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几何知识的应用在现实的生产实践和生活中极其普遍，对几何知识的考查也从单纯的几何证明、计算向几何应用方面转变，且题型多种多样. 它利用直线型和圆中的一些基本性质，借助于图形变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行距离的测量与计算、面积的确定、线路的确定、方案的设计等等，主要考查同学们的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及对所学几何基础知识的灵活运用能力. 解题时一般先从实际的问题中抽象出几何图形的模型，将实际问题转化为数学问题，然后把已知量和所求的量转化在几何图形中，再根据几何图形的性质，用代数的方法进行求解，最后检验作答.
本文试以一类测量问题的解题思路为例，探究几何应用问题的解题思路.
例1 （2013·济南）如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m. 则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）.
A. 12 m B. 13 m
C. 16 m D. 17 m
【切入点】作BC⊥AE，构造Rt△ABC和矩形CEDB，将求旗杆高度转化为求AC、CE的长.
【解题思路】如图2，作BC⊥AE于点C，则BC=DE=8，设AE=x，则AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.
【答案】D.
【技巧点拨】构造直角三角形，借助勾股定理列方程是解决简单测量问题的基本手段.
例2 （2013·遂宁）如图3，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少. （结果保留根号）
【切入点】通过作高，将斜三角形转化成两个直角三角形.
【解题思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的长；Rt△BCD是一个含30°角的直角三角形，可用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BC的长.
【解答过程】作BD⊥AC于D.
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.
在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.
在Rt△BCD中，BC===20（海里）.
答：此时船C与船B的距离是20海里.
【技巧点拨】（1） 当一个三角形中出现30°、45°、60°角的时候，要求一些线段的长，我们通常是通过作高构造直角三角形，将这些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形边角关系求出线段的长.
（2） 本题中，由于BD是两个直角三角形的公共边，两个三角形是通过BD这样一个纽带紧密地联系在一起，解此类问题的时候，一定要发挥这条公共直角边的作用.
例3 如图4，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度. 已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7 m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5 m，看旗杆顶部M的仰角为30°. 两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）. 请你求出旗杆MN的高度. （参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数）
【切入点】构造直角三角形，将45°和30°置于直角三角形中，通过ME和MF建立两个直角三角形的联系.
【解题思路】根据上例提供的思路，题目中出现了两个特殊角45°和30°，因此我们应该想方设法构造垂线，将这两个特殊角放在直角三角形中处理，不难想到应该过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，虽然本题没有像上例那样出现一条公共的直角边，但直角边ME和MF之间相差0.2米，AE和FC的和为28米，可以转化为两个未知数、两个相等关系的问题，我们可以根据一个相等关系设未知数，根据另一个相等关系列方程，因此本题有两种方法求出ME和MF的长，继而求出旗杆MN的高度.
过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F.
则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.
在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.
设AE=ME=x（不设参数也可）.
∴MF=x+0.2，FC=28-x.
在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.
∴MF=CF·tan∠MCF.
∴x+0.2=（28-x），
∴x≈10，∴MN≈12.
答：旗杆高约为12米.
【技巧点拨】本题虽然没有公共边，但是ME和MF在同一直线上，相当于公共边，尽管没有给出ME和MF的长，但这两条线段之间的数量关系是联系这两个直角三角形的桥梁.
（作者单位：江苏省海安县吉庆初级中学）
本文试以一类测量问题的解题思路为例，探究几何应用问题的解题思路.
例1 （2013·济南）如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m. 则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）.
A. 12 m B. 13 m
C. 16 m D. 17 m
【切入点】作BC⊥AE，构造Rt△ABC和矩形CEDB，将求旗杆高度转化为求AC、CE的长.
【解题思路】如图2，作BC⊥AE于点C，则BC=DE=8，设AE=x，则AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.
【答案】D.
【技巧点拨】构造直角三角形，借助勾股定理列方程是解决简单测量问题的基本手段.
例2 （2013·遂宁）如图3，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少. （结果保留根号）
【切入点】通过作高，将斜三角形转化成两个直角三角形.
【解题思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的长；Rt△BCD是一个含30°角的直角三角形，可用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出BC的长.
【解答过程】作BD⊥AC于D.
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.
在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.
在Rt△BCD中，BC===20（海里）.
答：此时船C与船B的距离是20海里.
【技巧点拨】（1） 当一个三角形中出现30°、45°、60°角的时候，要求一些线段的长，我们通常是通过作高构造直角三角形，将这些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形边角关系求出线段的长.
（2） 本题中，由于BD是两个直角三角形的公共边，两个三角形是通过BD这样一个纽带紧密地联系在一起，解此类问题的时候，一定要发挥这条公共直角边的作用.
例3 如图4，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度. 已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7 m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5 m，看旗杆顶部M的仰角为30°. 两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）. 请你求出旗杆MN的高度. （参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数）
【切入点】构造直角三角形，将45°和30°置于直角三角形中，通过ME和MF建立两个直角三角形的联系.
【解题思路】根据上例提供的思路，题目中出现了两个特殊角45°和30°，因此我们应该想方设法构造垂线，将这两个特殊角放在直角三角形中处理，不难想到应该过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，虽然本题没有像上例那样出现一条公共的直角边，但直角边ME和MF之间相差0.2米，AE和FC的和为28米，可以转化为两个未知数、两个相等关系的问题，我们可以根据一个相等关系设未知数，根据另一个相等关系列方程，因此本题有两种方法求出ME和MF的长，继而求出旗杆MN的高度.
过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F.
则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.
在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.
设AE=ME=x（不设参数也可）.
∴MF=x+0.2，FC=28-x.
在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.
∴MF=CF·tan∠MCF.
∴x+0.2=（28-x），
∴x≈10，∴MN≈12.
答：旗杆高约为12米.
【技巧点拨】本题虽然没有公共边，但是ME和MF在同一直线上，相当于公共边，尽管没有给出ME和MF的长，但这两条线段之间的数量关系是联系这两个直角三角形的桥梁.
（作者单位：江苏省海安县吉庆初级中学）