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2021年黑龙江省东部地区中考命题工作由鹤岗市负责。本着“突出能力，注重基础，创新为魂”的命题原则，中考命题组按照《数学课程标准》的有关要求，突出了数学学科是基础学科特点，在坚持全面考查学生的数学知识、方法和数学思想的基础上，积极探索试题的创新形式，试卷层次分明、难易有度。本次试题难度适中，易中难比例系数为8：1.5：0.5符合学生的认知水平。这既有考查基础知识、基本技能的基础题，又有考查数学思想、数学方法的领悟及数学思维水平的区分题。试题立意鲜明，取材新颖，设计巧妙，贴近学生生活实际，体现了时代气息与人文精神的要求。同时整套试卷鼓励学生创新，加大创新意识的考查力度，突出试题的探索性和开放性，充分体现课改精神。
一、试题总体设计
2021年初中毕业学业考试数学试卷沿用以往的试卷格式，但内容更贴近生活实际，体现应用价值。本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。试卷注重基础知识的考查，设置选择题、填空题、解答题三种题型，共28道试题。试题取材广泛，但有一定的区分度。
试题体现了对学生计算能力、综合分析能力、解决实际问题能力等方面的综合测试。试题从学科知识、思想方法和学习能力出发，坚持“用数学分析问题”的理念，朝着注重素质和能力考查的方向前进，多层次地考查了学生的数学核心素养和逻辑思维。整套试卷体现了数学核心素养的要求，体现了数学的灵活性、实用性、创新性。
二、试卷结构情况
2021年中考数学试卷共三大板块，分别为选择题、填空题、解答题，计28小题。其中第一大题为选择题，共10道题，第二大题为填空题，共10道题，解答题共8道题，见表1。
其中容易题约96分，中等题约18分，难题约6分，三档题目分值比值约为8：1.5：0.5。
三、试题的内容分布
试卷考点分布面较广，全面考查了初中数学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个板块的知识点，覆盖率达98﹪以上，见表2。试卷重点对数、式、方程、不等式、函数、统计、概率、三角形、三视图、四边形、图形变换、相似形、解直角三角形、圆等知识进行考查，延续加大二次函数的考查力度。具体知识点考查如表3所示。
试题编排从最基本的知识开始，由易到难，缓慢提高，不仅突出对四基的考查，还关注学生思维能力、运算能力和创新能力的考查。试题的起点非常低，有相当数量的题目可以在现行教材中找到原型，譬如选择题的第1到7题，解答题的27题等。对于绝大多数考生来说，这些试题是比较容易的，这体现了对学生基本知识的考查和人文关怀;同时试题的设置又具较明显的梯度，综合题入口宽而易，出口高而新，例如第28题。
四、结合2021年中考数学试卷的阅卷情况对部分试题进行分析
题1：（黑龙江省东部地区中考第8题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴， 垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y= （k≠0，x>0）的图象同时经过顶点C、D.若点C的横坐标为5，BE=2DE ，则k的值为（ ）
分析：本题考查考生对于菱形对角线相互垂直、邻边相等等相关性质掌握情况。反比例函数k值等于横纵坐标相乘，坐标轴解题常需过点向x轴、y轴做垂直，根据特殊角度得出点坐标。这需要考生有数形结合思维，同时思考多个知识点，体现数学中的中心对称美。部分学生不能把反比例函数与菱形相关知识有机结合，运用多个知识点分析问题、解决问题能力不足。
题2：（中考第10题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6.则下列结论：①GF=2;②OD=OG;③tan∠CDE= ;④∠ODF=∠OCF=90？紫;⑤点D到CF的距离为.其中正确的结论是（ ）
A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤
分析：多结论判断题延续2020年的改革，将原来的“正确的结论有几个”改为“选择哪几个结论是正确的”，难度有所下降。该题考查三角形、正方形、旋转、三角函数值等有关知识，也考查学生的数形转换的思想。这需要学生具备一定的“图感”，需要熟练掌握一些基本图形的结论，才能构建综合的数学模型，此题综合性强。解决此题的关键点：GF为△DCE的中位线，求出GF=2，OG=4，利用勾股定理求出OD，算出∠CDE的正切值，得出①②③并排除④，正确答案选项C。
这样一分析，发现今年的“哪几个结论正确”比往年的“正确结论有几个”还要容易得分。但建议日常教学中不要使用排除法，应对所有结论逐一分析、验证，才能使学生巩固基础知识，掌握基本图形及其相关结论。
题3：（中考第19题）在矩形ABCD中，AB=2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE=3cm，则矩形ABCD的面積为 cm2.
分析：本题为几何多解问题，需要学生自己画图解答。此题多解比较隐藏，需要讨论CD>2cm和CD<2cm两种情况，在画折痕时只需要做BD的垂直平分线即可，最后运用垂直平分线的性质和勾股定理解题。本题是填空题中难度最大的一道题，也是丢分最多的一道题。阅卷时发现很多学生得出答案，却因为填空题答案为多项式时，结果应加括号，部分学生未加括号而丢分。这说明很多学生已经开始重视多解题型的训练，但是因为细节问题而失分。 题4 ：（中考第20题）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120？紫，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1;再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2……按此规律，得到 △A2020D2020A2021，记△ADA1 的面积为 S1，△A1D1A2的面积为S2……△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021=
分析： 20题是一道综合性的填空题，典型的探索规律试题。它主要考查了：菱形、等边三角形变化规律问题，与以往的在坐标系中找点坐标、面积等变化规律问题相比，降低了难度和计算量，有较高的思维含量。如果学生能抓住每个等边三角形边长的变化规律，先算出第2021个阴影三角形的边长，再推算面积会减少很多计算量。但是批卷过程中能看出不少学生虽然能推算出规律，但是没有化成最简单的书写格式，或者书写格式不规范而导致丢分。此题在填空题中得分第二低，可能学生对于填空题的最后一题出于畏惧心理主动放弃，也是得分低的原因之一。
题5 ：（中考第23题）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
（1）求抛物线的解析式;
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标.
分析：本题考查二次函数解析式及相似三角形、等腰三角形的综合应用。该题本着加大二次函数的考查力度，做好初高中数学知识点衔接的统筹思想，突破性将相似三角形与二次函数相结合。第（1）问正常代点求解，紧扣课本考查学生基础知识掌握情况。第（2）问在对称轴左侧抛物线上找一动点P，在射线ED上找一点Q，使得P、E、Q为顶点的三角形和△BOC相似，如果学生能抓住△BOC的形状特征解题思路会更清晰。有第（1）问可知△BOC是等腰直角三角形，若要构造相似△PQE，只要分类讨论E、Q为直角顶点的情况即可。当E为直角顶点时，EP=EQ且E、P两点纵坐标相同，可知P点纵坐标为2，代入解析式即可求出P点坐标（ -1-，2）;当Q为直角顶点时，QE=QP且P、Q两点纵坐标相同，此时可设EQ长为a，则P点坐标为（-1-a，2+a），代入抛物线解析式即可得到P点坐标为（-1，3）。此题难易适中，灵活新颖，从答题上看：第一问多数学生能够计算出正确的结果。第二问得分率很低，根源在于学生没有读懂出题者的意图，盲目运用相似解题，分析能力明显不足，课堂上缺乏构建知识的链接，缺乏综合性解决问题的能力。
题6：（中考第25题）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间.一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回.如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中M的值是 ;轿车的速度是 km/h;
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）與行驶时间x（h）之间的函数关系式;
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程
中，轿车出发多长时间与货车相距12km？
分析：本题是一道一次函数实际应用问题，考查一次函数的图象、自变量取值范围、函数解析式的求解、用函数图象求两车之间的距离问题。本题设计贴近生活，时代感强，容易进入情境，难易度适中，是中档题。学生只要读懂图象信息，理解两车的运动过程是解题的关健。第（1）问要求M的值和轿车的速度，读懂题意即可求解。第（2）问货车距B地的距离y与行驶时间x的函数关系式，货车行驶距离对应的函数图象为线段MN、NG、GH，分别求出这三条线段函数解析式，联立即可求解。第（3）问从B到A的行驶过程中轿车出发多长时间与货车相距12km。学生可以通过分析B到A段的行程图可知两车在相遇之前和相遇之后各有一个时间点相距12km，设轿车出发x小时两车相距12km，可列方程120x-66（x+1）=240±12，可得出时间为1h或h。阅卷过程中发现学生出现的问题是忽视了函数自变量的取值范围。表面上看只是分段函数的自变量的取值范围问题，其本质是学生对于函数概念的内涵理解不到位，每一个函数是关联着自变量和函数的一对对应关系的，所以对于基本概念的深刻理解值得师生高度重视。
题7：（中考第27题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中。”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
分析：此题能结合社会热点，结合生产、生活实际，体现了数学来源于生活。综合考查了学生运用二元一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数去分析问题，解决问题的能力。第（1）问利用题中等量关系式列出二元一次方程组求解即可，在阅卷过程中很多学生得满分，但一部分学生因为没有设和答不认真或过于简单而丢分。第（2）问根据问题可列一元一次不等式组，求出解集作答。第（3）问在（2）的方案下即购进5台时，甲的进价调整为0.8万元，乙的进价调整为0.3万元，节省资金4.5万元，可设再购进甲农机具a台，乙农机具b台，则列二元一次方程0.8a+0.3b=4.5，求出方程的整数解有两组，分别为购买甲农机具0件，乙农机具15件;购买甲农机具3件，乙农机具7件。 题8：（中考第28题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA=AB，且线段OA的长是方程x2-4x-5=0的根，过点B做BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE=，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止。过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边做正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t﹥0）秒。
（1）求点B的坐标;
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围;
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由。
分析：本题是本试卷的压轴题，考查了正方形的性质、一元二次方程的解法、三角函数正切值、三角形的面积公式、勾股定理的灵活应用及平行四边形的性质等。利用分类讨论的思想是解决问题的关健，试题避开往年的求直线的解析式，而是求面积的函数解析式，问题设计新颖，注重学生的建模思想。本题立足于考查初中数学的核心基础知识、基本技能，以及隐含于其中的基本数学思想方法。本题是课本习题的变式题，或是源于课本并适度延拓的引申题，综合性比较强。解决第（2）问首先要明确这是一个动态图形，随着点M的运动，重叠部分的形状改变，当点F运动到线段OB上时为图形变换的分界点，分界点对应运动时间t=。其次，要求重合面积S与运动时间t的函数关系式关键是如何表示出面积S，由于重叠部分不是特殊图形，不能直接表示，只能通过观察图形，转化成正方形与三角形面积的差，即当0<t≤时，S=S正MFCD-S△MDA;当<t≤5时， S=S正MFCD-S△FGH-S△MDA，利用相关线段长度表示面积即可。这里涉及的利用相似计算边长需要学生具有较深厚的运算功底。第（3）问，构造以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意可得F点落到线段OB上时，点M坐标为（），A点坐标（5，0），当OA∥PM时，MP=OA=5，得出P点坐标为（;当AM∥OP时，很多学生都习惯利用解析式来求点坐标，这里介绍一种用平移的性质来求P点坐标的方法，会更加节省时间。因为要构造平行四边形，可以想象成将线段OM沿MA方向平移得出线段PA，M点经过平移到A點的过程中，纵坐标减，横坐标减少，按照这个平移规律可以很快得出点O到点P也经过这样的平移变化，进而得到另一个P点坐标（）。这里既要求学生有较强的分析问题能力，又考验了学生较复杂的数的运算能力。思维能力和运算能力在数学学习中占据举足轻重的位置。
五、对今后教学的启示和建议
（一）立足教材，夯实“双基”
试卷中大多数题相当于教材中的随堂练习题。在教学中，教师要立足教材，重视教材，研究教材，挖掘教材，创造性地使用教材。特别要注意教材中典型例题和习题的研究与延伸，讲清、讲深、讲透初中数学中的基础知识，锤炼学生扎实熟练的基本功。同时，教师在教学中也要注意，有些试题难度有所下降，但对能力的要求没有下降。一是注意表达要有逻辑性，推理要严谨、严密，不要漏掉重要的得分点，否则即使答案正确，也会被阅卷老师视为理由不够充分而扣分。二是书写、作图要整洁规范。
（二）重视过程，培养能力
1.重视数学阅读。不管任何一门学科，学习过程中都离不开阅读，如果没有具备良好的阅读习惯，在数学习题解答中不能够做到准确掌握概念、内涵，那么这道数学题就没有办法实现系统的解答。数学教师在培养学生数学学习能力的时候，要重视数学阅读。
2.要重视学生运算能力培养，提高学生运算速度和运算准确性。
3.数学分析的重要性不言而喻，数学分析是数学运算的基础工作。
4.要注重解题过程，注重答题规范性和严谨性。
5.要注重实践能力培养。在实际学习过程中，有部分教师为了节省时间，忽略了对学生动手能力的培养，导致学生对数学内容理解不深刻。
总而言之，近年来中考试卷越来越彰显数学思维、实践、操作的重要性。新课标将学生自主学习、自主探究放在了非常重要的位置，只有在教学过程中认真落实课程标准，突出数学的思维本质，打牢学生的运算、推理等基础能力，才能不断提高学生数学素养，为高中及大学输送更多更优秀的人才。
■ 编辑/魏继军
一、试题总体设计
2021年初中毕业学业考试数学试卷沿用以往的试卷格式，但内容更贴近生活实际，体现应用价值。本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。试卷注重基础知识的考查，设置选择题、填空题、解答题三种题型，共28道试题。试题取材广泛，但有一定的区分度。
试题体现了对学生计算能力、综合分析能力、解决实际问题能力等方面的综合测试。试题从学科知识、思想方法和学习能力出发，坚持“用数学分析问题”的理念，朝着注重素质和能力考查的方向前进，多层次地考查了学生的数学核心素养和逻辑思维。整套试卷体现了数学核心素养的要求，体现了数学的灵活性、实用性、创新性。
二、试卷结构情况
2021年中考数学试卷共三大板块，分别为选择题、填空题、解答题，计28小题。其中第一大题为选择题，共10道题，第二大题为填空题，共10道题，解答题共8道题，见表1。
其中容易题约96分，中等题约18分，难题约6分，三档题目分值比值约为8：1.5：0.5。
三、试题的内容分布
试卷考点分布面较广，全面考查了初中数学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个板块的知识点，覆盖率达98﹪以上，见表2。试卷重点对数、式、方程、不等式、函数、统计、概率、三角形、三视图、四边形、图形变换、相似形、解直角三角形、圆等知识进行考查，延续加大二次函数的考查力度。具体知识点考查如表3所示。
试题编排从最基本的知识开始，由易到难，缓慢提高，不仅突出对四基的考查，还关注学生思维能力、运算能力和创新能力的考查。试题的起点非常低，有相当数量的题目可以在现行教材中找到原型，譬如选择题的第1到7题，解答题的27题等。对于绝大多数考生来说，这些试题是比较容易的，这体现了对学生基本知识的考查和人文关怀;同时试题的设置又具较明显的梯度，综合题入口宽而易，出口高而新，例如第28题。
四、结合2021年中考数学试卷的阅卷情况对部分试题进行分析
题1：（黑龙江省东部地区中考第8题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴， 垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y= （k≠0，x>0）的图象同时经过顶点C、D.若点C的横坐标为5，BE=2DE ，则k的值为（ ）
分析：本题考查考生对于菱形对角线相互垂直、邻边相等等相关性质掌握情况。反比例函数k值等于横纵坐标相乘，坐标轴解题常需过点向x轴、y轴做垂直，根据特殊角度得出点坐标。这需要考生有数形结合思维，同时思考多个知识点，体现数学中的中心对称美。部分学生不能把反比例函数与菱形相关知识有机结合，运用多个知识点分析问题、解决问题能力不足。
题2：（中考第10题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE=4，OF=6.则下列结论：①GF=2;②OD=OG;③tan∠CDE= ;④∠ODF=∠OCF=90？紫;⑤点D到CF的距离为.其中正确的结论是（ ）
A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤
分析：多结论判断题延续2020年的改革，将原来的“正确的结论有几个”改为“选择哪几个结论是正确的”，难度有所下降。该题考查三角形、正方形、旋转、三角函数值等有关知识，也考查学生的数形转换的思想。这需要学生具备一定的“图感”，需要熟练掌握一些基本图形的结论，才能构建综合的数学模型，此题综合性强。解决此题的关键点：GF为△DCE的中位线，求出GF=2，OG=4，利用勾股定理求出OD，算出∠CDE的正切值，得出①②③并排除④，正确答案选项C。
这样一分析，发现今年的“哪几个结论正确”比往年的“正确结论有几个”还要容易得分。但建议日常教学中不要使用排除法，应对所有结论逐一分析、验证，才能使学生巩固基础知识，掌握基本图形及其相关结论。
题3：（中考第19题）在矩形ABCD中，AB=2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE=3cm，则矩形ABCD的面積为 cm2.
分析：本题为几何多解问题，需要学生自己画图解答。此题多解比较隐藏，需要讨论CD>2cm和CD<2cm两种情况，在画折痕时只需要做BD的垂直平分线即可，最后运用垂直平分线的性质和勾股定理解题。本题是填空题中难度最大的一道题，也是丢分最多的一道题。阅卷时发现很多学生得出答案，却因为填空题答案为多项式时，结果应加括号，部分学生未加括号而丢分。这说明很多学生已经开始重视多解题型的训练，但是因为细节问题而失分。 题4 ：（中考第20题）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120？紫，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1;再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2……按此规律，得到 △A2020D2020A2021，记△ADA1 的面积为 S1，△A1D1A2的面积为S2……△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021=
分析： 20题是一道综合性的填空题，典型的探索规律试题。它主要考查了：菱形、等边三角形变化规律问题，与以往的在坐标系中找点坐标、面积等变化规律问题相比，降低了难度和计算量，有较高的思维含量。如果学生能抓住每个等边三角形边长的变化规律，先算出第2021个阴影三角形的边长，再推算面积会减少很多计算量。但是批卷过程中能看出不少学生虽然能推算出规律，但是没有化成最简单的书写格式，或者书写格式不规范而导致丢分。此题在填空题中得分第二低，可能学生对于填空题的最后一题出于畏惧心理主动放弃，也是得分低的原因之一。
题5 ：（中考第23题）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
（1）求抛物线的解析式;
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q 在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标.
分析：本题考查二次函数解析式及相似三角形、等腰三角形的综合应用。该题本着加大二次函数的考查力度，做好初高中数学知识点衔接的统筹思想，突破性将相似三角形与二次函数相结合。第（1）问正常代点求解，紧扣课本考查学生基础知识掌握情况。第（2）问在对称轴左侧抛物线上找一动点P，在射线ED上找一点Q，使得P、E、Q为顶点的三角形和△BOC相似，如果学生能抓住△BOC的形状特征解题思路会更清晰。有第（1）问可知△BOC是等腰直角三角形，若要构造相似△PQE，只要分类讨论E、Q为直角顶点的情况即可。当E为直角顶点时，EP=EQ且E、P两点纵坐标相同，可知P点纵坐标为2，代入解析式即可求出P点坐标（ -1-，2）;当Q为直角顶点时，QE=QP且P、Q两点纵坐标相同，此时可设EQ长为a，则P点坐标为（-1-a，2+a），代入抛物线解析式即可得到P点坐标为（-1，3）。此题难易适中，灵活新颖，从答题上看：第一问多数学生能够计算出正确的结果。第二问得分率很低，根源在于学生没有读懂出题者的意图，盲目运用相似解题，分析能力明显不足，课堂上缺乏构建知识的链接，缺乏综合性解决问题的能力。
题6：（中考第25题）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间.一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回.如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中M的值是 ;轿车的速度是 km/h;
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）與行驶时间x（h）之间的函数关系式;
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程
中，轿车出发多长时间与货车相距12km？
分析：本题是一道一次函数实际应用问题，考查一次函数的图象、自变量取值范围、函数解析式的求解、用函数图象求两车之间的距离问题。本题设计贴近生活，时代感强，容易进入情境，难易度适中，是中档题。学生只要读懂图象信息，理解两车的运动过程是解题的关健。第（1）问要求M的值和轿车的速度，读懂题意即可求解。第（2）问货车距B地的距离y与行驶时间x的函数关系式，货车行驶距离对应的函数图象为线段MN、NG、GH，分别求出这三条线段函数解析式，联立即可求解。第（3）问从B到A的行驶过程中轿车出发多长时间与货车相距12km。学生可以通过分析B到A段的行程图可知两车在相遇之前和相遇之后各有一个时间点相距12km，设轿车出发x小时两车相距12km，可列方程120x-66（x+1）=240±12，可得出时间为1h或h。阅卷过程中发现学生出现的问题是忽视了函数自变量的取值范围。表面上看只是分段函数的自变量的取值范围问题，其本质是学生对于函数概念的内涵理解不到位，每一个函数是关联着自变量和函数的一对对应关系的，所以对于基本概念的深刻理解值得师生高度重视。
题7：（中考第27题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中。”为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
分析：此题能结合社会热点，结合生产、生活实际，体现了数学来源于生活。综合考查了学生运用二元一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数去分析问题，解决问题的能力。第（1）问利用题中等量关系式列出二元一次方程组求解即可，在阅卷过程中很多学生得满分，但一部分学生因为没有设和答不认真或过于简单而丢分。第（2）问根据问题可列一元一次不等式组，求出解集作答。第（3）问在（2）的方案下即购进5台时，甲的进价调整为0.8万元，乙的进价调整为0.3万元，节省资金4.5万元，可设再购进甲农机具a台，乙农机具b台，则列二元一次方程0.8a+0.3b=4.5，求出方程的整数解有两组，分别为购买甲农机具0件，乙农机具15件;购买甲农机具3件，乙农机具7件。 题8：（中考第28题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA=AB，且线段OA的长是方程x2-4x-5=0的根，过点B做BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE=，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止。过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边做正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t﹥0）秒。
（1）求点B的坐标;
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围;
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由。
分析：本题是本试卷的压轴题，考查了正方形的性质、一元二次方程的解法、三角函数正切值、三角形的面积公式、勾股定理的灵活应用及平行四边形的性质等。利用分类讨论的思想是解决问题的关健，试题避开往年的求直线的解析式，而是求面积的函数解析式，问题设计新颖，注重学生的建模思想。本题立足于考查初中数学的核心基础知识、基本技能，以及隐含于其中的基本数学思想方法。本题是课本习题的变式题，或是源于课本并适度延拓的引申题，综合性比较强。解决第（2）问首先要明确这是一个动态图形，随着点M的运动，重叠部分的形状改变，当点F运动到线段OB上时为图形变换的分界点，分界点对应运动时间t=。其次，要求重合面积S与运动时间t的函数关系式关键是如何表示出面积S，由于重叠部分不是特殊图形，不能直接表示，只能通过观察图形，转化成正方形与三角形面积的差，即当0<t≤时，S=S正MFCD-S△MDA;当<t≤5时， S=S正MFCD-S△FGH-S△MDA，利用相关线段长度表示面积即可。这里涉及的利用相似计算边长需要学生具有较深厚的运算功底。第（3）问，构造以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意可得F点落到线段OB上时，点M坐标为（），A点坐标（5，0），当OA∥PM时，MP=OA=5，得出P点坐标为（;当AM∥OP时，很多学生都习惯利用解析式来求点坐标，这里介绍一种用平移的性质来求P点坐标的方法，会更加节省时间。因为要构造平行四边形，可以想象成将线段OM沿MA方向平移得出线段PA，M点经过平移到A點的过程中，纵坐标减，横坐标减少，按照这个平移规律可以很快得出点O到点P也经过这样的平移变化，进而得到另一个P点坐标（）。这里既要求学生有较强的分析问题能力，又考验了学生较复杂的数的运算能力。思维能力和运算能力在数学学习中占据举足轻重的位置。
五、对今后教学的启示和建议
（一）立足教材，夯实“双基”
试卷中大多数题相当于教材中的随堂练习题。在教学中，教师要立足教材，重视教材，研究教材，挖掘教材，创造性地使用教材。特别要注意教材中典型例题和习题的研究与延伸，讲清、讲深、讲透初中数学中的基础知识，锤炼学生扎实熟练的基本功。同时，教师在教学中也要注意，有些试题难度有所下降，但对能力的要求没有下降。一是注意表达要有逻辑性，推理要严谨、严密，不要漏掉重要的得分点，否则即使答案正确，也会被阅卷老师视为理由不够充分而扣分。二是书写、作图要整洁规范。
（二）重视过程，培养能力
1.重视数学阅读。不管任何一门学科，学习过程中都离不开阅读，如果没有具备良好的阅读习惯，在数学习题解答中不能够做到准确掌握概念、内涵，那么这道数学题就没有办法实现系统的解答。数学教师在培养学生数学学习能力的时候，要重视数学阅读。
2.要重视学生运算能力培养，提高学生运算速度和运算准确性。
3.数学分析的重要性不言而喻，数学分析是数学运算的基础工作。
4.要注重解题过程，注重答题规范性和严谨性。
5.要注重实践能力培养。在实际学习过程中，有部分教师为了节省时间，忽略了对学生动手能力的培养，导致学生对数学内容理解不深刻。
总而言之，近年来中考试卷越来越彰显数学思维、实践、操作的重要性。新课标将学生自主学习、自主探究放在了非常重要的位置，只有在教学过程中认真落实课程标准，突出数学的思维本质，打牢学生的运算、推理等基础能力，才能不断提高学生数学素养，为高中及大学输送更多更优秀的人才。
■ 编辑/魏继军