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摘 要：“认识面积”的学习标志着学生对空间与图形的认识从一维世界正式跨入二维世界。面与面积是不同的概念，具有不同的内涵。审视教学目标，让学生正确、顺利触摸概念的内涵的关键在于活动的设计。只有聚焦概念的内涵设计数学活动，我们才会确定哪些活动不可弃，哪些活动应增加，哪些活动应搁置，才能保证学生对概念的意义形成准确而清晰的理解，后续的问题解决、认知结构的完善才会有坚实的基础。
关键词：面；面积；概念内涵；活动设计
从严格意义上说，“认识面积”的学习标志着学生对空间与图形的认识从一维世界正式跨入二维世界。作为最基本的二维度量概念，面积的认识一直是研究热点。在众多认识面积的观摩课中，笔者发现了一些共同现象，引发了一些思考。
之一，面和面积怎能混为一谈？面和面积是不同的概念，平面上三个以上点的连接可以形成面，或者平面上线的封闭也可以形成面；面积是指面的大小。教师在教学中常说，比一比面积的大小，若将语言铺展开来会发现语义的重复：比一比面的大小的大小。教师对面和面积概念的混淆，必然影响学生对概念的理解。
之二，重叠法和观察法一定要出现吗？当学生认识面积后，在比一比环节，一定会组织学生用观察法和重叠法比较面积，而且必然经历“能够比较大小——不能比较大小——探索其他方法”的“三部曲”。这样的流程看似合情合理，但是笔者注意到，能够用观察法和重叠法比较的图形，大小对比通常比较明显，既不能激发学生的思考，也没有孕伏后续学习所需要的经验。
之三，本节课中方格的价值怎样体现？教师对方格的处理方式有两种，一是直接出现，借助方格，将形的大小比较转化为数的多少比较，二是在选择测量工具时，提供多样的工具让学生进行测量，然后比较，得到用小方格最合适。从课堂效果看，直接出现方格，学生不明就里：为什么一定要用方格？对于第二种方式，如果只是告诉，意义不大，如果让学生充分活动，学生能够体验到方格在比较面积中的优势，但耗时太多，以至于学生没有足够的时间探究面积的内涵。
带着这些困惑，笔者重新审视教学目标以及数学活动的设计，越发觉得学生正确、顺利建立面积概念的关键在于活动的设计。那么，设计怎样的活动便于学生触摸概念的内涵呢？
为建立“面”的概念设计活动
面与面积是不同的概念，也是构成面积概念的元素。在学生认识面积之前首先要认识面。认识面要触及三个层次：首先，面是围成立体图形的平面图形；其次，面是线运动的空间；第三，面是有内外之分的。这三点依赖教师的讲述是无效的，需要让学生在活动中感悟面的内涵。
活动一：盖印章
1. 谈话：你知道什么是“面积”吗？看来，同学们对面积有着自己的理解，我们今天就一起来研究“面积”。
2. 引导：要知道什么是面积，我们首先来认识面。观察你的周围，你看到了哪些面？
指出：大家看到了很多的面，这些面其实都是物体的表面。
3. 盖印章。
谈话：这是一个长方体，长方体上有面吗？（拿出长方体和印油）我们来做一个盖印章的游戏。教师将一个长方体的一个面印在白纸上。
问：老师印出的图形就是长方体的一个面，还可以印出怎样的面？请学生将长方体的6个面印在白纸上。
思考：活动中充分利用学生盖章的丰富经验，将长方体的面请到了白纸上，这样出示面的过程，既可以巧妙地暗示面与厚度无关，也可以让学生感悟到面与立体图形之间的关系。
活动二：涂色
1. 涂出下面图形（如图1）的面。
2. 学生遇到问题：最后一个图形不可以涂出它的面。
3. 追问：为什么不可以涂出它的面？
学生指出因为有缺口不知道涂到哪里，能涂出面的，必须能圈起来。
小结：当图形有确定而完整的边线，我们才可以确定它的面有多大。
思考：涂色的活动是让学生意识到面是和边线有关系的，有了确定而完整的边线，才可以区分面的里外，确定面的区域。
活动三：铺小棒
1. 按要求摆小棒（如图2）。
请拿出一根小棒，在后面再接上一根，你发现什么？再摆上一根，你想说什么？接着摆呢？
2. 请拿出一根小棒，再拿出一根小棒与它并排摆放，再拿出一根，你发现什么？再接着铺下去，你想说什么？
思考：教学中教师一般借助课件展示点动成线、线动成面的过程，由于线与点的抽象，学生难以理解，只是在欣赏这个过程。我们可以将一根小棒看作一条线段，在小棒的后面接上小棒，学生会发现线的长度在增加，如果增加小棒与它并列放，学生会发现增加的不是长度，而是逐渐出现了一个面，在操作中理解面的形成过程，让学生对面的理解更深入。
为建立“面积”的概念设计活动
作为量的教学，面积的教学涉及3个层次：面的守恒；图形面积与边界线的长短有关；面积是各部分的和，是可加可减，可测量的。
活动一：破坏的图形
出示两个图形，哪个图形的面大？（两个长方形）
学生的意见不一致。通过重叠得出两个图形的面积一样大。
师：我现在搞个破坏，将图形撕成两部分（见图3），学生比较。
再比较这两个图形，它们还一样大吗？有学生认为不一样大，有学生认为还是，教师不说话，将另一部分复位。学生都认同是一样大了。
教师继续撕下一块重拼，学生认为，还是一样大。
教师在三个图形间加上等号。
小结：一个图形通过剪拼，得到另一个图形，它的面积是不变的。
思考：在学生比较两个图形的大小时，学生常会通过剪拼的方法来比较面的大小，而实际情况是，学生的意识里并未认同这一点（邱学华老师在英国和台湾地区小学测量概念发展的研究中，运用类似的习题，台湾地区正确率为80.6%，英国为66.9%）。用破坏的图形这个活动让学生感受到位置的改变并不影响图形的大小，感受面的守恒，为下面问题的解决孕伏经验。 活动二：设计图形
活动材料：修正贴、彩色卡纸
活动要求：在1分钟内，用修正贴拼出一个图形。比一比，谁拼的图形覆盖的面积大。
修正贴是学生常用的物品，其中的小方格正好可以成为测量面积的单位。
活动反馈：
1.比一比，谁拼的图形覆盖的面积大？为什么？
2.想一想，谁剩下的修正贴的面积大？为什么？
思考：让学生自由创造图形，会让学生对活动充满兴趣，在引导中凸显数学思考：谁用的小方格多，谁的图形覆盖的面积就大，感受到覆盖的面积与用小方格的个数是相关的。比较剩下的修正贴，学生要进行推理，相同数量的修正贴，用掉的部分越多，剩下的部分就越少，感受面积可加可减。
活动三：方格的小秘密
继续借助方格帮我们比面积。
出示几组图形，让学生比一比图形的面积。
第一组，布满方格的图形。
第二组，只有一些方格的图形。
第三组，贴在墙砖上的画。
小结：面积和边的长短是有关系的，但这样的关系不同于周长与边的长短的关系，下面的学习中我们将进一步来研究。
思考：在观摩的数十节认识面积的教学中，我发现学生对于面积的认识一直受到周长的影响，如当无法用重叠和观察法比较面积时，学生首先想到用尺子量，并且非常坚定； 1×4与2×2的图形相比，学生会认为是1×4的面积大；比较面积时，学生会认为周长越长，则面积越大。由于学生有学习长度的经验，比较量的大小确实需要尺子。我们要抓住学生思考中合理的成分，引导学生思考用怎样的“尺子”来比较面积。
课堂回放：
师：借助方格我们继续来比一比面积，说一说，谁的面积大，谁的面积小，为什么？
（出示第一组布满方格的图形，有学生立刻想举手表明观点，看同学在数方格又缩了回去。）
生：左边的面积大，因为左边有12个方格，但右边只有9个方格。
师：右边的图形有这么长呢。（教师做手势）
生：肯定是左边的大，因为方格的个数多。不是只比长度的。
师：现在都有5个方格，面积一样大吗，为什么？
（出示只铺一些方格的图形）
生：（在悄悄地数）是右边的大。我们看到的都是5个方格，但是左边一行是2个，有4行，一共有8个方格；右边一行有3个，有3行，一共有9个方格。肯定是右边的面积大。
师：分析得有道理，我们可以根据现有方格的个数推算方格的总数，再来比较面积。
（出示墙上的画）比一比这些画，谁的面积最小呢？（确定面积最小的画后隐去）剩下的图形哪个面积大呢？
学生独立思考后表达自己的观点。
生：我认为是一样大，因为我数了，它占了8个方格，下面也是8个方格，就是一样大。（学生语言表述不清上来指着图形说。未等他说完，其他学生急着反驳。）
生：我认为下面图形的面积大。因为看外面有4个方格，就是一行放4个，右面可以看出有4个方格，就是可以放4行，挡住了16个方格，上面的图形一行是5个方格，但只有3行，挡住了15个方格。所以下面的面积大。
生：我有补充。我们不能数外面方格的个数，要想里面铺了多少个方格。
生：数外边的方格那是算周长。
师：哦，就是数图形的边有几个方格长。那我们来算一下，这两个图形的周长——
生：都是16，一样大的。
师：原来比较周长从外边数就可以了，而比较面积不仅要考虑边的长短，还需要想里面的方格。
在上述比一比的活动中，学生从观察图形内部的方格逐步到观察图形边的长短，已有认知会受到冲击：图形的面积与边的长短是有关系的，但与周长相比，是不一样的关系。需要提醒的是，帮助学生顺利从已有的长度测量经验迁移到面积测量中，需要在面积的概念初步建立之后，才能关注面积与边长短的关系。
一节课的时间是有限的，在设计活动的过程中，我们应整体考虑本单元的教学目标，确定不同课时的不同重点。例如，为什么用方格，方格的大小应该统一，应放入面积单位的教学中，让学生在面积单位的学习中深入理解小方格的价值所在，认识面积单位的课题可以改为：小方格的魅力；同样，图形面积与边的长短之间有怎样的关系，则可以安排在长方形面积计算这节课来解决，让学生在多次摆一摆、想一想中理解长方形面积计算公式。本节课只需让学生形成这样的意识：面积与边的长短有关。当我们关注概念的内涵，我们就会确定哪些活动不可弃，哪些活动应增加，哪些活动应搁置。只有聚焦目标设计数学活动，才能保证学生对概念的意义形成准确而清晰的理解，后续的问题解决、认知结构的完善才会有坚实的基础。
再回头看之前的困惑，都已找到了答案：所有的活动设计都应为感悟概念的内涵服务，以概念的内涵为活动的内核展开设计，让学生在活动中有收获、有启发，让活动的过程为数学的理解服务。
关键词：面；面积；概念内涵；活动设计
从严格意义上说，“认识面积”的学习标志着学生对空间与图形的认识从一维世界正式跨入二维世界。作为最基本的二维度量概念，面积的认识一直是研究热点。在众多认识面积的观摩课中，笔者发现了一些共同现象，引发了一些思考。
之一，面和面积怎能混为一谈？面和面积是不同的概念，平面上三个以上点的连接可以形成面，或者平面上线的封闭也可以形成面；面积是指面的大小。教师在教学中常说，比一比面积的大小，若将语言铺展开来会发现语义的重复：比一比面的大小的大小。教师对面和面积概念的混淆，必然影响学生对概念的理解。
之二，重叠法和观察法一定要出现吗？当学生认识面积后，在比一比环节，一定会组织学生用观察法和重叠法比较面积，而且必然经历“能够比较大小——不能比较大小——探索其他方法”的“三部曲”。这样的流程看似合情合理，但是笔者注意到，能够用观察法和重叠法比较的图形，大小对比通常比较明显，既不能激发学生的思考，也没有孕伏后续学习所需要的经验。
之三，本节课中方格的价值怎样体现？教师对方格的处理方式有两种，一是直接出现，借助方格，将形的大小比较转化为数的多少比较，二是在选择测量工具时，提供多样的工具让学生进行测量，然后比较，得到用小方格最合适。从课堂效果看，直接出现方格，学生不明就里：为什么一定要用方格？对于第二种方式，如果只是告诉，意义不大，如果让学生充分活动，学生能够体验到方格在比较面积中的优势，但耗时太多，以至于学生没有足够的时间探究面积的内涵。
带着这些困惑，笔者重新审视教学目标以及数学活动的设计，越发觉得学生正确、顺利建立面积概念的关键在于活动的设计。那么，设计怎样的活动便于学生触摸概念的内涵呢？
为建立“面”的概念设计活动
面与面积是不同的概念，也是构成面积概念的元素。在学生认识面积之前首先要认识面。认识面要触及三个层次：首先，面是围成立体图形的平面图形；其次，面是线运动的空间；第三，面是有内外之分的。这三点依赖教师的讲述是无效的，需要让学生在活动中感悟面的内涵。
活动一：盖印章
1. 谈话：你知道什么是“面积”吗？看来，同学们对面积有着自己的理解，我们今天就一起来研究“面积”。
2. 引导：要知道什么是面积，我们首先来认识面。观察你的周围，你看到了哪些面？
指出：大家看到了很多的面，这些面其实都是物体的表面。
3. 盖印章。
谈话：这是一个长方体，长方体上有面吗？（拿出长方体和印油）我们来做一个盖印章的游戏。教师将一个长方体的一个面印在白纸上。
问：老师印出的图形就是长方体的一个面，还可以印出怎样的面？请学生将长方体的6个面印在白纸上。
思考：活动中充分利用学生盖章的丰富经验，将长方体的面请到了白纸上，这样出示面的过程，既可以巧妙地暗示面与厚度无关，也可以让学生感悟到面与立体图形之间的关系。
活动二：涂色
1. 涂出下面图形（如图1）的面。
2. 学生遇到问题：最后一个图形不可以涂出它的面。
3. 追问：为什么不可以涂出它的面？
学生指出因为有缺口不知道涂到哪里，能涂出面的，必须能圈起来。
小结：当图形有确定而完整的边线，我们才可以确定它的面有多大。
思考：涂色的活动是让学生意识到面是和边线有关系的，有了确定而完整的边线，才可以区分面的里外，确定面的区域。
活动三：铺小棒
1. 按要求摆小棒（如图2）。
请拿出一根小棒，在后面再接上一根，你发现什么？再摆上一根，你想说什么？接着摆呢？
2. 请拿出一根小棒，再拿出一根小棒与它并排摆放，再拿出一根，你发现什么？再接着铺下去，你想说什么？
思考：教学中教师一般借助课件展示点动成线、线动成面的过程，由于线与点的抽象，学生难以理解，只是在欣赏这个过程。我们可以将一根小棒看作一条线段，在小棒的后面接上小棒，学生会发现线的长度在增加，如果增加小棒与它并列放，学生会发现增加的不是长度，而是逐渐出现了一个面，在操作中理解面的形成过程，让学生对面的理解更深入。
为建立“面积”的概念设计活动
作为量的教学，面积的教学涉及3个层次：面的守恒；图形面积与边界线的长短有关；面积是各部分的和，是可加可减，可测量的。
活动一：破坏的图形
出示两个图形，哪个图形的面大？（两个长方形）
学生的意见不一致。通过重叠得出两个图形的面积一样大。
师：我现在搞个破坏，将图形撕成两部分（见图3），学生比较。
再比较这两个图形，它们还一样大吗？有学生认为不一样大，有学生认为还是，教师不说话，将另一部分复位。学生都认同是一样大了。
教师继续撕下一块重拼，学生认为，还是一样大。
教师在三个图形间加上等号。
小结：一个图形通过剪拼，得到另一个图形，它的面积是不变的。
思考：在学生比较两个图形的大小时，学生常会通过剪拼的方法来比较面的大小，而实际情况是，学生的意识里并未认同这一点（邱学华老师在英国和台湾地区小学测量概念发展的研究中，运用类似的习题，台湾地区正确率为80.6%，英国为66.9%）。用破坏的图形这个活动让学生感受到位置的改变并不影响图形的大小，感受面的守恒，为下面问题的解决孕伏经验。 活动二：设计图形
活动材料：修正贴、彩色卡纸
活动要求：在1分钟内，用修正贴拼出一个图形。比一比，谁拼的图形覆盖的面积大。
修正贴是学生常用的物品，其中的小方格正好可以成为测量面积的单位。
活动反馈：
1.比一比，谁拼的图形覆盖的面积大？为什么？
2.想一想，谁剩下的修正贴的面积大？为什么？
思考：让学生自由创造图形，会让学生对活动充满兴趣，在引导中凸显数学思考：谁用的小方格多，谁的图形覆盖的面积就大，感受到覆盖的面积与用小方格的个数是相关的。比较剩下的修正贴，学生要进行推理，相同数量的修正贴，用掉的部分越多，剩下的部分就越少，感受面积可加可减。
活动三：方格的小秘密
继续借助方格帮我们比面积。
出示几组图形，让学生比一比图形的面积。
第一组，布满方格的图形。
第二组，只有一些方格的图形。
第三组，贴在墙砖上的画。
小结：面积和边的长短是有关系的，但这样的关系不同于周长与边的长短的关系，下面的学习中我们将进一步来研究。
思考：在观摩的数十节认识面积的教学中，我发现学生对于面积的认识一直受到周长的影响，如当无法用重叠和观察法比较面积时，学生首先想到用尺子量，并且非常坚定； 1×4与2×2的图形相比，学生会认为是1×4的面积大；比较面积时，学生会认为周长越长，则面积越大。由于学生有学习长度的经验，比较量的大小确实需要尺子。我们要抓住学生思考中合理的成分，引导学生思考用怎样的“尺子”来比较面积。
课堂回放：
师：借助方格我们继续来比一比面积，说一说，谁的面积大，谁的面积小，为什么？
（出示第一组布满方格的图形，有学生立刻想举手表明观点，看同学在数方格又缩了回去。）
生：左边的面积大，因为左边有12个方格，但右边只有9个方格。
师：右边的图形有这么长呢。（教师做手势）
生：肯定是左边的大，因为方格的个数多。不是只比长度的。
师：现在都有5个方格，面积一样大吗，为什么？
（出示只铺一些方格的图形）
生：（在悄悄地数）是右边的大。我们看到的都是5个方格，但是左边一行是2个，有4行，一共有8个方格；右边一行有3个，有3行，一共有9个方格。肯定是右边的面积大。
师：分析得有道理，我们可以根据现有方格的个数推算方格的总数，再来比较面积。
（出示墙上的画）比一比这些画，谁的面积最小呢？（确定面积最小的画后隐去）剩下的图形哪个面积大呢？
学生独立思考后表达自己的观点。
生：我认为是一样大，因为我数了，它占了8个方格，下面也是8个方格，就是一样大。（学生语言表述不清上来指着图形说。未等他说完，其他学生急着反驳。）
生：我认为下面图形的面积大。因为看外面有4个方格，就是一行放4个，右面可以看出有4个方格，就是可以放4行，挡住了16个方格，上面的图形一行是5个方格，但只有3行，挡住了15个方格。所以下面的面积大。
生：我有补充。我们不能数外面方格的个数，要想里面铺了多少个方格。
生：数外边的方格那是算周长。
师：哦，就是数图形的边有几个方格长。那我们来算一下，这两个图形的周长——
生：都是16，一样大的。
师：原来比较周长从外边数就可以了，而比较面积不仅要考虑边的长短，还需要想里面的方格。
在上述比一比的活动中，学生从观察图形内部的方格逐步到观察图形边的长短，已有认知会受到冲击：图形的面积与边的长短是有关系的，但与周长相比，是不一样的关系。需要提醒的是，帮助学生顺利从已有的长度测量经验迁移到面积测量中，需要在面积的概念初步建立之后，才能关注面积与边长短的关系。
一节课的时间是有限的，在设计活动的过程中，我们应整体考虑本单元的教学目标，确定不同课时的不同重点。例如，为什么用方格，方格的大小应该统一，应放入面积单位的教学中，让学生在面积单位的学习中深入理解小方格的价值所在，认识面积单位的课题可以改为：小方格的魅力；同样，图形面积与边的长短之间有怎样的关系，则可以安排在长方形面积计算这节课来解决，让学生在多次摆一摆、想一想中理解长方形面积计算公式。本节课只需让学生形成这样的意识：面积与边的长短有关。当我们关注概念的内涵，我们就会确定哪些活动不可弃，哪些活动应增加，哪些活动应搁置。只有聚焦目标设计数学活动，才能保证学生对概念的意义形成准确而清晰的理解，后续的问题解决、认知结构的完善才会有坚实的基础。
再回头看之前的困惑，都已找到了答案：所有的活动设计都应为感悟概念的内涵服务，以概念的内涵为活动的内核展开设计，让学生在活动中有收获、有启发，让活动的过程为数学的理解服务。