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中考类型题错综复杂，种类繁多，特别是综合题学生倍感头痛，无从入手.
如求点的坐标的问题，有的学生逐一去求，没有头绪，没有方法，不但复杂，而且易错，怎样才能不重不漏地将其找准找全，这就需要一种解题策略和方法.
对于求等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形等点的坐标，这类问题可以采用如下方法解决.
一、利用两圆一线求点的坐标
例1如图1平面直角坐标系中，A（1，3），B为坐标轴上一点，且使得
△AOB为等腰三角形，求满足条件的点B的坐标.
图1图2
解析：如图2，B为坐标轴上一点，△AOB为等腰三角形，OA为等腰三角形的腰或底.
①OA为腰
（Ⅰ）以O为圆心，OA长为半径画圆，与坐标轴交于点C1、C2、C3、C4.
（Ⅱ）以A为圆心，OA长为半径画圆，与y轴交于点C5，其中与x轴交点和C1重合.
②OA为底，作OA的垂直平分线，交y轴于点C6，其中与x轴交点和C1重合.
综述：B点坐标为C1（2，0），C2（0，2），C3（-2，0），C4（0，-2），C5（1，23），C6（0，
233） .
在解题过程中，可以发现，菱形的各边相等，符合等腰三角形两边相等的特点；菱形的对角线互相垂直平分，又符合等腰三角形底边的高也是底边的中线的特点，所以两圆一线不仅适用于等腰三角形，而且还适用于菱形，用起来非常方便.
例2如图3，平面直角坐标系中，直线AB：y=-3x+2 3与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P在坐标平面内，则在直线AB上是否存在点Q，使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
图3图4
解析：本题为两定点O、B，两动点P、Q，其中点Q在直线AB上.
OB为菱形的边或对角线
①OB为边.
（Ⅰ）如图4，以O为圆心，OB为半径画圆，交直线AB于点Q1，
菱形OBPQ1，如图，设Q1（x，-3x+23）
因为AB：y=- 3x+23，所以B（0，23），所以OB=23，OQ=23.
即使x2+（- 3x+2 3）2=（23）2 ，解得x1=3，x2=0（舍去）
所以Q1（3，-3）
（Ⅱ）以B为圆心，OB长为半径画圆，交直线AB于点Q2，Q3，菱形OBQ2P和OBQ3P，如图，过Q2作Q2M⊥OB，BQ2=OB=
23，∠Q2BM=30°，所以Q2M=3，BM=3.
所以Q2（3，23-3）.
同理可求Q3（-3，23+3）
图5图6
②如图6，OB为对角线，作OB的垂直平分线交AB于点Q4，连结OQ4，作OP∥AB，BP∥OQ4，OP，BP交于点P，Q4（1，3）.
综述：Q1（3，-3） ，Q2（3，23-3），Q3（-
3，2 3+3），Q4（1，3）
二、利用两线一圆求点的坐标
这种方法适用于直角三角形，即给出两定点，求一动点，满足直角三角形.
例3如图7，平面直角坐标系中，A（1，1），B（7，1），直线L1：y1=4，直线L2：y2=-1，在L1和L2上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
图7图8
解析：图8，点A、点B为定点，点C为动点，△ABC为直角三角形，以AB为直角边或斜边.
①AB为直角边.
（Ⅰ）点A为直角顶点，过点A作L1和L2的垂线交L1和L2于点C1、C2 ，C1（1，4），C2（1，-1）.
（Ⅱ）点B为直角顶点，过点B作L1和L2的垂线交L1和L2于点C3、C4 ，C3（7，4），C4（7，-1）.
②AB为斜边，以AB为直径画圆交L1于点C5，交L2于点C6、C7，C5（5，4）， C6（4-5，-1），C7（4+
5，-1）.
所以点C的坐标为C1（1，4），C2（1，-1），C3（7，4），C4（7，-1），C5（5，4） ，C6（4-5，-1） ，C7（4+
5，-1） .
三、利用中点坐标公式求构成平行四边形的点的坐标
图9
如图9， 平面直角坐标系中，四边形ABCD
为平行四边形， 对角线的交点为E，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以对角线的交点分别是两条对角线的中点.
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D （x4，y4）.
利用中点坐标公式，E是AC的中点，则有E点坐标为（
x1+x32，y1+y32）；E是BD的中点，则有E点坐标为（
x2+x42，y2+y42），所以就有
x1+x32=
x2+x42，
y1+y32=
y2+y42，化简得
x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4.
结论：平行四边形中一条对角线的两个顶点的横坐标之和等于另一条对角线的两个顶点的横坐标之和；同理纵坐标也成立.对于对角线互相平分的四边形都有此结论.
例4已知平面内有三点A（3，4），B（2，6），C（1，2），求平面内第四点D的坐标，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形. 分析：因为A、B、C、D 无顺序性，所以有三种情况，设D（x，y）.
解：①ABCD为平行四边形即AC和BD是对角线，则有3+1=2+x，4+2=6+y得D1（2，0）.
②ACBD为平行四边形即AB和CD是对角线，则有3+2=1+x，4+6=2+y得D2（4，8）.
③ABDC为平行四边形即AD和BC是对角线，则有2+1=3+x， 6+2=4+y得D3（0，4）.
综上D点的坐标为D1（2，0），D2（4，8），D3（0，4）.
利用结论求综合题有关构成平行四边形的点的坐标.
图10
例5如图10，四边形ABCD为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点D的坐标是（0，0），点B的坐标是（3，4），矩形ABCD沿EF折叠，点A落在BC边上的点G处，点E、F分别在AD和AB上，且点F的坐标是（2，4）.
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，
使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请写出M的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）点N在y轴上，直线EF上是否存在点M，
使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行
四边形， 若存在，请写出M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为B（3，4）， F（2，4）.所以FG=FA=2 ， BF=1.所以BG= 3，
因为BC=4， 所以CG=4-23，所以G（3，4-3）.
（2）因为cos∠BFG =
BFFG=12，所以∠BFG=60°.
又因为∠AFE=∠EFG=180°-∠BFC2
=180°-60°2=60°.
所以tan∠AFE=
AEAF=3，又因为FA=2，所以AE=23.
所以OE=4-23，所以E（0， 4-23）.
设直线EF的解析式为y=kx+b把F（2，4），E（0， 4-23）坐标代入解析式，解得k=
3，b=4-23，所以直线EF的解析式为y=
3x+4-23
.
（3） 分析：因为N点在x轴上，所以纵坐标为0，此时F、G、N三点的纵坐标都已知，又因为以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，所以可以利用上述结论求出点M的纵坐标，再利用M点在直线EF上，把M点纵坐标代入EF的解析式进而求出M点的横坐标.
解：F（2，4）， G（3，4-3） ，设N （x，0），M （a，b）， 有三种情况：
①FGNM为平行四边形即FN和GM是对角线，则有4+0=4-3+b得b1=3.
②平行四边形为FNGM即FG和NM是对角线，则有4+4-3=0+b得b2 =8-3.
③平行四边形为FGMN即FM和GN是对角线，则有4+b=4-3+0得b3 =-3.
把纵坐标b的三个值分别代入直线EF的解析式y=
3x+4-23，分别得a1=
3-433， a2=
433+1， a3=
1-433.综上M点的坐标为M1 （
3-433，3），M2（
433+1，8-3） ，M3（1-433， -3 ）.
（4） 分析：因为N点在y轴上，所以横坐标为0，此时F、G、N三点的横坐标都已知，又因为以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，所以可以利用上述结论求出点M的横坐标，再利用M点在直线EF上，把M点横坐标代入EF的解析式进而求出M点的纵坐标.
解：F（2，4）， G（3，4-3） ，设N （0，y），M （a，b）， 有三种情况：
①平行四边形为FGNM即FN和GM是对角线，则有2+0=3+ a得a1=-1.
②平行四边形为FNGM即FG和NM是对角线，则有2+3=0+a得a2=5.
②平行四边形为FGMN即FM和GN是对角线，则有2+a=3+0得a3=1.
把横坐标a的三个值分别代入直线EF的解析式y=
3x+4-23，分别得b1=
4-33
， b2=4+33， b3=4-
3.综上M点的坐标为M1（-1，
4-33 ），M2（5，
4+33） ，M3（1，4-3）.
此方法可以推广到特殊的平行四边形中，如菱形、矩形、正方形均可.
如求点的坐标的问题，有的学生逐一去求，没有头绪，没有方法，不但复杂，而且易错，怎样才能不重不漏地将其找准找全，这就需要一种解题策略和方法.
对于求等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形等点的坐标，这类问题可以采用如下方法解决.
一、利用两圆一线求点的坐标
例1如图1平面直角坐标系中，A（1，3），B为坐标轴上一点，且使得
△AOB为等腰三角形，求满足条件的点B的坐标.
图1图2
解析：如图2，B为坐标轴上一点，△AOB为等腰三角形，OA为等腰三角形的腰或底.
①OA为腰
（Ⅰ）以O为圆心，OA长为半径画圆，与坐标轴交于点C1、C2、C3、C4.
（Ⅱ）以A为圆心，OA长为半径画圆，与y轴交于点C5，其中与x轴交点和C1重合.
②OA为底，作OA的垂直平分线，交y轴于点C6，其中与x轴交点和C1重合.
综述：B点坐标为C1（2，0），C2（0，2），C3（-2，0），C4（0，-2），C5（1，23），C6（0，
233） .
在解题过程中，可以发现，菱形的各边相等，符合等腰三角形两边相等的特点；菱形的对角线互相垂直平分，又符合等腰三角形底边的高也是底边的中线的特点，所以两圆一线不仅适用于等腰三角形，而且还适用于菱形，用起来非常方便.
例2如图3，平面直角坐标系中，直线AB：y=-3x+2 3与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P在坐标平面内，则在直线AB上是否存在点Q，使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
图3图4
解析：本题为两定点O、B，两动点P、Q，其中点Q在直线AB上.
OB为菱形的边或对角线
①OB为边.
（Ⅰ）如图4，以O为圆心，OB为半径画圆，交直线AB于点Q1，
菱形OBPQ1，如图，设Q1（x，-3x+23）
因为AB：y=- 3x+23，所以B（0，23），所以OB=23，OQ=23.
即使x2+（- 3x+2 3）2=（23）2 ，解得x1=3，x2=0（舍去）
所以Q1（3，-3）
（Ⅱ）以B为圆心，OB长为半径画圆，交直线AB于点Q2，Q3，菱形OBQ2P和OBQ3P，如图，过Q2作Q2M⊥OB，BQ2=OB=
23，∠Q2BM=30°，所以Q2M=3，BM=3.
所以Q2（3，23-3）.
同理可求Q3（-3，23+3）
图5图6
②如图6，OB为对角线，作OB的垂直平分线交AB于点Q4，连结OQ4，作OP∥AB，BP∥OQ4，OP，BP交于点P，Q4（1，3）.
综述：Q1（3，-3） ，Q2（3，23-3），Q3（-
3，2 3+3），Q4（1，3）
二、利用两线一圆求点的坐标
这种方法适用于直角三角形，即给出两定点，求一动点，满足直角三角形.
例3如图7，平面直角坐标系中，A（1，1），B（7，1），直线L1：y1=4，直线L2：y2=-1，在L1和L2上是否存在点C，使△ABC为直角三角形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
图7图8
解析：图8，点A、点B为定点，点C为动点，△ABC为直角三角形，以AB为直角边或斜边.
①AB为直角边.
（Ⅰ）点A为直角顶点，过点A作L1和L2的垂线交L1和L2于点C1、C2 ，C1（1，4），C2（1，-1）.
（Ⅱ）点B为直角顶点，过点B作L1和L2的垂线交L1和L2于点C3、C4 ，C3（7，4），C4（7，-1）.
②AB为斜边，以AB为直径画圆交L1于点C5，交L2于点C6、C7，C5（5，4）， C6（4-5，-1），C7（4+
5，-1）.
所以点C的坐标为C1（1，4），C2（1，-1），C3（7，4），C4（7，-1），C5（5，4） ，C6（4-5，-1） ，C7（4+
5，-1） .
三、利用中点坐标公式求构成平行四边形的点的坐标
图9
如图9， 平面直角坐标系中，四边形ABCD
为平行四边形， 对角线的交点为E，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以对角线的交点分别是两条对角线的中点.
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D （x4，y4）.
利用中点坐标公式，E是AC的中点，则有E点坐标为（
x1+x32，y1+y32）；E是BD的中点，则有E点坐标为（
x2+x42，y2+y42），所以就有
x1+x32=
x2+x42，
y1+y32=
y2+y42，化简得
x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4.
结论：平行四边形中一条对角线的两个顶点的横坐标之和等于另一条对角线的两个顶点的横坐标之和；同理纵坐标也成立.对于对角线互相平分的四边形都有此结论.
例4已知平面内有三点A（3，4），B（2，6），C（1，2），求平面内第四点D的坐标，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形. 分析：因为A、B、C、D 无顺序性，所以有三种情况，设D（x，y）.
解：①ABCD为平行四边形即AC和BD是对角线，则有3+1=2+x，4+2=6+y得D1（2，0）.
②ACBD为平行四边形即AB和CD是对角线，则有3+2=1+x，4+6=2+y得D2（4，8）.
③ABDC为平行四边形即AD和BC是对角线，则有2+1=3+x， 6+2=4+y得D3（0，4）.
综上D点的坐标为D1（2，0），D2（4，8），D3（0，4）.
利用结论求综合题有关构成平行四边形的点的坐标.
图10
例5如图10，四边形ABCD为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点D的坐标是（0，0），点B的坐标是（3，4），矩形ABCD沿EF折叠，点A落在BC边上的点G处，点E、F分别在AD和AB上，且点F的坐标是（2，4）.
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，
使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，请写出M的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）点N在y轴上，直线EF上是否存在点M，
使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行
四边形， 若存在，请写出M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为B（3，4）， F（2，4）.所以FG=FA=2 ， BF=1.所以BG= 3，
因为BC=4， 所以CG=4-23，所以G（3，4-3）.
（2）因为cos∠BFG =
BFFG=12，所以∠BFG=60°.
又因为∠AFE=∠EFG=180°-∠BFC2
=180°-60°2=60°.
所以tan∠AFE=
AEAF=3，又因为FA=2，所以AE=23.
所以OE=4-23，所以E（0， 4-23）.
设直线EF的解析式为y=kx+b把F（2，4），E（0， 4-23）坐标代入解析式，解得k=
3，b=4-23，所以直线EF的解析式为y=
3x+4-23
.
（3） 分析：因为N点在x轴上，所以纵坐标为0，此时F、G、N三点的纵坐标都已知，又因为以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，所以可以利用上述结论求出点M的纵坐标，再利用M点在直线EF上，把M点纵坐标代入EF的解析式进而求出M点的横坐标.
解：F（2，4）， G（3，4-3） ，设N （x，0），M （a，b）， 有三种情况：
①FGNM为平行四边形即FN和GM是对角线，则有4+0=4-3+b得b1=3.
②平行四边形为FNGM即FG和NM是对角线，则有4+4-3=0+b得b2 =8-3.
③平行四边形为FGMN即FM和GN是对角线，则有4+b=4-3+0得b3 =-3.
把纵坐标b的三个值分别代入直线EF的解析式y=
3x+4-23，分别得a1=
3-433， a2=
433+1， a3=
1-433.综上M点的坐标为M1 （
3-433，3），M2（
433+1，8-3） ，M3（1-433， -3 ）.
（4） 分析：因为N点在y轴上，所以横坐标为0，此时F、G、N三点的横坐标都已知，又因为以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，所以可以利用上述结论求出点M的横坐标，再利用M点在直线EF上，把M点横坐标代入EF的解析式进而求出M点的纵坐标.
解：F（2，4）， G（3，4-3） ，设N （0，y），M （a，b）， 有三种情况：
①平行四边形为FGNM即FN和GM是对角线，则有2+0=3+ a得a1=-1.
②平行四边形为FNGM即FG和NM是对角线，则有2+3=0+a得a2=5.
②平行四边形为FGMN即FM和GN是对角线，则有2+a=3+0得a3=1.
把横坐标a的三个值分别代入直线EF的解析式y=
3x+4-23，分别得b1=
4-33
， b2=4+33， b3=4-
3.综上M点的坐标为M1（-1，
4-33 ），M2（5，
4+33） ，M3（1，4-3）.
此方法可以推广到特殊的平行四边形中，如菱形、矩形、正方形均可.