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在高中数学选修2-2创新课时作业（功到自然成）第37页关于类比推理的一道题：
已知等差数列{an}中的加、减、乘、除运算与等比数列{bn}中的乘、除、乘方、开方对应.
已知等差数列{an}有下列性质：
（1）定义：an+1-an=d(d为常数，n∈N*)；
（2）通项：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d(m，n∈N*，m （3）前n项和：Sn=n(a1+an)2；
（4）等差中项：an+1=an+an+22；
（5）若m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at(m，n，p，q，t∈N*).
通过类比，写出等比数列{bn}相应的性质.
本题的参考答案为：
（1）定义：bn+1bn=q（q为常数，n∈N*）；
（2）通项：bn=b1qn-1，bn=bmqn-m（m，n∈N*，m （3）前n项积：Tn=(b1bn)n；
（4）等比中项：bn+1=bnbn+2；
（5）若m+n=p+q=2t，则bmbn=bpbq=b2t（m，n，p，q，t∈N*）.
由等比数列的知识知：
在等比数列中任意相邻三项也是等比数列，故bn+1是bn与bn+2的等比中项，且b2n+1=bnbn+2，因而（4）是错的.
又如等比数列1，-2，4，-8，16，-32，…的前3项积T3=-8，而由（3），得T3=(b1b3)3=64=8，显然（3）也是错的.
研究其错因，本题采用的是形式类比，（3），（4）均是由等差数列中的除法运算联想到等比数列中的开方运算，但是开方运算是存在局限性的.我们如果换个角度从等差数列前n项和Sn=n(a1+an)2的推导方法—倒序相加求和，进行类比联想，等差—求和—倒序相加，那么等比呢？很容易联想到：等比—求积—倒序相乘.
下面来验证：
在等比数列中首尾等距离两项的积相等，即b1bn=b2bn-1=b3bn-2=…
Tn=b1b2b3…bn-1bn.①
又 Tn=bnbn-1bn-2…b2b1，②
①×②，得T2n=(b1bn)n.显然当Tn<0时，（4）是不成立的.
通过对本题研究我们发现类比推理时分析问题的角度和高度不同会得到不同的推理结果，结果是否正确仍然需要检验.
“多考一点想的，少考一点算的”，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情景新颖脱俗的创新题型，将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值，类比思想恰能体现这一点.从近几年的高考试卷来看，类比思想已逐渐渗透于高考试题之中，成为高考的一大亮点.作为考题我们需要由类比推理得到正确的结论，虽然失败是成功之母，但考试时的错误结论可能会使得某个孩子的成功之路变得漫长甚至于遥遥无期.因而在教学中要教会学生正确的进行类比，下面就此谈两点体会：
1.在高中数学教学中，教师不但要善于利用类比，而且要有意识地对学生进行类比训练，促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理，找到解决问题的方法.类比推理的关键是找到合适的类比对象，类比的依据是两者间的相似性，这就需要具备宽厚的知识.
例1 已知圆x2+y2=r2(r>0)的面积为S=πr2，由类比推理，得椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为.
思路 从特征量角度分析，椭圆中心——圆的圆心即圆的中心，圆的半径r——椭圆的长轴a、短轴b均可认为曲线上的点到中心的距离，所以a，b均可类比为r，故面积为πab.
类比猜想要求有一定的依据，但又不要求有充分的根据，这就等于放宽了条件，它对事物的认识可以忽略细部，可以不受严格的形式逻辑思维的限制，这就增加了整体思考的机会，因而学生思维的进程得以加快，迅速找到最佳解题思路.本题就可以猜想椭圆上每一点到中心的距离为半径，特别是当短轴无限逼近长轴时，椭圆越逼近圆，此时的长轴a、短轴b就可以认为是圆的半径，可以用定积分进行计算.
2.教师在教学中，要有计划地引导学生进行猜想活动，使其对问题有充分的认识，能运用已有知识和经验，提出最可能的假设或最好的解决方案，并在可能的条件下，从理论上或实践上予以验证，最终得出正确的结论.
例2 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上任意一点，F2在∠F1PF2的内角平分线上的射影为M，则M的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆，可以类比到椭圆中，写出你类似的结论.
分析 本题有一半的学生的结论中依然写的是内角平分线，引导学生对比它们的定义：双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值为常数2a，应该对应椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数2a，所以最可能的应该是内角对应着外角.所以本题的答案最合理的是：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1与F2，P是椭圆上任意一点，F2在∠F1PF2的外角平分线上的射影为M，则M的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆.当然结论是否正确一定要进行检验证明.
有些学生认为类比联想就是天马行空的猜想，如果这样认为，那就变成了空想，这样的结论是无用的，所做的工作也是徒劳的.发明创造所追求的是新颖未知的事物，应该是人们暂时还是陌生和不了解的.为此，需要借助于现有的知识与经验或其他已经熟悉了的事物做桥梁，获得借鉴启迪.怎样才能使得我们的答案是准确无误的呢？就是让学生掌握科学研究的一般方法，其模式是“观察、比较——联想、类推——作出猜想——检验证明”.在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来，只有这样，才能把“类比”和“比喻”区分开来.最后一定要强调对猜想的结果进行检验，只有经得起考验的才是真理.
总之一句话，进行类比推理时，不要从表面上去类比，一定要看到问题的实质，通过证明来说明，这样问题才能得到圆满的解决.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
已知等差数列{an}中的加、减、乘、除运算与等比数列{bn}中的乘、除、乘方、开方对应.
已知等差数列{an}有下列性质：
（1）定义：an+1-an=d(d为常数，n∈N*)；
（2）通项：an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d(m，n∈N*，m
（4）等差中项：an+1=an+an+22；
（5）若m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at(m，n，p，q，t∈N*).
通过类比，写出等比数列{bn}相应的性质.
本题的参考答案为：
（1）定义：bn+1bn=q（q为常数，n∈N*）；
（2）通项：bn=b1qn-1，bn=bmqn-m（m，n∈N*，m
（4）等比中项：bn+1=bnbn+2；
（5）若m+n=p+q=2t，则bmbn=bpbq=b2t（m，n，p，q，t∈N*）.
由等比数列的知识知：
在等比数列中任意相邻三项也是等比数列，故bn+1是bn与bn+2的等比中项，且b2n+1=bnbn+2，因而（4）是错的.
又如等比数列1，-2，4，-8，16，-32，…的前3项积T3=-8，而由（3），得T3=(b1b3)3=64=8，显然（3）也是错的.
研究其错因，本题采用的是形式类比，（3），（4）均是由等差数列中的除法运算联想到等比数列中的开方运算，但是开方运算是存在局限性的.我们如果换个角度从等差数列前n项和Sn=n(a1+an)2的推导方法—倒序相加求和，进行类比联想，等差—求和—倒序相加，那么等比呢？很容易联想到：等比—求积—倒序相乘.
下面来验证：
在等比数列中首尾等距离两项的积相等，即b1bn=b2bn-1=b3bn-2=…
Tn=b1b2b3…bn-1bn.①
又 Tn=bnbn-1bn-2…b2b1，②
①×②，得T2n=(b1bn)n.显然当Tn<0时，（4）是不成立的.
通过对本题研究我们发现类比推理时分析问题的角度和高度不同会得到不同的推理结果，结果是否正确仍然需要检验.
“多考一点想的，少考一点算的”，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情景新颖脱俗的创新题型，将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值，类比思想恰能体现这一点.从近几年的高考试卷来看，类比思想已逐渐渗透于高考试题之中，成为高考的一大亮点.作为考题我们需要由类比推理得到正确的结论，虽然失败是成功之母，但考试时的错误结论可能会使得某个孩子的成功之路变得漫长甚至于遥遥无期.因而在教学中要教会学生正确的进行类比，下面就此谈两点体会：
1.在高中数学教学中，教师不但要善于利用类比，而且要有意识地对学生进行类比训练，促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理，找到解决问题的方法.类比推理的关键是找到合适的类比对象，类比的依据是两者间的相似性，这就需要具备宽厚的知识.
例1 已知圆x2+y2=r2(r>0)的面积为S=πr2，由类比推理，得椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为.
思路 从特征量角度分析，椭圆中心——圆的圆心即圆的中心，圆的半径r——椭圆的长轴a、短轴b均可认为曲线上的点到中心的距离，所以a，b均可类比为r，故面积为πab.
类比猜想要求有一定的依据，但又不要求有充分的根据，这就等于放宽了条件，它对事物的认识可以忽略细部，可以不受严格的形式逻辑思维的限制，这就增加了整体思考的机会，因而学生思维的进程得以加快，迅速找到最佳解题思路.本题就可以猜想椭圆上每一点到中心的距离为半径，特别是当短轴无限逼近长轴时，椭圆越逼近圆，此时的长轴a、短轴b就可以认为是圆的半径，可以用定积分进行计算.
2.教师在教学中，要有计划地引导学生进行猜想活动，使其对问题有充分的认识，能运用已有知识和经验，提出最可能的假设或最好的解决方案，并在可能的条件下，从理论上或实践上予以验证，最终得出正确的结论.
例2 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上任意一点，F2在∠F1PF2的内角平分线上的射影为M，则M的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆，可以类比到椭圆中，写出你类似的结论.
分析 本题有一半的学生的结论中依然写的是内角平分线，引导学生对比它们的定义：双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值为常数2a，应该对应椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数2a，所以最可能的应该是内角对应着外角.所以本题的答案最合理的是：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1与F2，P是椭圆上任意一点，F2在∠F1PF2的外角平分线上的射影为M，则M的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆.当然结论是否正确一定要进行检验证明.
有些学生认为类比联想就是天马行空的猜想，如果这样认为，那就变成了空想，这样的结论是无用的，所做的工作也是徒劳的.发明创造所追求的是新颖未知的事物，应该是人们暂时还是陌生和不了解的.为此，需要借助于现有的知识与经验或其他已经熟悉了的事物做桥梁，获得借鉴启迪.怎样才能使得我们的答案是准确无误的呢？就是让学生掌握科学研究的一般方法，其模式是“观察、比较——联想、类推——作出猜想——检验证明”.在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来，只有这样，才能把“类比”和“比喻”区分开来.最后一定要强调对猜想的结果进行检验，只有经得起考验的才是真理.
总之一句话，进行类比推理时，不要从表面上去类比，一定要看到问题的实质，通过证明来说明，这样问题才能得到圆满的解决.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文