我们知道，几个正数的积为正，正数与负数的积为负，利用这个简单的符号法则来证明不等式，有时会收到意想不到的效果.
　　一、证明常见的不等式
　　例1设实数a、b、c满足|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证ab+bc+ca>-1.
　　证明:由题设条件知1±a>0,1±b>0,1±c>0,所以(1+a)(1+b)(1+c)>0,(1-a)(1-b)(1-c)>0.
　　 展开得1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>0,1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc>0.
　　两式相加得2+2(ab+bc+ca)>0,从而ab+bc+ca>
　　-1.
　　点评:本题通常是构造一次函数，利用区间端点处的函数符号来解答.而本例用简单的符号法则来解答，通俗易懂，简单明了.
　　例2设a、b ∈R+,a+b=1,求证:(1)ab≤14;(2)ab+1ab≥174;(3)2a+2b<3;(4)ax2+by2≥(ax+by)2.
　　证明:（1）因a、b中必有一个较大，一个较小，不妨设a≥b,而a+b=1,则a≥12≥b.
　　由a-12≥0,b-12≤0,有
　　(a-12)(b-12)≤0ab-12(a+b)+14≤0ab-12+14≤0ab≤14.
　　 (2)由（1）知ab-14≤0,ab-4<0,则有(ab-14)(ab-4)≥0(ab)2-174ab+1≥0.
　　两边同除以ab,得ab+1ab≥174.
　　(3)由00,2a-2<0(2a-1)(2a-2)<022a-3×2a+2<022a+2<3×2a.
　　两边同除以2a,得2a+21-a<3,即2a+2b<3.
　　（4）知ab>0,(x-y)2≥0ab(x-y)2≥0abx2+aby2-2abxy≥0.
　　而a=1-b,b=1-a,故上式为a(1-a)2+b(1-b)2-2abxy≥0(ax2+by2)-(a2x2+2abxy+b2y2)≥0ax2+by2≥(ax+by)2.
　　 点评:以上各题的常规方法是恰当而巧妙地运用平均值不等式，难度大.而本文解法，只要考虑两个式子的符号即可，减少了思维难度和变形技巧.
　　二、证明范围不等式
　　形如a≤f (x)≤b的不等式,等价于［f (x)-a］［f (x)-b］≤0.
　　因此，只要判断积的符号即可.
　　例3求证13≤x2-x+1x2+x+1≤3.
　　证明:不等式(x2-x+1x2+x+1-13)(x2-x+1x2+x+1-3)≤0-4(x-1)2(x+1)2(x2+x+1)2≤0(x2-1)2(x2+x+1)2≥0,
　　 由(x2-1)2≥0,(x2+x+1)2>0,知上式成立，所以原不等式得证.
　　例4设a、b∈N*,求证2在ba与2a+ba+b之间.
　　证明(ba-2)(2a+ba+b-2)=-(2-1)(2a-b)2a(a+b).
　　由a、b∈N*,知2a-b≠0,a(a+b)>0,又2-1>0,所以-(2-1)(2a-b)2a(a+b)<0.从而2在ba与2a+ba+b之间.
　　点评：本例解法避免了对a与b大小的讨论以及两个分式大小的判断，只需作一些简单的运算变形，判断出积的符号即可.
　　对于形如“f (x)b”型的不等式，也可用类似方法加以处理.
　　三、比较大小
　　例5比较lg9•lg11与1的大小.
　　解：由lg9<1,lg11>1,知1-lg9>0,1-lg11<0,所以(1-lg9)(1-lg11)<01-(lg9+lg11)+lg9•lg11<0lg9•lg11<(lg9+lg11)-1=lg99-1　　即lg9•lg11<1.