λ1，λ2为方程
x2 px q=0的两根，这就是我们所熟知的特征方程.于是{an 2-λ1an 1}构成公比为λ2等比数列，进而可以求出{an}的通项公式.
我们发现，参数λ1与λ2的地位是等价的，也就是说求出来λ1和λ2之后，原递推式变为an 2-λ1an 1=λ2（an 1-λ1an）①或者an 2-λ2an 1=λ1（an 1-λ2an）②
将①式与②式相乘，得：a2n 2 pan 2an 1 qa2n 1=q（a2n 1 pan 1an qa2n）.
注：特别的，当q=1时，数列{a2n 1 pan 1an qa2n}为常数列.
例1 数列{an}满足a0=1，an 1=7an 45a2n-362，n∈N，证明：
（1）对于任意的n∈N，an为整数；
（2）对于任意的n∈N，anan 1-1为完全平方数.
证明 （1）根据题目条件an 1=7an 45a2n-362，即2an 1-7an2=45a2n-36，
a2n 1-7anan 1 a2n=-9①，取n=n 1，再写一项，即a2n 2-7an 2an 1 a2n 1=-9.
发现an 2和an为方程x2-7an 1x a2n 1=-9的两个根，根据韦达定理，有
an 2 an=7an 1，即an 2=7an 1-an.因为a0=1，a1=5，所以第一问归纳即证.
（2）第二问我们应用一下上述结论，因为an 2-7an 1 an=0，q=1，即
a2n 1-7an 1an a2n=a21-7a1a0 a20=-9②，两边同时加上9an 1an，得：anan 1-1=an 1 an32.因为左边是整数，an 1 an3是有理数，所以an 1 an3一定也是整数，得证.
在证明的过程中我们发现，②式与①式完全相同，也就是说②式实际上并不需要我们之前所讲的结论也可直接得到.似乎并没有看到这条结论有什么特别好的地方，那么下面这道题就可以显示其作用.
例2 数列{an}满足a1=2，a2=3，an 2=3an 1-an，n≥1.求证：对任意正整数n，anan 1-5是完全平方数.
证明 直接应用上述结论，因为an 2-3an 1 an=0，其中q=1，所以
a2n 1-3an 1an a2n=a22-3a2a1 a21=-5.两边同时加上an 1an，即得
anan 1-5=（an 1-an）2.又归纳易证an为整数，所以anan 1-5是完全平方数，得证.
下面这道题留给读者作为练习.
练习1 数列{an}满足a1=20，a2=30，an 2=3an 1-an，n≥1.求所有的正整数n，使得1 5anan 1是完全平方数.
看了上述的例子之后我们还是感觉此定理的应用很有局限性，即题目必须将数字配凑得非常好，才能直接应用解题，而大部分题目用该结论并不能得到.但是，如果将此定理和数学归纳法结合在一起，将会成为一个非常强大的工具.
例3 数列{an}满足a1=a2=1，an 2=7an 1-an，n≥1.求证：对任意的正整数n，an an 1 2是完全平方数.
证明 先写出前几项找找规律：a1=a2=1，a3=6，a4=41，a5=281，a6=1926.a1 a2 2=4=22，a2 a3 2=9=32，a3 a4 2=49=72，a4 a5 2=324=182，a5 a6 2=2209=472.
观察数列2，3，7，18，47，…从而猜想an an 1 2=b2n，其中b1=2，b2=3，bn 1=3bn-bn-1（n≥2）.下面用归纳法来证明.
当n=1，2时，命题成立.假设当n≤k时命题成立，考虑n=k 1时的情况，我们要证明：an 2 an 1 2=b2n 1.由熟知的结论，b2n-3bnbn-1 b2n-1=b22-3b2b1 b21=-5，从而3bnbn-1=b2n b2n-1 5，于是，
b2n 1=（3bn-bn-1）2=9b2n-6bnbb-1 b2n-1=9b2n-2（b2n b2n-1 5） b2n-1=7b2n-b2n-1-10
由归纳假设，b2n 1=7（an an 1 2）-（an-1 an 2）-10=7an 1 6an-an-1 2=an 1 an 2 2
因此当n=k 1时命题成立.
故对任意的正整数n，an an 1 2=b2n是完全平方数.
从此题可以看出，一般的数列问题如果比较麻烦，可以先写出几项猜猜结论，然后归纳完成证明.本题构造了辅助数列{bn}，发现{bn}是二阶线性递推数列，在归纳证明时用到了我们之前所说的结论.
若数列{an}满足二阶线性递推式，即an 2 pan 1 qan=0（p，q∈R，n≥1），则数列{a2n 1 pan 1an qa2n}构成等比数列，且公比为q.
证明：首先构造参数λ1，λ2，使得an 2-λ1an 1=λ2（an 1-λ1an）.
与原递推式相比较，发现λ1 λ2=-p，λ1λ2=q，这也就是说λ1，λ2为方程
x2 px q=0的两根，这就是我们所熟知的特征方程.于是{an 2-λ1an 1}构成公比为λ2等比数列，进而可以求出{an}的通项公式.
我们发现，参数λ1与λ2的地位是等价的，也就是说求出来λ1和λ2之后，原递推式变为an 2-λ1an 1=λ2（an 1-λ1an）①或者an 2-λ2an 1=λ1（an 1-λ2an）②
将①式与②式相乘，得：a2n 2 pan 2an 1 qa2n 1=q（a2n 1 pan 1an qa2n）.
注：特别的，当q=1时，数列{a2n 1 pan 1an qa2n}为常数列.
例1 数列{an}满足a0=1，an 1=7an 45a2n-362，n∈N，证明：
（1）对于任意的n∈N，an为整数；
（2）对于任意的n∈N，anan 1-1为完全平方数.
证明 （1）根据题目条件an 1=7an 45a2n-362，即2an 1-7an2=45a2n-36，
a2n 1-7anan 1 a2n=-9①，取n=n 1，再写一项，即a2n 2-7an 2an 1 a2n 1=-9.
发现an 2和an为方程x2-7an 1x a2n 1=-9的两个根，根据韦达定理，有
an 2 an=7an 1，即an 2=7an 1-an.因为a0=1，a1=5，所以第一问归纳即证.
（2）第二问我们应用一下上述结论，因为an 2-7an 1 an=0，q=1，即
a2n 1-7an 1an a2n=a21-7a1a0 a20=-9②，两边同时加上9an 1an，得：anan 1-1=an 1 an32.因为左边是整数，an 1 an3是有理数，所以an 1 an3一定也是整数，得证.
在证明的过程中我们发现，②式与①式完全相同，也就是说②式实际上并不需要我们之前所讲的结论也可直接得到.似乎并没有看到这条结论有什么特别好的地方，那么下面这道题就可以显示其作用.
例2 数列{an}满足a1=2，a2=3，an 2=3an 1-an，n≥1.求证：对任意正整数n，anan 1-5是完全平方数.
证明 直接应用上述结论，因为an 2-3an 1 an=0，其中q=1，所以
a2n 1-3an 1an a2n=a22-3a2a1 a21=-5.两边同时加上an 1an，即得
anan 1-5=（an 1-an）2.又归纳易证an为整数，所以anan 1-5是完全平方数，得证.
下面这道题留给读者作为练习.
练习1 数列{an}满足a1=20，a2=30，an 2=3an 1-an，n≥1.求所有的正整数n，使得1 5anan 1是完全平方数.
看了上述的例子之后我们还是感觉此定理的应用很有局限性，即题目必须将数字配凑得非常好，才能直接应用解题，而大部分题目用该结论并不能得到.但是，如果将此定理和数学归纳法结合在一起，将会成为一个非常强大的工具.
例3 数列{an}满足a1=a2=1，an 2=7an 1-an，n≥1.求证：对任意的正整数n，an an 1 2是完全平方数.
证明 先写出前几项找找规律：a1=a2=1，a3=6，a4=41，a5=281，a6=1926.a1 a2 2=4=22，a2 a3 2=9=32，a3 a4 2=49=72，a4 a5 2=324=182，a5 a6 2=2209=472.
观察数列2，3，7，18，47，…从而猜想an an 1 2=b2n，其中b1=2，b2=3，bn 1=3bn-bn-1（n≥2）.下面用归纳法来证明.
当n=1，2时，命题成立.假设当n≤k时命题成立，考虑n=k 1时的情况，我们要证明：an 2 an 1 2=b2n 1.由熟知的结论，b2n-3bnbn-1 b2n-1=b22-3b2b1 b21=-5，从而3bnbn-1=b2n b2n-1 5，于是，
b2n 1=（3bn-bn-1）2=9b2n-6bnbb-1 b2n-1=9b2n-2（b2n b2n-1 5） b2n-1=7b2n-b2n-1-10
由归纳假设，b2n 1=7（an an 1 2）-（an-1 an 2）-10=7an 1 6an-an-1 2=an 1 an 2 2
因此当n=k 1时命题成立.
故对任意的正整数n，an an 1 2=b2n是完全平方数.
从此题可以看出，一般的数列问题如果比较麻烦，可以先写出几项猜猜结论，然后归纳完成证明.本题构造了辅助数列{bn}，发现{bn}是二阶线性递推数列，在归纳证明时用到了我们之前所说的结论.