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函数知识是高中数学的重要组成部分，函数的思想贯穿于整个高中的数学学习.在近年来对于分段函数的函数问题考察较多，主要让学生对函数概念有更进一步的认识及运用函数知识解决实际问题的要求有较大提高.中学课本对分段函数的定义如下：在定义域内不同部分上有不同的解析表达式，像这样的函数叫做分段函数.下面就常见与分段函数有关的问题进行概括一下.
一 分段函数的求值问题
求值问题是最常见的题型可以运用直接代入法求值，很多同学在求值时不注意自变量的取值范围随意代入，也没有很好的理解这个分段函数.因此首先要让学生理解概念是解题的前提.
例1 设函数f(x)=|x-2|-2 (|x|≤1),
11+x2 (|x|>1).则ff12=（ ）
A. 12 B. 413
C. -95 D. 2541
解析：∵0<12<1，则f12=-12>-1，则ff12=12，故选A.
二 分段函数的图像问题
数形结合是函数的重要思想方法，它将函数解析式与函数图象有机结合在一起，因此要让学生学会读函数图象，同时要先将函数解析式转化一下.
例2 函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是（ ）
解析：这里可以先化成分段函数可得y=1 (x≥1),
1x+x-1 (0＜x＜1).故选D.
三 分段函数与方程的根的问题
对于方程根的个数问题可结合分段函数的图象，同时可借助换元思想将方程转化
例3 设定义为R的函数f(x)=lg|x-1|,x≠1,
0,x=0则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0
有7个不同的实数解的充要条件是（ ）
A. b<0且c>0
B. b>0且c<0
C. b<0且c=0
D. b≥0且c=0
解析：f(x)的图象可粗略地画出如右：若方程有
7个根，则必有f(x)=0或f(x)≠0两情况.若f(x)=0，则c=0；此时另一根f(x)=-b>0.
于是选C.
四 分段函数的最值问题
研究最值问题时候，不能忽略每个范围内的情况讨论.可以结合函数的一些性质如单调性等，同时可以结合函数的图象帮助理解.
例4 已知函数f(x)=ax+b,x∈(-1,0］,
x-bx-a,x∈(0,1).其中a>0，b>0,若f(x)的图像有连续性，且f(x)在(-1,1)上有最大值，则b的取值范围是（ ）
A. b>1
B. 12 C. b≥1
D. 0 解析：因f(x)的图像有连续性，即a=1.又f(x)在(-1,1)上有最大值.
且此时f(x)=x+b (x∈(-1,0］),
1-b-1x-1(x∈(0,1)).则x+b是递增函数，最大值为b.
而1-b-1x-1是递减函数.则0＜b≤1.于是选D.
五 分段函数的开放性问题
函数的综合应用问题综合考察了函数的许多性质，同时借助开放性的问题形式对学生深化理解函数，掌握函数的应用起到很好的作用.对培养学生的综合解题能力有很大帮助.
例5 对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x).规定：
函数h(x)=f(x)g(x),当x∈Df且x∈Dg,
f(x),当x∈Df且xDg,
g(x),当x∈Dg且xDf.
（Ⅰ） 若函数f(x)=1x-1,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；
（Ⅱ） 求问题（Ⅰ）中函数h(x)的值域；
（Ⅲ） 若g(x)=f(x+α)，其中α是常数，且α∈［0,π］，请设计一个定义域为R的函数y=f(x),
及一个的值α，使得h(x)=cos4x，并予以证明.
解析：（Ⅰ） 由定义知，h(x)=x2x-1(x∈(-∞,1)∪(1,+∞)),
1 (x=1).
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，当x≠1时，h(x)=x-1+1x-1+2；则当x>1时，有h(x)≥4，
（x=2时，取“=”）；当x<1时，有h(x)≤0，（x=0时取“=”）.
则函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
（Ⅲ） 可取f(x)=sin2x+cos2x,α=π4；则g(x)=f(x+α)=sin2x-cos2x.
于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x.
法（二）取f(x)=1+2sin2x,α=π2，
则g(x)=f(x+α)=1-2sin2x.
于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x.
以上就是对分段函数一些常见问题的归纳，当然函数的应用有许多，包括解实际问题，与其它数学知识的联系等等.因此教师在讲解分段函数时候应该让学生能更好的把握其应用.
一 分段函数的求值问题
求值问题是最常见的题型可以运用直接代入法求值，很多同学在求值时不注意自变量的取值范围随意代入，也没有很好的理解这个分段函数.因此首先要让学生理解概念是解题的前提.
例1 设函数f(x)=|x-2|-2 (|x|≤1),
11+x2 (|x|>1).则ff12=（ ）
A. 12 B. 413
C. -95 D. 2541
解析：∵0<12<1，则f12=-12>-1，则ff12=12，故选A.
二 分段函数的图像问题
数形结合是函数的重要思想方法，它将函数解析式与函数图象有机结合在一起，因此要让学生学会读函数图象，同时要先将函数解析式转化一下.
例2 函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是（ ）
解析：这里可以先化成分段函数可得y=1 (x≥1),
1x+x-1 (0＜x＜1).故选D.
三 分段函数与方程的根的问题
对于方程根的个数问题可结合分段函数的图象，同时可借助换元思想将方程转化
例3 设定义为R的函数f(x)=lg|x-1|,x≠1,
0,x=0则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0
有7个不同的实数解的充要条件是（ ）
A. b<0且c>0
B. b>0且c<0
C. b<0且c=0
D. b≥0且c=0
解析：f(x)的图象可粗略地画出如右：若方程有
7个根，则必有f(x)=0或f(x)≠0两情况.若f(x)=0，则c=0；此时另一根f(x)=-b>0.
于是选C.
四 分段函数的最值问题
研究最值问题时候，不能忽略每个范围内的情况讨论.可以结合函数的一些性质如单调性等，同时可以结合函数的图象帮助理解.
例4 已知函数f(x)=ax+b,x∈(-1,0］,
x-bx-a,x∈(0,1).其中a>0，b>0,若f(x)的图像有连续性，且f(x)在(-1,1)上有最大值，则b的取值范围是（ ）
A. b>1
B. 12
D. 0
且此时f(x)=x+b (x∈(-1,0］),
1-b-1x-1(x∈(0,1)).则x+b是递增函数，最大值为b.
而1-b-1x-1是递减函数.则0＜b≤1.于是选D.
五 分段函数的开放性问题
函数的综合应用问题综合考察了函数的许多性质，同时借助开放性的问题形式对学生深化理解函数，掌握函数的应用起到很好的作用.对培养学生的综合解题能力有很大帮助.
例5 对定义域分别是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x).规定：
函数h(x)=f(x)g(x),当x∈Df且x∈Dg,
f(x),当x∈Df且xDg,
g(x),当x∈Dg且xDf.
（Ⅰ） 若函数f(x)=1x-1,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；
（Ⅱ） 求问题（Ⅰ）中函数h(x)的值域；
（Ⅲ） 若g(x)=f(x+α)，其中α是常数，且α∈［0,π］，请设计一个定义域为R的函数y=f(x),
及一个的值α，使得h(x)=cos4x，并予以证明.
解析：（Ⅰ） 由定义知，h(x)=x2x-1(x∈(-∞,1)∪(1,+∞)),
1 (x=1).
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，当x≠1时，h(x)=x-1+1x-1+2；则当x>1时，有h(x)≥4，
（x=2时，取“=”）；当x<1时，有h(x)≤0，（x=0时取“=”）.
则函数h(x)的值域是(-∞,0］∪{1}∪［4,+∞).
（Ⅲ） 可取f(x)=sin2x+cos2x,α=π4；则g(x)=f(x+α)=sin2x-cos2x.
于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x.
法（二）取f(x)=1+2sin2x,α=π2，
则g(x)=f(x+α)=1-2sin2x.
于是h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x.
以上就是对分段函数一些常见问题的归纳，当然函数的应用有许多，包括解实际问题，与其它数学知识的联系等等.因此教师在讲解分段函数时候应该让学生能更好的把握其应用.