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摘要：学生在数学学习中出现的错误是作出教学诊断的重要资源，错误的成因更是进行教学补救的重要依据。结合“两阶段测评”的反馈资料，诊断得到学生在学习“平面向量”单元时出现的几类典型错误：将已有知识、经验作了过度的类推；对向量知识的各种表征无法进行必要而正确的转换；受两个直观法则的影响。对于学生的每一个错误，教学补救的基本过程可以分为三个阶段：制造暴露事件；引入异例；概念调适。
关键词：学习错误教学诊断教学补救平面向量
著名数学家Schwarzenberger在1984年担任英国数学学会会长时的致辞中提到：“在数学研究中，错误的答案和正确的答案一样重要，有时候有过之而无不及。”对数学教师而言，学生在数学学习中出现的错誤是作出教学诊断的重要资源，错误的成因更是进行教学补救的重要依据。
向量是近代数学中重要的基本概念之一，是沟通代数和几何的重要工具，在中学数学教学中具有重要的地位。下面，笔者结合调查研究，对高中学生在学习“平面向量”单元时出现的错误进行诊断，并依此给出补救的建议。
一、诊断的方法
根据笔者的了解，很多学生在学习“平面向量”单元时存在不同程度的困难，表现在解题中就是错误百出。面对这种状况，很多教师将学生的错误简单地归因于学生“不认真、不努力”，进而通过大量的重复练习来矫正学生的错误，但是往往是事倍功半。
对学生的错误应作诊断，途径有很多种，比较常见的有访谈、传统的纸笔测验、绘制概念图等。访谈比较低效；传统的纸笔测验可以收集到大量的样本资料，但是只能提供对或错的信息，难以了解学生出错的真正原因；绘制概念图则需要对学生（甚至教师）进行相关知识的专业培训，在当前的升学压力下难以实现。
结合数学教学的实际情况，笔者选择了D.F.Treagust提出的两阶段评量法，设计了两阶段评量试题作为测评工具。两阶段评量试题由两部分构成：第一部分为判断选项，第二部分为理由选项。每一道题都有5个理由选项，其中最后一个为“其他理由”——当理由不在前面四个选项中时，可以将其在此处自由地表达出来。例如：
题目：AA是否等于0？
□是□否
我的理由是。
（1）A点到A点没有移动，所以为0。
（2）AA的实质是点A，点A没有长度，所以AA不是向量，应该等于0。
（3）AA应该是0。
（4）设A=5，则AA=5-5=0。
（5）其他理由：。
两阶段评量试题是结合前人研究、教师问卷调查、学生开放式前测（在传统考试题目的基础上增加了陈述理由的环节，理由不是由教师设置选项给出，而是由学生根据自己的解答给出）的结果编拟、开发的。特别是其中的理由选项，是将学生开放式前测的结果（给出的理由）归类，选择其中典型的类别编拟而成的。
二、对学生常见错误的诊断
R.B.Ashlock等学者认为，将学生在学习中产生的错误特征化，并进行合理的分类，将有助于教学补救的设计。Movshoitz-Hadar等学者提出了学生错误的分类模型。笔者借鉴这一分类模型，结合“两阶段测评”的反馈资料，诊断得到学生在学习“平面向量”单元时出现的几类典型错误。
（一）将已有知识、经验作了过度的类推
认知心理学认为，学生对新知识的学习是在已有知识基础上的自行建构，即往往以已有的知识结构解释新知识，并用已有的知识结构吸纳新知识，使得已有的知识结构得到发展。在此过程中，学生经常会将旧知识、旧经验在新的环境中作出错误的类比和推广。在“平面向量”单元的学习中，由于相关概念、运算所使用的记号、名称等与旧知识、旧经验存在着很多类似甚至相同之处，致使此类错误尤为严重。
例1向量的记号与有向线段的记号：AB=5是否表示AB是模为5、方向指向正方向的向量？
因为向量是具有大小与方向的量，而作为旧知识的有向线段也同时具有大小和方向两个要素，因此学生很容易将两者联系起来。我们知道，有向线段的记号AB既表示有向线段本身，又表示其大小和方向，例如，AB=5说明有向线段AB的方向为正方向且长度为5。受此影响，学生便很自然地将这一记号类比到向量，从而出现了类似于“AB=5”的错误表示。
例2向量的夹角与直线的夹角：在△ABC中，向量AB与BC的夹角是否为∠B？
解答这一问题时，学生的错误率非常高。从学生给出的理由来看，很多学生的错误源于将向量的夹角和直线的夹角、三角形两边的夹角混为一谈。
例3向量的投影与线段的射影：已知AB和AC的夹角为120°，|AC|=12|AB|=1，则AB在AC上的投影是否为1？
解答这一问题时，很多学生给出了肯定的回答。大多数学生给出的理由表明，他们将向量的投影和线段在直线上的射影长等同起来，产生了错误的认知。
此外，受到实数运算的影响，很多学生在测试中将实数的运算法则和运算律错误地运用于向量运算，例如|a·b|=|a|·|b|等等。此类错误非常常见，笔者不再赘述。
（二）对向量知识的各种表征无法进行必要而正确的转换
众所周知，向量知识具有代数和几何的二重性，理解向量的概念和运算应当同时关注其代数表征和几何表征，并且能够在必要时对二者进行转换。相反地，学生如果缺乏对向量多元表征的理解，不能在向量的多元表征之间自由地转换，就会导致认知困难和解题错误。
例4数量积的多元表征：如图1，AB·AC是否等于AB·AD？
从学生给出的理由来看，答错的学生大多根据数量积的定义式（AB·AC= |AB|·|AC|cos∠BAC），分别比较了|AC|和|AD|的大小以及∠DAB和∠CAB的大小，进而得出了错误的解答，其中选择“因为|AC|<|AD|，而∠DAB>∠CAB，所以无法比较大小”这一理由选项的人最多。 事实上，如果学生能够从数量积的几何意义（AB·AC即AC在AB上的投影与AB的模的积）出发，马上就会得到这两个数量积均为|AB|2；如果学生注意到向量数量积的坐标表示，通过建系利用坐标计算两个数量积（以B为原点，AB、BD为坐标轴，建立平面直角坐标系，设A（-a，0）、C（0，c）、D（0，d），则通过坐标运算易求得AB·AC=a2），也是很容易得出正确结果的。所以我们有理由相信，正是由于学生对向量数量积的多元表征缺乏认识，才导致了该题解答的错误。
（三）受两个直观法则的影响
学生的原始直观顽固而持久地影响着学生的认知活动，值得注意的是，这种影响是在学生不自知的情况下发生的。在直观法则的影响下，学生往往會不假思索地对概念作出判断，从而导致错误。
1.受“More A-More B”法则的影响。
在两个系统的某个量A有明显不同（不妨设A1>A2）的前提下，当被要求比较另一个量B的大小时，许多学生会自然地认为B1>B2。这种直观法则就是“More A-More B”。
例5数量积的大小关系：若|a|>|b|，|c|>|d|，则a·c>b·d？
部分学生对此结论表示肯定。从学生给出的理由来看，很多学生都不假思索地给出了本题的答案。当笔者要求学生按照向量数量积的运算公式进行演算时，他们又能给出正确的解答。这无疑表明学生是受直观法则的影响而作出了错误的判断。
2.受“Same A-Same B”法则的影响。
在两个系统的某个量A相等（A1=A2）的前提下，当被要求比较另一个量B的大小时，许多学生会自然地认为B1=B2。这种直观法则就是“Same A-Same B”。
例6向量运算的消去律：由a·b=a·c，得b=c？
由于向量数量积运算和实数乘法运算采用的符号相同（Same A），学生便错误将向量运算等同于实数运算（Same B）。
三、对学生常见错误的补救
研究表明，学生的某些错误并不容易纠正，尤其是概念性、系统性错误以及直观错误，它们具有一定的顽固性和持久性，因为和新认识相比，学生更倾向于保护原有的想法。对此，需要通过适当的教学补救，帮助学生纠正自己的错误。当然，不能简单地希望教学补救发挥“药到病除”的效果，还要注意教学补救效果的反馈，预防某些错误“卷土重来”。
参考A.W.Bell等人提出的诊断教学法，笔者在教学补救的过程中遵循以下几个基本原则：（1）针对学生的错误原因，制订教学补救的目标；（2）通过对平面向量多元表征的呈现与转化，增加学生对平面向量及其运算的理解；（3）通过问题的设置，引发学生的认知冲突，促使学生主动修正自己的错误；（4）通过对正确的新概念和错误的旧概念的比较和辨析，帮助学生巩固新概念。
根据以上基本原则，对于学生的每一个错误，笔者将教学补救的基本过程分为三个阶段：（1）制造暴露事件，即呈现一项工作给学生，引出学生的错误；（2）引入异例，促使学生察觉到自己偏好的认识和观察到的现象之间的差异，从而产生认知冲突；（3）概念调适，即引导学生分析认知冲突产生的原因，对已有的错误进行自我调整，获得正确的认识。
下面，以学生的典型错误“以向量记号表示向量大小：AB>AC”的教学补救为例进行说明。
1.制造暴露事件。“在如图2所示的方格纸中，画出向量AB，CD，EF，GH，并指出向
图2
量的模。”此时，四个向量已经直观地“暴露”于学生面前，向量之间的关系也一目了然。
2.引入异例。“甲同学对上述四个向量的关系给出了如下的论断：因为四个向量的模分别为4，22，5，5，所以AB>CD>EF=GH。他的论断正确吗？为什么？请结合图形做出说明。”起初，学生受到错误概念的影响，会给出错误的判断，但是，当学生对比图形时，立即会发现刚才的结论是错误的，随之产生认知冲突。
3.概念调适。“两个向量能否比较大小？向量的‘大小’如何表示？记号AB与AB表示的意义有何区别？”通过对这些问题的反思和讨论，学生能认识到先前以向量记号表示向量“大小”的认知是错误的，进而能建立起对向量记号的正确认知。
最后，需要指出的是，除了概念性、系统性错误，因审题不清、计算马虎等原因导致的错误也非常常见，所以，除了纠正学生的概念性、系统性错误，还要在平时的教学中，注重培养学生对思维的自我监控能力，提高学生的思维品质，减少错误的发生。
参考文献：
[1] Treagust，D.F.Development and use of diagnostic tests to evaluate students’ misconceptions in science[J].International Journal of Science Education，1988（2）.
[2] Ashlock，R.B.Error Patteren in computation：A semi-programmed approach[J].Mathematics Teacher，1973（2）.
[3] Nitsa Movshovitz-Hadar，O.Zaslavsky，S.Inbar.An Empirical Classification Model for Errors in High School Mathematics[J].Journal for Research in Mathematics Education，1987（1）.
[4] 张小明.原始直观引发的认知障碍研究——以概率内容为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（9）.
关键词：学习错误教学诊断教学补救平面向量
著名数学家Schwarzenberger在1984年担任英国数学学会会长时的致辞中提到：“在数学研究中，错误的答案和正确的答案一样重要，有时候有过之而无不及。”对数学教师而言，学生在数学学习中出现的错誤是作出教学诊断的重要资源，错误的成因更是进行教学补救的重要依据。
向量是近代数学中重要的基本概念之一，是沟通代数和几何的重要工具，在中学数学教学中具有重要的地位。下面，笔者结合调查研究，对高中学生在学习“平面向量”单元时出现的错误进行诊断，并依此给出补救的建议。
一、诊断的方法
根据笔者的了解，很多学生在学习“平面向量”单元时存在不同程度的困难，表现在解题中就是错误百出。面对这种状况，很多教师将学生的错误简单地归因于学生“不认真、不努力”，进而通过大量的重复练习来矫正学生的错误，但是往往是事倍功半。
对学生的错误应作诊断，途径有很多种，比较常见的有访谈、传统的纸笔测验、绘制概念图等。访谈比较低效；传统的纸笔测验可以收集到大量的样本资料，但是只能提供对或错的信息，难以了解学生出错的真正原因；绘制概念图则需要对学生（甚至教师）进行相关知识的专业培训，在当前的升学压力下难以实现。
结合数学教学的实际情况，笔者选择了D.F.Treagust提出的两阶段评量法，设计了两阶段评量试题作为测评工具。两阶段评量试题由两部分构成：第一部分为判断选项，第二部分为理由选项。每一道题都有5个理由选项，其中最后一个为“其他理由”——当理由不在前面四个选项中时，可以将其在此处自由地表达出来。例如：
题目：AA是否等于0？
□是□否
我的理由是。
（1）A点到A点没有移动，所以为0。
（2）AA的实质是点A，点A没有长度，所以AA不是向量，应该等于0。
（3）AA应该是0。
（4）设A=5，则AA=5-5=0。
（5）其他理由：。
两阶段评量试题是结合前人研究、教师问卷调查、学生开放式前测（在传统考试题目的基础上增加了陈述理由的环节，理由不是由教师设置选项给出，而是由学生根据自己的解答给出）的结果编拟、开发的。特别是其中的理由选项，是将学生开放式前测的结果（给出的理由）归类，选择其中典型的类别编拟而成的。
二、对学生常见错误的诊断
R.B.Ashlock等学者认为，将学生在学习中产生的错误特征化，并进行合理的分类，将有助于教学补救的设计。Movshoitz-Hadar等学者提出了学生错误的分类模型。笔者借鉴这一分类模型，结合“两阶段测评”的反馈资料，诊断得到学生在学习“平面向量”单元时出现的几类典型错误。
（一）将已有知识、经验作了过度的类推
认知心理学认为，学生对新知识的学习是在已有知识基础上的自行建构，即往往以已有的知识结构解释新知识，并用已有的知识结构吸纳新知识，使得已有的知识结构得到发展。在此过程中，学生经常会将旧知识、旧经验在新的环境中作出错误的类比和推广。在“平面向量”单元的学习中，由于相关概念、运算所使用的记号、名称等与旧知识、旧经验存在着很多类似甚至相同之处，致使此类错误尤为严重。
例1向量的记号与有向线段的记号：AB=5是否表示AB是模为5、方向指向正方向的向量？
因为向量是具有大小与方向的量，而作为旧知识的有向线段也同时具有大小和方向两个要素，因此学生很容易将两者联系起来。我们知道，有向线段的记号AB既表示有向线段本身，又表示其大小和方向，例如，AB=5说明有向线段AB的方向为正方向且长度为5。受此影响，学生便很自然地将这一记号类比到向量，从而出现了类似于“AB=5”的错误表示。
例2向量的夹角与直线的夹角：在△ABC中，向量AB与BC的夹角是否为∠B？
解答这一问题时，学生的错误率非常高。从学生给出的理由来看，很多学生的错误源于将向量的夹角和直线的夹角、三角形两边的夹角混为一谈。
例3向量的投影与线段的射影：已知AB和AC的夹角为120°，|AC|=12|AB|=1，则AB在AC上的投影是否为1？
解答这一问题时，很多学生给出了肯定的回答。大多数学生给出的理由表明，他们将向量的投影和线段在直线上的射影长等同起来，产生了错误的认知。
此外，受到实数运算的影响，很多学生在测试中将实数的运算法则和运算律错误地运用于向量运算，例如|a·b|=|a|·|b|等等。此类错误非常常见，笔者不再赘述。
（二）对向量知识的各种表征无法进行必要而正确的转换
众所周知，向量知识具有代数和几何的二重性，理解向量的概念和运算应当同时关注其代数表征和几何表征，并且能够在必要时对二者进行转换。相反地，学生如果缺乏对向量多元表征的理解，不能在向量的多元表征之间自由地转换，就会导致认知困难和解题错误。
例4数量积的多元表征：如图1，AB·AC是否等于AB·AD？
从学生给出的理由来看，答错的学生大多根据数量积的定义式（AB·AC= |AB|·|AC|cos∠BAC），分别比较了|AC|和|AD|的大小以及∠DAB和∠CAB的大小，进而得出了错误的解答，其中选择“因为|AC|<|AD|，而∠DAB>∠CAB，所以无法比较大小”这一理由选项的人最多。 事实上，如果学生能够从数量积的几何意义（AB·AC即AC在AB上的投影与AB的模的积）出发，马上就会得到这两个数量积均为|AB|2；如果学生注意到向量数量积的坐标表示，通过建系利用坐标计算两个数量积（以B为原点，AB、BD为坐标轴，建立平面直角坐标系，设A（-a，0）、C（0，c）、D（0，d），则通过坐标运算易求得AB·AC=a2），也是很容易得出正确结果的。所以我们有理由相信，正是由于学生对向量数量积的多元表征缺乏认识，才导致了该题解答的错误。
（三）受两个直观法则的影响
学生的原始直观顽固而持久地影响着学生的认知活动，值得注意的是，这种影响是在学生不自知的情况下发生的。在直观法则的影响下，学生往往會不假思索地对概念作出判断，从而导致错误。
1.受“More A-More B”法则的影响。
在两个系统的某个量A有明显不同（不妨设A1>A2）的前提下，当被要求比较另一个量B的大小时，许多学生会自然地认为B1>B2。这种直观法则就是“More A-More B”。
例5数量积的大小关系：若|a|>|b|，|c|>|d|，则a·c>b·d？
部分学生对此结论表示肯定。从学生给出的理由来看，很多学生都不假思索地给出了本题的答案。当笔者要求学生按照向量数量积的运算公式进行演算时，他们又能给出正确的解答。这无疑表明学生是受直观法则的影响而作出了错误的判断。
2.受“Same A-Same B”法则的影响。
在两个系统的某个量A相等（A1=A2）的前提下，当被要求比较另一个量B的大小时，许多学生会自然地认为B1=B2。这种直观法则就是“Same A-Same B”。
例6向量运算的消去律：由a·b=a·c，得b=c？
由于向量数量积运算和实数乘法运算采用的符号相同（Same A），学生便错误将向量运算等同于实数运算（Same B）。
三、对学生常见错误的补救
研究表明，学生的某些错误并不容易纠正，尤其是概念性、系统性错误以及直观错误，它们具有一定的顽固性和持久性，因为和新认识相比，学生更倾向于保护原有的想法。对此，需要通过适当的教学补救，帮助学生纠正自己的错误。当然，不能简单地希望教学补救发挥“药到病除”的效果，还要注意教学补救效果的反馈，预防某些错误“卷土重来”。
参考A.W.Bell等人提出的诊断教学法，笔者在教学补救的过程中遵循以下几个基本原则：（1）针对学生的错误原因，制订教学补救的目标；（2）通过对平面向量多元表征的呈现与转化，增加学生对平面向量及其运算的理解；（3）通过问题的设置，引发学生的认知冲突，促使学生主动修正自己的错误；（4）通过对正确的新概念和错误的旧概念的比较和辨析，帮助学生巩固新概念。
根据以上基本原则，对于学生的每一个错误，笔者将教学补救的基本过程分为三个阶段：（1）制造暴露事件，即呈现一项工作给学生，引出学生的错误；（2）引入异例，促使学生察觉到自己偏好的认识和观察到的现象之间的差异，从而产生认知冲突；（3）概念调适，即引导学生分析认知冲突产生的原因，对已有的错误进行自我调整，获得正确的认识。
下面，以学生的典型错误“以向量记号表示向量大小：AB>AC”的教学补救为例进行说明。
1.制造暴露事件。“在如图2所示的方格纸中，画出向量AB，CD，EF，GH，并指出向
图2
量的模。”此时，四个向量已经直观地“暴露”于学生面前，向量之间的关系也一目了然。
2.引入异例。“甲同学对上述四个向量的关系给出了如下的论断：因为四个向量的模分别为4，22，5，5，所以AB>CD>EF=GH。他的论断正确吗？为什么？请结合图形做出说明。”起初，学生受到错误概念的影响，会给出错误的判断，但是，当学生对比图形时，立即会发现刚才的结论是错误的，随之产生认知冲突。
3.概念调适。“两个向量能否比较大小？向量的‘大小’如何表示？记号AB与AB表示的意义有何区别？”通过对这些问题的反思和讨论，学生能认识到先前以向量记号表示向量“大小”的认知是错误的，进而能建立起对向量记号的正确认知。
最后，需要指出的是，除了概念性、系统性错误，因审题不清、计算马虎等原因导致的错误也非常常见，所以，除了纠正学生的概念性、系统性错误，还要在平时的教学中，注重培养学生对思维的自我监控能力，提高学生的思维品质，减少错误的发生。
参考文献：
[1] Treagust，D.F.Development and use of diagnostic tests to evaluate students’ misconceptions in science[J].International Journal of Science Education，1988（2）.
[2] Ashlock，R.B.Error Patteren in computation：A semi-programmed approach[J].Mathematics Teacher，1973（2）.
[3] Nitsa Movshovitz-Hadar，O.Zaslavsky，S.Inbar.An Empirical Classification Model for Errors in High School Mathematics[J].Journal for Research in Mathematics Education，1987（1）.
[4] 张小明.原始直观引发的认知障碍研究——以概率内容为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（9）.