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【分类号】G633.7
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：
1.等效法
等效法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例：如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：
2.微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例：如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
A、 0J B、20πJ
C 、10J D、20J.
分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，
故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，
故B正确。
3.平均力法：若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式 求解.
例：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
分析与解析：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比， ，可用平均阻力来代替.
如图，第一次击入深度为 ，平均阻力 ，做功为 .
第二次击入深度为 到 ，平均阻力
位移为 ，做功为
两次做功相等： .得：
即：
4.运用 求变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过 求変力做功。
例：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.
分析与解析：牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过 来求。汽车加速运动的时间为 ，由动能定理得：
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则 即
可求得汽车加速运动的时间为
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：
可求得汽车匀减速运动的时间为
则汽车运动的时间为：t=t1+t2=50s+48s=98s
5.运用动能定理求变力做功
动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。
例：如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力
F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为（ ）
A. B.
C. D.
分析与解析：很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：
所以 ，故D正确。
6.运用F-S图像中的面积求变力做功
某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F与位移S的图像，则F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中変力F做的功。运用F-S图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F与位移S的函数关系，再在画出F-S图像。
例：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？
分析与解析：铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象，如图，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积） 即：
kx12= k（x2+x1）（x2-x1）
得
所以第二次擊钉子进入木板的深度为：
求変力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，必可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解変力做功问题，需要掌握求解変力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：
1.等效法
等效法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例：如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：
2.微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例：如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
A、 0J B、20πJ
C 、10J D、20J.
分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，
故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，
故B正确。
3.平均力法：若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式 求解.
例：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm.问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）
分析与解析：此题可根据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力的功，进行等效替代.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比， ，可用平均阻力来代替.
如图，第一次击入深度为 ，平均阻力 ，做功为 .
第二次击入深度为 到 ，平均阻力
位移为 ，做功为
两次做功相等： .得：
即：
4.运用 求变力做功
涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P恒定，随着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过 求変力做功。
例：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.
分析与解析：牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过 来求。汽车加速运动的时间为 ，由动能定理得：
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则 即
可求得汽车加速运动的时间为
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：
可求得汽车匀减速运动的时间为
则汽车运动的时间为：t=t1+t2=50s+48s=98s
5.运用动能定理求变力做功
动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。
例：如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力
F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为（ ）
A. B.
C. D.
分析与解析：很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：
所以 ，故D正确。
6.运用F-S图像中的面积求变力做功
某些求変力做功的问题，如果能够画出変力F与位移S的图像，则F-S图像中与S轴所围的面积表示该过程中変力F做的功。运用F-S图像中的面积求变力做功的关键是先表示出変力F与位移S的函数关系，再在画出F-S图像。
例：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？
分析与解析：铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图象，如图，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积） 即：
kx12= k（x2+x1）（x2-x1）
得
所以第二次擊钉子进入木板的深度为：
求変力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，必可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解変力做功问题，需要掌握求解変力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。