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摘要：数学欣赏是把学过的教学素材按照研究的主题（核心概念）集中在一起让学生重新欣赏。为了在这样的复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地“炒冷饭”，需要对选择的教学素材进行适当的组织。以一节校本选修课《欣赏方程》的内容设计为例，谈谈“数学欣赏”教学的内容组织：一方面从抽象到具体，挖掘核心概念的内涵与外延，把握核心概念的相同本质与不同表现形式；另一方面从孤立到系统，按照某条逻辑主线，将与核心概念相关的概念、结论和思想方法整合为层次性、立体化的结构体系。
关键词：数学欣赏内容组织内涵外延方程
所谓“欣赏”，《辞海》的解释是“领略玩赏”，《现代汉语词典》的解释是“享受美好的事物，领略其中的趣味”。数学欣赏，是一种高级的思维活动和特殊的实践活动，以一定深度的数学认知、数学习得为前提，依托于欣赏者的科学素养、文化修养等。数学欣赏能够增进欣赏者对数学知识、思想、观念、精神的理解，不同的知识层次和观赏力会产生不同的欣赏体验和效果。笔者以著名数学教育家张奠宙先生有关“数学欣赏”的论述为理论基础，立足于高中数学教材构建“数学欣赏”校本选修课，并在教学实践中不断探索高中“数学欣赏”教学的规律。
张奠宙先生倡导的数学欣赏是把学过的教学素材按照研究的主题（核心概念）集中在一起让学生重新欣赏。为了在这样的复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地“炒冷饭”，需要对选择的教学素材进行适当的组织。笔者曾经在《基于核心概念的高中“数学欣赏”教学三探》一文中阐述了数学欣赏素材的选择方法。下面，以一节校本选修课《欣赏方程》的内容设计为例，谈谈“数学欣赏”教学的内容组织。
一、欣赏概念的内涵
对象的特点或本质反映在概念中，就构成了概念的内涵。明确概念首先要揭示概念的内涵，其常用的方法是下定义。数学大师陈省身先生一再提倡做“好的数学”，并且指出“方程是好的数学”。方程思想是人类文明的奇葩，比如发动机与热力学方程、飞机与空气动力学方程、手机与电磁学方程，都以方程思想为基础。方程在数学发展史中也地位显赫，比如判别式小于零时二次方程的求根问题直接促成了虚数的产生，五次以上的一般多项式方程的根式解问题则导致伽罗瓦群论思想的诞生。
对方程内涵的欣赏，不能停留在背诵“含有未知数的等式”这样的结论性层面，而应上升到理解“如何从已知出发，通过某一种关系去寻求未知”这样的方法论高度。方程的本质是为了求未知数而在未知数和已知数之间建立起来的一种等量关系。也就是说，学习方程目的是求未知数，方法是“拉关系”，具体策略是通過等式的性质进行还原和对消。“代数”一词源于公元9世纪阿拉伯数学家花拉子米的著作名，其原意是“还原和对消的科学”，而当时研究的主要问题就是解方程。因此，追本溯源，方程方法的本质是基于“式”的运算，在还原与对消中寻找不变量：方程的根是一系列“同解变换”下的不变量，解方程时的移项及其他变形都必须保持“根”不变。
二、欣赏概念的外延
被概念所反映的一个个、一类类对象，就成为概念的外延。明确概念其次要揭示概念的外延，其常用方法是作划分。方程概念在发展过程中产生了诸多表现形式，从一次方程（组）、高次方程（组）、分式方程（组）直至微分方程（组）等等。高中“数学欣赏”教学中，可以从“线性”这个角度对方程概念作划分。所谓“线性”，本来是指未知数都是一次的，几何形象是直线、平面等平直延展的数学对象。向量结构出现之后，凡是建立在“加减”和“数乘”两种运算之上的数学科目，都称为线性数学。当下的高中数学，除去排列组合等少数内容之后，可以分成线性数学和非线性数学两大部分。线性数学包括线性方程组、解析几何中的直线方程、线性规划、立体几何中的直线和平面、复数、三角与向量的关系；非线性数学包括二次方程、二次函数、二次曲线、对数与指数、数列。
（一）线性方程（组）的实际运用
线性方程（组）是方程概念的重要外延。线性方程（组）是最基本的方程模型。线性方程（组）在工程等实际问题中应用广泛，很多问题都能转化为求线性方程（组）的解（或近似解）。在解线性方程（组）的基础上生成的线性代数，是许多数学问题得以解决的必备工具。欣赏线性方程（组），可以从线性方程（组）的实际运用入手，在看似没有数学的地方构建数学模型，感受数学思维之深刻。
例1上海和平饭店的一位电工在工作中发现，在地下室控制10层以上房间空调的温度不准。分析之后发现，原来是使用三相电时，连接地下室和空调器的三根电线长度不同，因而电阻也不同。剩下的问题是：如何测量这三根电线的电阻？用电工万用表无法量这样长的电线的电阻。于是这位电工想到了数学：一根一根测很难，但是把三根电线在高楼上两两相连，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。如图1，设三根电线的电阻分别是x、y、z，根据测量结果，列出三元一次方程组x+y=a，
y+z=b，
z+x=c，解之即得三根电线的电阻。
例1中的方程组谁都会解，但是具有应用联立方程的意识和眼光是难得的。
（二）一元二次方程根的分布
一元二次方程也是方程概念的重要外延。一元二次方程是中学阶段最重要的方程模型，从初中到高中围绕方程的根、方程的系数，问题难度不断加大，通过变式逐渐形成“一元二次方程”的知识网。常见的问题变式途径有：从数字系数到字母系数（即含有参数）；从简单地求根到讨论根的分布状况；从正面求根到利用韦达定理研究根的性质。含有参数的一元二次方程根的分布问题综合了以上几种变式途径，是高中数学的常见题型，而利用韦达定理、利用二次函数图像则是处理此类问题的主要思路。欣赏一元二次方程，可以从一元二次方程根的分布问题入手，分析比较各种解法，尝试多解归一，从而加深对问题本质的认识，构建方法之间的本质联系。
例2关于x的二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0的两个实根均大于1，求实数a的取值范围。 解法1设方程两根为x1，x2，则有Δ=（a+13）2-28（a2-a-2）≥0，
x1-1+x2-1=a+137-2>0，
（x1-1）（x2-1）=a2-a-27-a+137+1>0……
解法2记f（x）=7x2-（a+13）x+（a2-a-2），则有Δ=（a+13）2-28（a2-a-2）≥0，
a+1314>1，
f（1）=7-（a+13）+a2-a-2>0
……
解法比較分别比较上述两种解法的三个式子：显然，第一个式子完全相同；x1-1+x2-1>0x1+x22>1a+1314>1，因此第二个式子是等价的；f（x）=7（x-x1）（x-x2），所以（x1-1）（x2-1）>07（1-x1）（1-x2）>0f（1）>0，因此第三个式子也是等价的。综上，这两种解法本质上是完全一致的。
例2的两种解法中，韦达定理意味深长，函数与方程思想更是高中数学的一条主线。
三、欣赏概念的网络
从概念之间的关系来看，内涵（定义）通常涉及概念的上位概念（等式是方程的上位概念），外延（划分）通常涉及概念的下位概念（线性方程、一元二次方程等是方程的下位概念）。明确概念还要揭示其他相关概念之间的联系，建构概念的网络。在研究方程解的过程中，可以将方程与函数、零点存在定理、二分法、韦达定理等概念、结论和思想方法建立联系，构建起围绕方程的概念、结论和思想方法的网络，使相关的内容成为一个有机的整体，促进学生的数学理解。构建围绕方程的知识网络，逻辑主线是：利用函数思想求方程的根；如果不能直接求方程的根，先利用零点存在定理判断方程根的存在性；对于不易求解的方程，再利用二分法求方程的近似解，或利用推广的韦达定理研究根的性质。
（一）求方程的根
一般说来，函数是动态的，可以观察变化趋势；方程是静态的，适合研究根的性质。利用函数研究方程是以动制静，用函数的观点看方程往往更深刻。
例3解方程3x+4x=5x。
解设f（x）=35x+45x，则f（x）单调递减，而f（2）=1，故方程f（x）=1有且只有一个解x=2，即原方程有且只有一个解x=2。
例3中的方程本身是一个超越方程，而利用函数的性质则可使其迎刃而解。
（二）判断方程根的存在性
对于一元二次方程，可以由判别式来判断根的存在性，但是对于一般的方程，最有效的方法则是利用零点存在定理来判断根的存在性。虽然零点存在定理只保证函数f（x）在区间[a，b]上有零点，而没有指出如何找到零点，但是解决存在性问题也十分重要。在数学中，还有很多纯粹的存在性定理，比如代数基本定理：只表明n次多项式方程一定有n个根，而没有说出怎样找到这n个根。在人文意境上，对存在性定理最美丽动人的描述应属贾岛的诗句：松下问童子，言师采药去；只在此山中，云深不知处。
例4已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）。若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M。
解当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）2x+2+b（x+2）2=2x+bx2 +4+4b3×2x+4bx-4=0。令g（x）=3×2x+4bx-4，则g（x）在R上的图像是连续的。当b≥0时，g（0）=-1<0，g（1）=2+4b>0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b<0时，g（0）=-1<0，g1b=3×21b>0，故g（x）在1b，0内至少有一个零点。因此对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解。所以对任意实数b，都有f（x）∈M。
例4中的方程不能直接求解，但是利用零点存在定理可以发现它是有解的，而这便足以解决问题。
（三）求方程的近似解
求方程的根除了直接看（凑）出结果（如例3）之外，主要是用求根公式。不过，有些方程没有求根公式，比如2x-x2-2=0；有些方程虽然有求根公式，但是其求解过程太复杂、技巧性太强，比如x3-5x+3=0。对于这些情况，根据实际应用等方面的需要，我们通常要求出方程的近似解。在高中数学教材中，求方程的近似解主要是用二分法，而实际上，求方程近似解的方法很多，如牛顿切线法（它比二分法效率更高）。所以在教学中，可以介绍牛顿切线法的基本原理和大致操作：设x*是方程f（x）=0的根，x0为x*附近的一个值，过点（x0，f（x0））作f（x）图像的切线，则切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），该切线与x轴交点的横坐标为x1=x0-f（x0）f′（x0）；若f（x）的图像在x*附近的凹凸性不变，则由图2不难发现，x1比x0更接近x*；由此得到一个迭代公式xn+1=xn-f（xn）f′（xn），可以证明，数列{xn}的极限为x*。
例5（2007年高考广东理科卷第21题）已知函数f（x）=x2+x-1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α>β），f′（x）是f（x）的导数。设a1=1，an+1=an-f（an）f′（an）（n=1，2，…）。
（1）求α、β的值；
（2） 证明对任意的正整数n，都有an>α；
（3） 记bn=lnan-βan-α（n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和Sn。
解（1） 易得α=-1+52，β=-1-52。
（2） 易得an+1-α=（an-α）22an+1。可用数学归纳法证明当n≥1时an-α>0成立。
（3） 略。
例5便是典型的以牛顿切线法为背景命制的试题。这里的数列{an}便是始终大于α且不断趋向α的数列，可以用来求α的近似值。 （四）研究方程根的性质
三次方程虽然有求根公式，但是用起来不方便；多元高次方程能解（根式解）的非常少。对此，一方面可以利用函数的性质研究方程的近似解，另一方面可以利用韦达定理研究方程根的性质。法国数学家韦达（Francois Viete，1540～1603）被公认为数学符号化之父。其著作《论方程的识别与论证》中记载了后人所谓的“韦达定理”：一元n次方程根与系数的关系。在常规教学中，学生已经熟悉二次方程的韦达定理。因此在“数学欣赏”教学中，可以介绍三次方程的韦达定理：若关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三个根分别为x1、x2、x3，则x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-da。
例6已知a、b、c是三個实数，满足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0。求证：a>0，b>0，c>0。
解根据韦达定理，显然，a、b、c是方程x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc=0的三个根。因为-abc≠0，所以x=0不是方程的根。设x<0，则由题设得x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc<0，故方程没有负实数根。综上，方程只有正实数根，即a>0，b>0，c>0。
例6看似与方程无关，但是直接利用不等式的性质，很难由条件不等式得到结果不等式，所以可由条件式子的形式，联想到三次方程的韦达定理，从而巧妙获解。
综上，我们立足于梳理中学数学中有关方程的知识与问题，一方面从抽象到具体，挖掘核心概念的内涵与外延，把握核心概念的相同本质与不同表现形式；另一方面从孤立到系统，按照某条逻辑主线，将与核心概念相关的概念、结论和思想方法整合为层次性、立体化的结构体系。如此组织“数学欣赏”的内容，才能让学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，体会核心概念所蕴含的数学理性精神，从而形成功能强大的数学认知结构，切实提高数学素养。
本文系上海市青年教师教育教学研究课题“高中‘数学欣赏’校本课程的开发研究”（编号：Y2015A13S122V2075）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 任念兵.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学三探——以《欣赏对数》为例谈“数学欣赏”的素材选择[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）.
[2] 张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考（上旬），2010（1～2）.
[3] 舒欣.关于方程概念的欣赏[J].数学教学，2010（1）.
[4] 任念兵.基于“数学理解”，突出“算法设计”——《函数的零点》教学设计与思考[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（7）.【编者按】 2017年第8期我们刊发了南京师范大学附属中学刘明老师和丁菁老师的文章《促进高中生数学探究的课程资源库建设概述》。本期我们继续呈现刘明老师对“促进高中生数学探究的课程资源库建设”的后续研究成果。
关键词：数学欣赏内容组织内涵外延方程
所谓“欣赏”，《辞海》的解释是“领略玩赏”，《现代汉语词典》的解释是“享受美好的事物，领略其中的趣味”。数学欣赏，是一种高级的思维活动和特殊的实践活动，以一定深度的数学认知、数学习得为前提，依托于欣赏者的科学素养、文化修养等。数学欣赏能够增进欣赏者对数学知识、思想、观念、精神的理解，不同的知识层次和观赏力会产生不同的欣赏体验和效果。笔者以著名数学教育家张奠宙先生有关“数学欣赏”的论述为理论基础，立足于高中数学教材构建“数学欣赏”校本选修课，并在教学实践中不断探索高中“数学欣赏”教学的规律。
张奠宙先生倡导的数学欣赏是把学过的教学素材按照研究的主题（核心概念）集中在一起让学生重新欣赏。为了在这样的复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地“炒冷饭”，需要对选择的教学素材进行适当的组织。笔者曾经在《基于核心概念的高中“数学欣赏”教学三探》一文中阐述了数学欣赏素材的选择方法。下面，以一节校本选修课《欣赏方程》的内容设计为例，谈谈“数学欣赏”教学的内容组织。
一、欣赏概念的内涵
对象的特点或本质反映在概念中，就构成了概念的内涵。明确概念首先要揭示概念的内涵，其常用的方法是下定义。数学大师陈省身先生一再提倡做“好的数学”，并且指出“方程是好的数学”。方程思想是人类文明的奇葩，比如发动机与热力学方程、飞机与空气动力学方程、手机与电磁学方程，都以方程思想为基础。方程在数学发展史中也地位显赫，比如判别式小于零时二次方程的求根问题直接促成了虚数的产生，五次以上的一般多项式方程的根式解问题则导致伽罗瓦群论思想的诞生。
对方程内涵的欣赏，不能停留在背诵“含有未知数的等式”这样的结论性层面，而应上升到理解“如何从已知出发，通过某一种关系去寻求未知”这样的方法论高度。方程的本质是为了求未知数而在未知数和已知数之间建立起来的一种等量关系。也就是说，学习方程目的是求未知数，方法是“拉关系”，具体策略是通過等式的性质进行还原和对消。“代数”一词源于公元9世纪阿拉伯数学家花拉子米的著作名，其原意是“还原和对消的科学”，而当时研究的主要问题就是解方程。因此，追本溯源，方程方法的本质是基于“式”的运算，在还原与对消中寻找不变量：方程的根是一系列“同解变换”下的不变量，解方程时的移项及其他变形都必须保持“根”不变。
二、欣赏概念的外延
被概念所反映的一个个、一类类对象，就成为概念的外延。明确概念其次要揭示概念的外延，其常用方法是作划分。方程概念在发展过程中产生了诸多表现形式，从一次方程（组）、高次方程（组）、分式方程（组）直至微分方程（组）等等。高中“数学欣赏”教学中，可以从“线性”这个角度对方程概念作划分。所谓“线性”，本来是指未知数都是一次的，几何形象是直线、平面等平直延展的数学对象。向量结构出现之后，凡是建立在“加减”和“数乘”两种运算之上的数学科目，都称为线性数学。当下的高中数学，除去排列组合等少数内容之后，可以分成线性数学和非线性数学两大部分。线性数学包括线性方程组、解析几何中的直线方程、线性规划、立体几何中的直线和平面、复数、三角与向量的关系；非线性数学包括二次方程、二次函数、二次曲线、对数与指数、数列。
（一）线性方程（组）的实际运用
线性方程（组）是方程概念的重要外延。线性方程（组）是最基本的方程模型。线性方程（组）在工程等实际问题中应用广泛，很多问题都能转化为求线性方程（组）的解（或近似解）。在解线性方程（组）的基础上生成的线性代数，是许多数学问题得以解决的必备工具。欣赏线性方程（组），可以从线性方程（组）的实际运用入手，在看似没有数学的地方构建数学模型，感受数学思维之深刻。
例1上海和平饭店的一位电工在工作中发现，在地下室控制10层以上房间空调的温度不准。分析之后发现，原来是使用三相电时，连接地下室和空调器的三根电线长度不同，因而电阻也不同。剩下的问题是：如何测量这三根电线的电阻？用电工万用表无法量这样长的电线的电阻。于是这位电工想到了数学：一根一根测很难，但是把三根电线在高楼上两两相连，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。如图1，设三根电线的电阻分别是x、y、z，根据测量结果，列出三元一次方程组x+y=a，
y+z=b，
z+x=c，解之即得三根电线的电阻。
例1中的方程组谁都会解，但是具有应用联立方程的意识和眼光是难得的。
（二）一元二次方程根的分布
一元二次方程也是方程概念的重要外延。一元二次方程是中学阶段最重要的方程模型，从初中到高中围绕方程的根、方程的系数，问题难度不断加大，通过变式逐渐形成“一元二次方程”的知识网。常见的问题变式途径有：从数字系数到字母系数（即含有参数）；从简单地求根到讨论根的分布状况；从正面求根到利用韦达定理研究根的性质。含有参数的一元二次方程根的分布问题综合了以上几种变式途径，是高中数学的常见题型，而利用韦达定理、利用二次函数图像则是处理此类问题的主要思路。欣赏一元二次方程，可以从一元二次方程根的分布问题入手，分析比较各种解法，尝试多解归一，从而加深对问题本质的认识，构建方法之间的本质联系。
例2关于x的二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0的两个实根均大于1，求实数a的取值范围。 解法1设方程两根为x1，x2，则有Δ=（a+13）2-28（a2-a-2）≥0，
x1-1+x2-1=a+137-2>0，
（x1-1）（x2-1）=a2-a-27-a+137+1>0……
解法2记f（x）=7x2-（a+13）x+（a2-a-2），则有Δ=（a+13）2-28（a2-a-2）≥0，
a+1314>1，
f（1）=7-（a+13）+a2-a-2>0
……
解法比較分别比较上述两种解法的三个式子：显然，第一个式子完全相同；x1-1+x2-1>0x1+x22>1a+1314>1，因此第二个式子是等价的；f（x）=7（x-x1）（x-x2），所以（x1-1）（x2-1）>07（1-x1）（1-x2）>0f（1）>0，因此第三个式子也是等价的。综上，这两种解法本质上是完全一致的。
例2的两种解法中，韦达定理意味深长，函数与方程思想更是高中数学的一条主线。
三、欣赏概念的网络
从概念之间的关系来看，内涵（定义）通常涉及概念的上位概念（等式是方程的上位概念），外延（划分）通常涉及概念的下位概念（线性方程、一元二次方程等是方程的下位概念）。明确概念还要揭示其他相关概念之间的联系，建构概念的网络。在研究方程解的过程中，可以将方程与函数、零点存在定理、二分法、韦达定理等概念、结论和思想方法建立联系，构建起围绕方程的概念、结论和思想方法的网络，使相关的内容成为一个有机的整体，促进学生的数学理解。构建围绕方程的知识网络，逻辑主线是：利用函数思想求方程的根；如果不能直接求方程的根，先利用零点存在定理判断方程根的存在性；对于不易求解的方程，再利用二分法求方程的近似解，或利用推广的韦达定理研究根的性质。
（一）求方程的根
一般说来，函数是动态的，可以观察变化趋势；方程是静态的，适合研究根的性质。利用函数研究方程是以动制静，用函数的观点看方程往往更深刻。
例3解方程3x+4x=5x。
解设f（x）=35x+45x，则f（x）单调递减，而f（2）=1，故方程f（x）=1有且只有一个解x=2，即原方程有且只有一个解x=2。
例3中的方程本身是一个超越方程，而利用函数的性质则可使其迎刃而解。
（二）判断方程根的存在性
对于一元二次方程，可以由判别式来判断根的存在性，但是对于一般的方程，最有效的方法则是利用零点存在定理来判断根的存在性。虽然零点存在定理只保证函数f（x）在区间[a，b]上有零点，而没有指出如何找到零点，但是解决存在性问题也十分重要。在数学中，还有很多纯粹的存在性定理，比如代数基本定理：只表明n次多项式方程一定有n个根，而没有说出怎样找到这n个根。在人文意境上，对存在性定理最美丽动人的描述应属贾岛的诗句：松下问童子，言师采药去；只在此山中，云深不知处。
例4已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）。若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M。
解当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）2x+2+b（x+2）2=2x+bx2 +4+4b3×2x+4bx-4=0。令g（x）=3×2x+4bx-4，则g（x）在R上的图像是连续的。当b≥0时，g（0）=-1<0，g（1）=2+4b>0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b<0时，g（0）=-1<0，g1b=3×21b>0，故g（x）在1b，0内至少有一个零点。因此对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解。所以对任意实数b，都有f（x）∈M。
例4中的方程不能直接求解，但是利用零点存在定理可以发现它是有解的，而这便足以解决问题。
（三）求方程的近似解
求方程的根除了直接看（凑）出结果（如例3）之外，主要是用求根公式。不过，有些方程没有求根公式，比如2x-x2-2=0；有些方程虽然有求根公式，但是其求解过程太复杂、技巧性太强，比如x3-5x+3=0。对于这些情况，根据实际应用等方面的需要，我们通常要求出方程的近似解。在高中数学教材中，求方程的近似解主要是用二分法，而实际上，求方程近似解的方法很多，如牛顿切线法（它比二分法效率更高）。所以在教学中，可以介绍牛顿切线法的基本原理和大致操作：设x*是方程f（x）=0的根，x0为x*附近的一个值，过点（x0，f（x0））作f（x）图像的切线，则切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），该切线与x轴交点的横坐标为x1=x0-f（x0）f′（x0）；若f（x）的图像在x*附近的凹凸性不变，则由图2不难发现，x1比x0更接近x*；由此得到一个迭代公式xn+1=xn-f（xn）f′（xn），可以证明，数列{xn}的极限为x*。
例5（2007年高考广东理科卷第21题）已知函数f（x）=x2+x-1，α、β是方程f（x）=0的两个根（α>β），f′（x）是f（x）的导数。设a1=1，an+1=an-f（an）f′（an）（n=1，2，…）。
（1）求α、β的值；
（2） 证明对任意的正整数n，都有an>α；
（3） 记bn=lnan-βan-α（n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和Sn。
解（1） 易得α=-1+52，β=-1-52。
（2） 易得an+1-α=（an-α）22an+1。可用数学归纳法证明当n≥1时an-α>0成立。
（3） 略。
例5便是典型的以牛顿切线法为背景命制的试题。这里的数列{an}便是始终大于α且不断趋向α的数列，可以用来求α的近似值。 （四）研究方程根的性质
三次方程虽然有求根公式，但是用起来不方便；多元高次方程能解（根式解）的非常少。对此，一方面可以利用函数的性质研究方程的近似解，另一方面可以利用韦达定理研究方程根的性质。法国数学家韦达（Francois Viete，1540～1603）被公认为数学符号化之父。其著作《论方程的识别与论证》中记载了后人所谓的“韦达定理”：一元n次方程根与系数的关系。在常规教学中，学生已经熟悉二次方程的韦达定理。因此在“数学欣赏”教学中，可以介绍三次方程的韦达定理：若关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三个根分别为x1、x2、x3，则x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-da。
例6已知a、b、c是三個实数，满足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0。求证：a>0，b>0，c>0。
解根据韦达定理，显然，a、b、c是方程x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc=0的三个根。因为-abc≠0，所以x=0不是方程的根。设x<0，则由题设得x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x-abc<0，故方程没有负实数根。综上，方程只有正实数根，即a>0，b>0，c>0。
例6看似与方程无关，但是直接利用不等式的性质，很难由条件不等式得到结果不等式，所以可由条件式子的形式，联想到三次方程的韦达定理，从而巧妙获解。
综上，我们立足于梳理中学数学中有关方程的知识与问题，一方面从抽象到具体，挖掘核心概念的内涵与外延，把握核心概念的相同本质与不同表现形式；另一方面从孤立到系统，按照某条逻辑主线，将与核心概念相关的概念、结论和思想方法整合为层次性、立体化的结构体系。如此组织“数学欣赏”的内容，才能让学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，体会核心概念所蕴含的数学理性精神，从而形成功能强大的数学认知结构，切实提高数学素养。
本文系上海市青年教师教育教学研究课题“高中‘数学欣赏’校本课程的开发研究”（编号：Y2015A13S122V2075）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 任念兵.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学三探——以《欣赏对数》为例谈“数学欣赏”的素材选择[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（8）.
[2] 张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考（上旬），2010（1～2）.
[3] 舒欣.关于方程概念的欣赏[J].数学教学，2010（1）.
[4] 任念兵.基于“数学理解”，突出“算法设计”——《函数的零点》教学设计与思考[J].教育研究与评论（课堂观察），2016（7）.【编者按】 2017年第8期我们刊发了南京师范大学附属中学刘明老师和丁菁老师的文章《促进高中生数学探究的课程资源库建设概述》。本期我们继续呈现刘明老师对“促进高中生数学探究的课程资源库建设”的后续研究成果。