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用字母表示数是学生进入代数知识学习的入门知识,是学习方程、不等式的基础。用字母表示数到学习方程、不等式,使学生接触初步的代数思想,方程与不等式是初中数学的一个重要内容,利用方程的方法是解决函数、几何等有关问题的重要方法之一,而利用方程模型或不等式模型是解决实际问题的重要手段。下面我就分别进行概述:
一、关于字母表示数的教与学方法探究
字母表示数,是为后续学习方程,不等式以至于函数做好基础,非常重要。用字母表示数是初中数学的重要内容,是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步,也是学生较难理解的内容。学习时学生的思维由具象思维要向抽象思维进行了转化,这对于初一的学生来说是有困难的。
在小学,学生已认识了一些用字母表示的数、运算律、运算法则等,有了一定的基础,到了初中,用字母表示数又成了初中代数学习的基础,通过理解它掌握它,才能提高对代数式、方程、不等式、函数等知识的认知。我认为学习字母表示数的方法要注意以下几点:
1.注重小学到初中的衔接问题。在开始部分引入小学学过的字母表示数的知识,学生看到自己熟悉的东西,会降低心里的抵触心理,再使用归纳、类比思想,感知字母的真实含义,当有了充分的感知后,注意将文字语言与符号语言进行转化。
2.初中从有理数的学习就开始了字母符号的数学语言和文字语言相互转化的各种训练中。这种符号化的语言学习,一定要使学生明白它表达形式下的文字性的实质意义,注意字母符号语言的形式与内容的统一。并从不断的练习中,使学生理解和掌握字母的本质。
3.突出字母表示数中所蕴含的换元思想,注意符号的一般与个别的协调统一。这里的换元是指以具体的数值代替代数式里的字母,从而得到这个代数式的值。也可以通过具体数值代替代数式的值得到式中所含字母的值。这样,我们在字母表示数的教学中,有意识地渗透符号化、换元的思想方法,使学生对字母、乃至数的认识都能上升到一个新水平。
二、关于方程的教与学方法探究
方程是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。因此,在方程的学习中,应关注建模和应用过程。学习方程,其要点首先在用方程的"观点"去分析问题,用数学思想构造模型,解方程则是另一个方面。因此方程观念可以说是通过方程和方程组来沟通已知和未知的联系,从而使问题获得解决的思想方法,也是一种数学的应用意识。
对于方程的学习,我认为可以注意以下几点:
1.体现模型化思想。让学生经历“问题情境——建立方程模型——解方程——解释”的全过程,从“问题情境——建立方程模型”目的是让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,这是方程观念的首要方面。
2.体现方程的应用。基本上每一课时都有一定的应用性问题,将列方程、解方程和对方程的解的解释融为一体,而不是割裂开来进行处理,让学生能够比较完整地经历一个从具体情境中抽象出数学问题,然后对数学问题进行研究和解决,再利用数学知识解释实际问题的全过程,体会方程的应用价值,理解数学与现实世界之间的联系。
3.强调利用多种方法寻求方程的解(精确解或近似解)。《标准》强调能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法,加强估算,鼓励使用计算器,鼓励算法多样化。方程的求解不统一解题步骤,可以根据问题选择适当的解法,但强调一般性的方法。寻求方程的近似解是解决问题中的一个重要步骤,因为在实际问题的解决过程中我们经常不是去寻求方程的精确解,而是去寻求方程的满足一定精确度的近似解。如一元二次方程。估计近似解的方法也很多,如根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解等。这里更加关注知识技能以外的发展。
4.注意与其他内容的联系.比如方程与函数的关系就非常重要,现在课程异常重视。教科书没有对“根的判别式”、“根与系数的关系”这样的内容进行讨论,首先基于《标准》只讨论数字系数的一元二次方程,同时出于对义务教育的基础性、阶段性的考虑。当然课程内容的选择没有绝对的正确与错误,主要取决于对各部分内容价值的认定,即对于学生发展的作用,以及对于学生有限的学习时间的合理安排。教师也可根据学生的情况在此作适当的拓展和延伸。
三、关于不等式的教与学方法探究
不等式主要研究数的不等关系。它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系,在解决各类实际问题时也有广泛的应用。
1.不等式与等式的性质类比。初学不等式时,我们对它的性质一无所知,但对等式的性质,我们倒比较熟悉,虽然不等式与等式是不同的式子,表达的是不同的数量关系,但它们在形式上显然有某些相同或类似之处,这就是类比思想的一种运用,它是探索不等式性质的基本途径。
2.不等式与方程的解的类比。从形式上看,含有未知数的不等式与方程是类似的,按类比的思想考慮问题,我们以仿效方程的解的意义,来明确不等式的解的意义。
3.不等式的解法与方程的解法类比。从形式上看,一元一次不等式与一元一次方程是类似的,我们知道,利用等式的两条基本性质,可以求得一元一次方程的解。按类比的思想考虑问题,我们自然会推断:利用不等式的三条基本性质,采用与解一元一次方程相类似的步骤,便可以求得一元一次不等式的解集。
4.解不等式组的分析与综合。我们知道,不等式组是由几个不等式构成的一个整体,这几个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。因此,当我们解不等式组时,就要先把它分解成几个单独的不等式,并分别求出这几个不等式的解集;然后,又把这几个不等式看作一个整体,找出它的解集的公共部分,便得到不等式组的解集。
5.解实际问题的分析与综合。数学综合题,可以看成是由几个互相关联的小题目组成的一个大题目,解数学综合题时,应当先对综合题进行分析——把它分解成几个互相关联的小题目,并逐一解答这些小题目;然后,再把分析所得的结果综合起来,从而求得综合题的解答。
北京的著名数学教育家孙维刚老师在教学中运用了“整体—结构”教学模式,在他的教学中,他非常重视知识的结构和系统性,经过了三轮实验班的实验,取得了了不起的成绩。在数学中,各知识点之间不是孤立的,而是具有相互联系性。这三个知识点又是学习函数的基础。方程、函数、不等式它们三个可以单独提出问题,单独出现,又可以联系到一起。比如,给出一个函数
y=f(x),要求解对应方程的根,或是求函数图象与x轴的交点,就转化成了求解方程f(x)=0解的问题,要想判断其方程根的个数情况,就要用到判别式,b2-4ac与0的关系,这又转化成了解决不等式问题。新课程标准中把这些联系提到了十分明朗、鲜明的程度,因此,学生在学习和老师在教学时应该充分重视。
作者单位:新疆精河县托里一中
一、关于字母表示数的教与学方法探究
字母表示数,是为后续学习方程,不等式以至于函数做好基础,非常重要。用字母表示数是初中数学的重要内容,是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步,也是学生较难理解的内容。学习时学生的思维由具象思维要向抽象思维进行了转化,这对于初一的学生来说是有困难的。
在小学,学生已认识了一些用字母表示的数、运算律、运算法则等,有了一定的基础,到了初中,用字母表示数又成了初中代数学习的基础,通过理解它掌握它,才能提高对代数式、方程、不等式、函数等知识的认知。我认为学习字母表示数的方法要注意以下几点:
1.注重小学到初中的衔接问题。在开始部分引入小学学过的字母表示数的知识,学生看到自己熟悉的东西,会降低心里的抵触心理,再使用归纳、类比思想,感知字母的真实含义,当有了充分的感知后,注意将文字语言与符号语言进行转化。
2.初中从有理数的学习就开始了字母符号的数学语言和文字语言相互转化的各种训练中。这种符号化的语言学习,一定要使学生明白它表达形式下的文字性的实质意义,注意字母符号语言的形式与内容的统一。并从不断的练习中,使学生理解和掌握字母的本质。
3.突出字母表示数中所蕴含的换元思想,注意符号的一般与个别的协调统一。这里的换元是指以具体的数值代替代数式里的字母,从而得到这个代数式的值。也可以通过具体数值代替代数式的值得到式中所含字母的值。这样,我们在字母表示数的教学中,有意识地渗透符号化、换元的思想方法,使学生对字母、乃至数的认识都能上升到一个新水平。
二、关于方程的教与学方法探究
方程是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。因此,在方程的学习中,应关注建模和应用过程。学习方程,其要点首先在用方程的"观点"去分析问题,用数学思想构造模型,解方程则是另一个方面。因此方程观念可以说是通过方程和方程组来沟通已知和未知的联系,从而使问题获得解决的思想方法,也是一种数学的应用意识。
对于方程的学习,我认为可以注意以下几点:
1.体现模型化思想。让学生经历“问题情境——建立方程模型——解方程——解释”的全过程,从“问题情境——建立方程模型”目的是让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,这是方程观念的首要方面。
2.体现方程的应用。基本上每一课时都有一定的应用性问题,将列方程、解方程和对方程的解的解释融为一体,而不是割裂开来进行处理,让学生能够比较完整地经历一个从具体情境中抽象出数学问题,然后对数学问题进行研究和解决,再利用数学知识解释实际问题的全过程,体会方程的应用价值,理解数学与现实世界之间的联系。
3.强调利用多种方法寻求方程的解(精确解或近似解)。《标准》强调能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径和运算方法,加强估算,鼓励使用计算器,鼓励算法多样化。方程的求解不统一解题步骤,可以根据问题选择适当的解法,但强调一般性的方法。寻求方程的近似解是解决问题中的一个重要步骤,因为在实际问题的解决过程中我们经常不是去寻求方程的精确解,而是去寻求方程的满足一定精确度的近似解。如一元二次方程。估计近似解的方法也很多,如根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解等。这里更加关注知识技能以外的发展。
4.注意与其他内容的联系.比如方程与函数的关系就非常重要,现在课程异常重视。教科书没有对“根的判别式”、“根与系数的关系”这样的内容进行讨论,首先基于《标准》只讨论数字系数的一元二次方程,同时出于对义务教育的基础性、阶段性的考虑。当然课程内容的选择没有绝对的正确与错误,主要取决于对各部分内容价值的认定,即对于学生发展的作用,以及对于学生有限的学习时间的合理安排。教师也可根据学生的情况在此作适当的拓展和延伸。
三、关于不等式的教与学方法探究
不等式主要研究数的不等关系。它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系,在解决各类实际问题时也有广泛的应用。
1.不等式与等式的性质类比。初学不等式时,我们对它的性质一无所知,但对等式的性质,我们倒比较熟悉,虽然不等式与等式是不同的式子,表达的是不同的数量关系,但它们在形式上显然有某些相同或类似之处,这就是类比思想的一种运用,它是探索不等式性质的基本途径。
2.不等式与方程的解的类比。从形式上看,含有未知数的不等式与方程是类似的,按类比的思想考慮问题,我们以仿效方程的解的意义,来明确不等式的解的意义。
3.不等式的解法与方程的解法类比。从形式上看,一元一次不等式与一元一次方程是类似的,我们知道,利用等式的两条基本性质,可以求得一元一次方程的解。按类比的思想考虑问题,我们自然会推断:利用不等式的三条基本性质,采用与解一元一次方程相类似的步骤,便可以求得一元一次不等式的解集。
4.解不等式组的分析与综合。我们知道,不等式组是由几个不等式构成的一个整体,这几个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。因此,当我们解不等式组时,就要先把它分解成几个单独的不等式,并分别求出这几个不等式的解集;然后,又把这几个不等式看作一个整体,找出它的解集的公共部分,便得到不等式组的解集。
5.解实际问题的分析与综合。数学综合题,可以看成是由几个互相关联的小题目组成的一个大题目,解数学综合题时,应当先对综合题进行分析——把它分解成几个互相关联的小题目,并逐一解答这些小题目;然后,再把分析所得的结果综合起来,从而求得综合题的解答。
北京的著名数学教育家孙维刚老师在教学中运用了“整体—结构”教学模式,在他的教学中,他非常重视知识的结构和系统性,经过了三轮实验班的实验,取得了了不起的成绩。在数学中,各知识点之间不是孤立的,而是具有相互联系性。这三个知识点又是学习函数的基础。方程、函数、不等式它们三个可以单独提出问题,单独出现,又可以联系到一起。比如,给出一个函数
y=f(x),要求解对应方程的根,或是求函数图象与x轴的交点,就转化成了求解方程f(x)=0解的问题,要想判断其方程根的个数情况,就要用到判别式,b2-4ac与0的关系,这又转化成了解决不等式问题。新课程标准中把这些联系提到了十分明朗、鲜明的程度,因此,学生在学习和老师在教学时应该充分重视。
作者单位:新疆精河县托里一中