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摘要：在数学概念教学中，教师采取适当的教学策略，重视数学概念的引入方法，注重概念的形成过程，加强概念的迁移应用，可以促进学生深度学习，有效地提高学生的综合素养和思维品质。
关键词：数学概念教学;深度学习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）23-035
数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。如果学生没有学好数学概念，那么对数学公式、定理和方法就不可能理解，就不能顺利开展数学学习，最终也不能促进学生数学思维的发展，达到深度学习。那么，如何在数学概念教学中开展深度学习，培养学生的核心素养呢？
一、巧引入，趣化概念教学的序章
概念引入是概念教学的第一步，也是概念形成的基础。概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程。在引入中创设各种情境，给予学生学习体验。沉浸体验式学习是深度学习的重要学习方式。下面介绍几种引入数学概念的方法：
1.创设问题情境引入新概念
我们可以创设具有趣味性，探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生在对问题的分析中，归纳和抽象出概念的本质特征。
例如：在讲解等可能性概念时。由于概念比较长，为帮助学生理解，我们可以引入这样的问题情境。江苏省乒乓球比赛在市体育馆举行，我校每班发到一张入场券，现在我班有两名同学小卢和小钱为此名额争得面红耳赤，你能为他们支招吗？从现实出发，因为当时上这节课的时候市体育馆正在举行江苏省乒乓球比赛，所以问题一出来，就吸引学生，学生积极投入出主意，有的说抛硬币，抛图钉，抽签，掷骰子，通过不同的主意帮助学生归纳出事件发生等可能的概念。
2.创设虚拟情境引入新概念
运用人工智能、三维动画、模拟仿真等技术，构建一個集声音、画面、场景、人物（角色）等要素于一体的体验式虚拟学习空间。
例如讲解勾股定理时，可以利用多媒体为学生展示勾股树，引导学生在观看动画过程中发现数学的美，增强了学习数学的欲望。
3.从实际生活中引入新概念
引入数学概念要根据概念类型，以具体的典型材料和实例为基础，创设情境，帮助学生完成由感知材料到理性认识的过渡。
例如：在讲解三角形概念时，我们可以列举生活中含有三角形的实物，大到宏伟的建筑物，高楼大厦，飞机机翼，小到分子结构，使学生经历从现实世界中抽象出几何模型的过程。
4.用类比的方法引入新概念
类比不仅是思维的一种重要形式，也是引入新概念的一种重要方法。对于相关的概念要进行类比、分析，弄清内在联系，归纳出概念的本质特征。
例如：由电影票上都标有“第x排第y座”的字样，得出“用一对有序实数确定点的位置”，由“温度计”引导学生认识“数轴”，用“分数”类比“分式”等概念的教学，都可以通过类比引入。
5.介绍数学史引入新概念
知识只有通过情感体验融入学习者的心理结构，内化为学习者的心理结构，再内化为学习者的情感、态度和价值观，才能实现其最大价值概念的形成。
例如在“平面直角坐标系”教学中，教师可与学生分享著名数学家笛卡尔的故事：笛卡尔在梦中观察一只蜘蛛结网，然后由其结网的距离、运动轨迹等规律发明了平面直角坐标系。学生在此过程中会因故事的有趣而产生对平面直角坐标系这个知识点的浓烈兴趣，继而会迫切地想知道由蜘蛛结网启发而生成的数学知识是何种形式。这样教师便有效地激发了学生对数学概念的学习兴趣。
以上介绍了5种引入概念的方法，当然还有其他的方法，比如利用学具，操作体验等方法，不管是何种方法，我们都要创设情境让学生体验。体验是深度学习的本质使然。深度学习需要情境体验。在概念教学中要创设各种情境，引导学生求知的欲望。
二、重过程，强化概念的形成过程
1.把概念的生成过程问题化
问题是数学活动的心脏。问题探究式学习是深度学习的重要学习方式。将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中。在问题探究中“学数学、做数学、用数学”，使概念学习变为学生的内在需求。
例如：在引出圆的集合的定义时，可以设计问题1.生活中离不开圆，你能解释为什么车轮做成圆形的呢？后续再设计追问，归纳得出圆上各点到定点的距离都等于定长这个结论;再设计问题2.同学们在玩投圈游戏时，如何站游戏才公平？帮助学生体会：到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上这个结论。通过这两个问题的探究和分析，将学生的生活经验转化为数学认知，学生在充分理解的基础上形成圆的集合定义就非常自然了。
2.把握概念的内涵和外延
概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念反映的事物是什么样的。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象，它说明概念所反映的是哪些事物。它反映的是概念的量的方面。
例如：“平行四边形”的内涵是“两组对边分别平行”，它揭示了“平行四边形”与“四边形”的隶属关系，以及它们之间的区别性。其中的关键词“两组对边分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质;“平行四边形”的外延是指矩形、菱形、正方形的全体，我们还可以通过表格的形式帮助学生理解概念的内涵和外延，帮助形成一个完整的概念认知地过，既符合学生的认知需要，又体现了概念形成的特点。
3.抓住概念间的联系和区别
数学概念不是孤立的，而是存在着横向与纵向的关系。在教学时我们可以把有关的概念串联起来，充分揭示它们之间的内在规律，启发学生进行系统归纳，明确概念的联系和区别。
（1）类比联想并列相关的概念。例如：二次根式的加减就是合并同类二次根式，它可以与初一的整式加减中的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。 （2）对比区别容易混淆的概念。例如：學完“幂的运算”可以把初一下学期的幂的乘除乘方运算和上学期的加减运算放在一起找出他们的区别和联系。通过对比加深对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认知概念的清晰度。
（3）图表体现从属关系的概念。以图表的形式表现出来，便于学生将概念系统化、条理化，有利于记忆和理解。例如：平行四边形，菱形，矩形，正方形用这张图表示他们的从属关系一目了然，进一步加深了对他们之间的联系和区别的理解。
三、重延展，活化概念的迁移应用
迁移应用是深度学习的重要特征，把新学的知识与已知的概念、原理联系起来，促进新知识的学习与新技能的形成。布鲁姆的教学目标认知维度中把应用、分析、评价、创造归为迁移，属于深度学习范畴，深度学习课堂重视知识的迁移。
1.迁移应用，促进问题的有效解决
从深度学习的内涵来看，非常重视学习的迁移应用，要引导学生深入理解概念，通过变式将所学知识运用在新情境中解决问题，达到迁移的目的。
例如：在学习反比例函数k的几何意义时可设计
问题1.如图，点A在双曲线y=6/x上运动，过点A向两坐标轴作垂线段得矩形ABOC，试判断矩形ABOC面积的变化情况，并说明理由。
变式1.若点A在第三象限的双曲线图像上运动，上述结论成立吗？
变式2.若修改反比例函数的表达式，上述结论还能成立吗？
变式3.在问题1中，若连接AO，则△AOB的面积是______________ ，△AOC的面积是 _____________。
变式4.对于y=k/x（k≠0），则△AOB的面积是_____________ ，△AOC的面积是 _____________。
通过精心设计典型性的问题和变式，让学生通过多层次、多角度的练习，来达到正确理解概念、巩固概念的目的。深度学习需要学生置身于具体的情境之中提出问题，并通过对比、分析、比较、概括和归纳，以及调研、实验、问题求解以及创造等学习活动，对于问题作出自己的判断，从而寻找出解决问题的有效方法。
2.迁移应用，建立新旧知识间的联系
从深度学习的内涵来看，非常重视学习的迁移应用，要引导学生深入理解概念，通过“数学活动”将所学知识运用在新情境中解决问题，达到迁移的目的。以学生的认知为基础，充分挖掘概念的内涵，以学生的认知为基础，不断丰富概念内涵，在理解概念的基础上学会迁移与运用。
例如学生结束了一次函数整章的学习后，对函数的认识往往停留在运用规律性结论解决具体问题的层面上，缺乏方法的提炼与能力的提升，可以通过活动帮助学生掌握研究函数问题的一般方法。可设计
活动1.回忆函数y=2x图像及其性质的探究过程，向学生提问函数的性质在表格和解析式中是否有体现？
活动2.教师分别以图像、解析式、表格三种不同形式展示三个函数，请学生分别从函数的三种不同表示方法分析函数的性质。
活动3.探究函数y=x 1/x的性质。
活动4.探究函数y=2x3-x的性质。
学生应用函数性质初步探究的一般方法进行合作探究，迁移巩固所学方法，提升合作交流能力，获得成功的体验，达到深度学习。
3.迁移应用，促进学习过程的建构反思
进行反思性的建构是深度学习的重要特征。数学知识之间是存在内在联系的，提高学生在数学学习中的知识联结能力是实现深度学习的体现。在教学中，我们可以引导学生反思所学，在数学原理、定义以及法则之间组织起有效的认识结构，从而形成知识网络，在此过程中实现深度学习。
我们还可以引导学生通过思维导图的方式梳理各概念之间的联系和区别，在此反思建构过程中学生对于数学知识的理解得到再认识和再升华，从而形成不同的类别、形态以及性质的知识结构。实现学生对于数学概念认知的扩展和延伸。
走向深度学习是课改的必然要求，也是课改深度的重要标志。在数学概念教学中，我们应采取适当的教学策略，促进学生数学学科知识的认知深度和思维深度，培养学生解决问题的能力、批判性思维能力、自主学习能力、创造性思维能力以及信息素养和协作能力，从而有效地提高学生的综合素养和思维品质。
（作者单位：太仓市第二中学，江苏 太仓215400）
关键词：数学概念教学;深度学习
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）23-035
数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。如果学生没有学好数学概念，那么对数学公式、定理和方法就不可能理解，就不能顺利开展数学学习，最终也不能促进学生数学思维的发展，达到深度学习。那么，如何在数学概念教学中开展深度学习，培养学生的核心素养呢？
一、巧引入，趣化概念教学的序章
概念引入是概念教学的第一步，也是概念形成的基础。概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程。在引入中创设各种情境，给予学生学习体验。沉浸体验式学习是深度学习的重要学习方式。下面介绍几种引入数学概念的方法：
1.创设问题情境引入新概念
我们可以创设具有趣味性，探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生在对问题的分析中，归纳和抽象出概念的本质特征。
例如：在讲解等可能性概念时。由于概念比较长，为帮助学生理解，我们可以引入这样的问题情境。江苏省乒乓球比赛在市体育馆举行，我校每班发到一张入场券，现在我班有两名同学小卢和小钱为此名额争得面红耳赤，你能为他们支招吗？从现实出发，因为当时上这节课的时候市体育馆正在举行江苏省乒乓球比赛，所以问题一出来，就吸引学生，学生积极投入出主意，有的说抛硬币，抛图钉，抽签，掷骰子，通过不同的主意帮助学生归纳出事件发生等可能的概念。
2.创设虚拟情境引入新概念
运用人工智能、三维动画、模拟仿真等技术，构建一個集声音、画面、场景、人物（角色）等要素于一体的体验式虚拟学习空间。
例如讲解勾股定理时，可以利用多媒体为学生展示勾股树，引导学生在观看动画过程中发现数学的美，增强了学习数学的欲望。
3.从实际生活中引入新概念
引入数学概念要根据概念类型，以具体的典型材料和实例为基础，创设情境，帮助学生完成由感知材料到理性认识的过渡。
例如：在讲解三角形概念时，我们可以列举生活中含有三角形的实物，大到宏伟的建筑物，高楼大厦，飞机机翼，小到分子结构，使学生经历从现实世界中抽象出几何模型的过程。
4.用类比的方法引入新概念
类比不仅是思维的一种重要形式，也是引入新概念的一种重要方法。对于相关的概念要进行类比、分析，弄清内在联系，归纳出概念的本质特征。
例如：由电影票上都标有“第x排第y座”的字样，得出“用一对有序实数确定点的位置”，由“温度计”引导学生认识“数轴”，用“分数”类比“分式”等概念的教学，都可以通过类比引入。
5.介绍数学史引入新概念
知识只有通过情感体验融入学习者的心理结构，内化为学习者的心理结构，再内化为学习者的情感、态度和价值观，才能实现其最大价值概念的形成。
例如在“平面直角坐标系”教学中，教师可与学生分享著名数学家笛卡尔的故事：笛卡尔在梦中观察一只蜘蛛结网，然后由其结网的距离、运动轨迹等规律发明了平面直角坐标系。学生在此过程中会因故事的有趣而产生对平面直角坐标系这个知识点的浓烈兴趣，继而会迫切地想知道由蜘蛛结网启发而生成的数学知识是何种形式。这样教师便有效地激发了学生对数学概念的学习兴趣。
以上介绍了5种引入概念的方法，当然还有其他的方法，比如利用学具，操作体验等方法，不管是何种方法，我们都要创设情境让学生体验。体验是深度学习的本质使然。深度学习需要情境体验。在概念教学中要创设各种情境，引导学生求知的欲望。
二、重过程，强化概念的形成过程
1.把概念的生成过程问题化
问题是数学活动的心脏。问题探究式学习是深度学习的重要学习方式。将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的材料转化为富有生活意义的问题，形成问题情境，从而把学生带入问题中。在问题探究中“学数学、做数学、用数学”，使概念学习变为学生的内在需求。
例如：在引出圆的集合的定义时，可以设计问题1.生活中离不开圆，你能解释为什么车轮做成圆形的呢？后续再设计追问，归纳得出圆上各点到定点的距离都等于定长这个结论;再设计问题2.同学们在玩投圈游戏时，如何站游戏才公平？帮助学生体会：到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上这个结论。通过这两个问题的探究和分析，将学生的生活经验转化为数学认知，学生在充分理解的基础上形成圆的集合定义就非常自然了。
2.把握概念的内涵和外延
概念的内涵就是反映在概念中的对象的本质属性，它说明概念反映的事物是什么样的。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象，它说明概念所反映的是哪些事物。它反映的是概念的量的方面。
例如：“平行四边形”的内涵是“两组对边分别平行”，它揭示了“平行四边形”与“四边形”的隶属关系，以及它们之间的区别性。其中的关键词“两组对边分别平行”，既可以作为平行四边形的判定方法，又可以是平行四边形的一个性质;“平行四边形”的外延是指矩形、菱形、正方形的全体，我们还可以通过表格的形式帮助学生理解概念的内涵和外延，帮助形成一个完整的概念认知地过，既符合学生的认知需要，又体现了概念形成的特点。
3.抓住概念间的联系和区别
数学概念不是孤立的，而是存在着横向与纵向的关系。在教学时我们可以把有关的概念串联起来，充分揭示它们之间的内在规律，启发学生进行系统归纳，明确概念的联系和区别。
（1）类比联想并列相关的概念。例如：二次根式的加减就是合并同类二次根式，它可以与初一的整式加减中的合并同类项类比，使合并同类根式与合并同类项的新旧意义迅速得到同化。在类比中找特点，在联想中求共性，把数学知识系统化。 （2）对比区别容易混淆的概念。例如：學完“幂的运算”可以把初一下学期的幂的乘除乘方运算和上学期的加减运算放在一起找出他们的区别和联系。通过对比加深对概念的理解，避免混淆，从而提高学生认知概念的清晰度。
（3）图表体现从属关系的概念。以图表的形式表现出来，便于学生将概念系统化、条理化，有利于记忆和理解。例如：平行四边形，菱形，矩形，正方形用这张图表示他们的从属关系一目了然，进一步加深了对他们之间的联系和区别的理解。
三、重延展，活化概念的迁移应用
迁移应用是深度学习的重要特征，把新学的知识与已知的概念、原理联系起来，促进新知识的学习与新技能的形成。布鲁姆的教学目标认知维度中把应用、分析、评价、创造归为迁移，属于深度学习范畴，深度学习课堂重视知识的迁移。
1.迁移应用，促进问题的有效解决
从深度学习的内涵来看，非常重视学习的迁移应用，要引导学生深入理解概念，通过变式将所学知识运用在新情境中解决问题，达到迁移的目的。
例如：在学习反比例函数k的几何意义时可设计
问题1.如图，点A在双曲线y=6/x上运动，过点A向两坐标轴作垂线段得矩形ABOC，试判断矩形ABOC面积的变化情况，并说明理由。
变式1.若点A在第三象限的双曲线图像上运动，上述结论成立吗？
变式2.若修改反比例函数的表达式，上述结论还能成立吗？
变式3.在问题1中，若连接AO，则△AOB的面积是______________ ，△AOC的面积是 _____________。
变式4.对于y=k/x（k≠0），则△AOB的面积是_____________ ，△AOC的面积是 _____________。
通过精心设计典型性的问题和变式，让学生通过多层次、多角度的练习，来达到正确理解概念、巩固概念的目的。深度学习需要学生置身于具体的情境之中提出问题，并通过对比、分析、比较、概括和归纳，以及调研、实验、问题求解以及创造等学习活动，对于问题作出自己的判断，从而寻找出解决问题的有效方法。
2.迁移应用，建立新旧知识间的联系
从深度学习的内涵来看，非常重视学习的迁移应用，要引导学生深入理解概念，通过“数学活动”将所学知识运用在新情境中解决问题，达到迁移的目的。以学生的认知为基础，充分挖掘概念的内涵，以学生的认知为基础，不断丰富概念内涵，在理解概念的基础上学会迁移与运用。
例如学生结束了一次函数整章的学习后，对函数的认识往往停留在运用规律性结论解决具体问题的层面上，缺乏方法的提炼与能力的提升，可以通过活动帮助学生掌握研究函数问题的一般方法。可设计
活动1.回忆函数y=2x图像及其性质的探究过程，向学生提问函数的性质在表格和解析式中是否有体现？
活动2.教师分别以图像、解析式、表格三种不同形式展示三个函数，请学生分别从函数的三种不同表示方法分析函数的性质。
活动3.探究函数y=x 1/x的性质。
活动4.探究函数y=2x3-x的性质。
学生应用函数性质初步探究的一般方法进行合作探究，迁移巩固所学方法，提升合作交流能力，获得成功的体验，达到深度学习。
3.迁移应用，促进学习过程的建构反思
进行反思性的建构是深度学习的重要特征。数学知识之间是存在内在联系的，提高学生在数学学习中的知识联结能力是实现深度学习的体现。在教学中，我们可以引导学生反思所学，在数学原理、定义以及法则之间组织起有效的认识结构，从而形成知识网络，在此过程中实现深度学习。
我们还可以引导学生通过思维导图的方式梳理各概念之间的联系和区别，在此反思建构过程中学生对于数学知识的理解得到再认识和再升华，从而形成不同的类别、形态以及性质的知识结构。实现学生对于数学概念认知的扩展和延伸。
走向深度学习是课改的必然要求，也是课改深度的重要标志。在数学概念教学中，我们应采取适当的教学策略，促进学生数学学科知识的认知深度和思维深度，培养学生解决问题的能力、批判性思维能力、自主学习能力、创造性思维能力以及信息素养和协作能力，从而有效地提高学生的综合素养和思维品质。
（作者单位：太仓市第二中学，江苏 太仓215400）