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1 案例简介
1.1 研究背景
数学方法在物理问题的处理过程中占有重要地位.
1.1.1 数学方法是物理的研究方法
物理科学方法大致包括三个层面：一是科学研究的方法；二是物理研究方法；三是解决物理问题的具体方法. “物理研究方法”主要有观察方法、实验方法、理想化方法、类比方法、假说方法、数学方法等.可见，数学方法是物理研究方法之一.
1.1.2 数学方法是处理物理问题的工具
多数物理概念既有质的规定性，又有量的规定性.物理概念和规律都是人们对一定物理事物和过程的意义建构.理解物理概念和规律必须以模型为基础，以数学方法为工具.
1.1.3 应用数学处理物理问题是物理高考考查的重要能力
浙江省的高考在考查知识的同时，注重考查能力，并把对能力的考查放在首要位置.高中物理学科考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验与探究能力.应用数学处理物理问题的能力属于较高层次的能力.
可见，数学方法在物理问题处理中占有重要地位，然而，在实际的教学过程中，数学方法并没有引起我们足够的重视，导致很多学生能够建立具体的物理模型，但不知道如何用数学方法来处理物理问题，缺少利用数学来处理问题的能力，最终不能够很完美的解决物理问题.这就需要我们在平时的物理教学过程中注重数学与物理的整合，逐步培养学生利用数学方法处理物理问题的能力.本案例正是出于这样的目的，探究了数学中的极限法在物理中的应用问题，实现了数学与物理的整合，达到“轻质高效”的目的.
1.2 实践流程
如何实现数学与物理的整合？目前并没有成熟的教学案例体系.本实践案例在操作过程中采用了下列的教学流程（图1），达到了一定的教学效果.
2 教学目标
2.1 知识与技能
（1）明确在物理问题处理过程中使用极限法处理问题的条件及一般步骤.
（2）能够用极限法处理一些实际的物理问题.
（3）逐步提高利用数学知识处理物理问题的能力.
2.2 过程与方法
（1）通过常规方法与极限法的比较，了解极限法在解题过程中的优越性.
（2）经历错误——正确的探究过程，通过正反对比，明确利用极限法处理物理问题的条件.
2.3 态度、情感与价值观
（1）体会数学方法在物理中应用的重要性.
（2）通过数学物理方法的介绍，增强学生对于科学的热爱.
3 教学重难点
明确极限法使用的条件和一般步骤
4 教学程序
4.1 生动举例，引入方法
极限法是一种直观、简捷的科学方法.在我们已学过的物理规律中，很多科学家利用这种思维方法得到了物理规律.
伽利略的理想实验：如图2，让小球沿斜面AB从静止滚下，小球将滚上另一斜面BC.若无摩擦，小球将升到原来的高度.若减小斜面的倾角，小球在斜面BD上达到原来的高度就要通过更长的距离.继续减小第二个斜面使它成为水平面BF，小球为了达到原来的高度，它就会以恒定的速度持续运动下去.
伽利略的落体实验：伽利略在研究落体运动时，由于自由落体下落的时间太短，当时用实验直接验证自由落体是匀变速运动仍有困难，伽利略采用了间接验证的方法.他让一个铜球从阻力很小的斜面上滚下，做了上百次的实验.小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落时的加速度小得多，所以时间容易测量些.
光滑斜面的倾角保持不变，从不同位置让小球滚下，小球通过的位移跟所用的时间的平方之比是不变的.由此证明了小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动.换用不同质量的小球重复上述实验，位移跟所用时间平方的比值仍不变，这说明不同质量的小球沿同一倾角所做的匀变速直线运动的情况是相同的.
不断增大斜面的倾角，重复上述实验，得出位移跟所用的时间的平方之比随斜面倾角的增加而增大.这说明小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而增大.伽利略将上述结果做了合理的外推，把结论外推到斜面倾角增大到90°的情况，这时小球将自由下落，成为自由落体.
虽然人们将伽利略在研究落体运动过程中将斜面倾角增大到90°的情况称为“合理外推”，但从思维方法而言，伽利略将斜面倾角取到了极限，即90°.在伽利略的理想实验中，伽利略将第二个斜面倾角也取到了极限，即0°.伽利略可谓是利用极限思维方法处理物理问题的楷模.
极限思维的方法不仅仅使用在物理规律的发现过程中，我们在处理物理问题的过程中也可以使用极限思维法.
在此部分教学内容中，通过伽利略斜面实验和落体实验中极限思维方法的应用，引发学生学习的兴趣.
4.2 通过实例，探讨使用步骤
例1 图3所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ.取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上任意点P到O点的的距离为x，P点电场强度的大小为E.下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的.你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，E的合理表达式应为
教师：请大家先自己处理这个问题.
学生：学生动笔思考，但感觉无从下手.
教师引导1：圆环状均匀带电平面，其电场强度我们有具体的公式可以计算吗？
学生：没有.
教师引导2：目前高考中出现了一些新的题型，物理学中有些问题的结论不一定必须通过严格的计算才能解决，有时需要结合我们已学的知识，通过一定的分析，判断结论是否正确. 请大家思考，电场强度的复杂性是由哪一个关键物理量引起的？
学生：P到O点的的距离为x.
教师引导3：我们可以将x取到一个极限，即x趋向于零或无穷大，请大家化简上述四个选项.
学生：将x取∞代入各项，简化得
应该选B.
教师小结：利用极限法处理物理问题的一般步骤：（1）寻找关键相关量；（2）相关量取极限；（3）化简找规律；（4）运用已知知识确定答案.
通过具体例题的讲解，学生对于利用极限法处理物理问题有了初步的了解.
4.3 通过正反对比，理解使用条件
例2 如图4所示的电路，若电源的电动势为E=3 V，内电阻为r=3 Ω，外部电路滑动变阻器总电阻R=10 Ω，问当滑动变阻器的触头向右移动的过程中，电源的输出功率如何变化？
在处理此问题的过程中，学生主要有两种不同的看法.一类学生认为可以用极限的思维方法处理.当滑动变阻器的触片在最左端时，接入电路中电阻最大，故输出功率最大；当滑动变阻器的触片在最右端时，接入电路中的电阻为零，故电源的输出功率为零，故总电源的输出功率一直减小.另一类学生认为，根据电源输出功率随外电阻的变化规律，随着R的增大，电源的输出功率先增大再减小，当R=r时，电源的输出功率达到最大.最后，通过师生的共同讨论，认为后一类同学的观点是正确的.教师强调极限法使用的条件：使用条件：将某些物理量的数值推向极致（如，设定摩擦因数趋近零或无穷大、电源内阻趋近零或无穷大、物体的质量趋近零或无穷大等等），并根据一些显而易见的结果、结论或熟悉的物理现象进行分析和推理.
4.4 广泛应用，加深理解
4.4.1 将斜面倾角趋向于零或无穷大或趋向于90°
例3 如图6所示，放在固定斜面上的物块以加速度a沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一个竖直向下的恒力F，则
A.物块可能匀速下滑
B.物块将以加速度a匀加速下滑
C.物块将以大于a的加速度匀加速下滑
D.物块将以小于a的加速度匀加速下滑
请学生在自己纸上先进行计算，有些学生在三分钟后写出了步骤，有些学生尚未写出结果.
学生：设斜面的倾角为α，物块与斜面间动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律，不施加恒力F时
故正确选项：C.
教师：我们可以采用极限的方法. 若将斜面的倾角取为90°，则物块在初状态做自由落体运动，加速度a=g，施加恒力F后加速度变为a′=mg Fm=g Fm>g，在A、B、C、D中，只有C是正确的.
教师小结：用常规的方法，大部分同学用了三分钟时间，若我们用极限法则可以快速解决.可见，极限法可以帮我们节约解题时间.
例4 如图7所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，楔形石块侧面所受弹力的大小为
A.mg2sinα B.mg2cosα C.12mgtanα D.12mgcotα
先请学生思考.
学生甲：画物体受力图如图8.根据力的合成，mg=2×Fcosα，所以F=mg2cosα，本题选B.
学生乙：画物体受力图如图9.根据力的合成，mg=2×Fsinα，所以F=mg2sinα，本题选A.
教师：两位同学中有一位同学的α角找错了，导致两位同学的结果不一样.在这个问题的受力分析中，α角比较容易找错.从两位同学的受力分析图可知，乙同学的α角是正确的.
教师：我们可以用极限法来进行验证.利用极限思想，可取侧面与竖直方向的夹角为α=90°时，弹力F=mg2，代入四个选项，只有A正确.
教师小结：在此问题的处理过程中，寻找α角是一个比较关键的物理量，比较容易出错.极限法还能快速检查答案是否正确.
快速解题，特别是解选择题，极限法与常规方法相比，有比较大的优越性.
4.4.2 设阻力趋近零或无穷大
例5 从地面以大小为v1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t皮球落回地面，落地时皮球的速度的大小为v2.已知皮球在运动过程中受到空气阻力的大小与速度的大小成正比，重力加速度大小为g.下面给出时间t的四个表达式中只有一个是合理的.你可能不会求解t，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，你认为t的合理表达式应为 A.t=v1v2g B.t=v1-v2g
C.t=v1 v2gD.t=v1v2g
4.4.3 设电阻无穷大或零
例6 某同学通过实验测定一个阻值约为5 Ω的电阻Rx的阻值.实验电路应采用图11所示.在不损坏电表的前提下，将滑动变阻器滑片P从一端滑向另一端，随滑片P移动距离x的增加，被测电阻Rx两端的电压U也随之增加，下列反映U-x关系的示意图（图12）中正确的是
4.4.4 设质量无穷大或零
例7 如图13，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B.若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦.设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2.已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是
根据已有的知识，整理可得C选项正确.
5 实践反思
目前，校本选修课程正如火如荼的开展.通过数学与物理课程的整合，提高学生利用数学方法处理物理问题的能力，提高物理学习的效率，是教学过程中一个非常值得探讨的话题.本文中通过数学极限法在物理中的应用的探讨，学生能基本掌握利用极限法处理物理的一般步骤，提高了学生处理物理问题的速度和正确率.实践表明，本文中教学步骤是非常有效的，具有一定的推广和借鉴价值.
1.1 研究背景
数学方法在物理问题的处理过程中占有重要地位.
1.1.1 数学方法是物理的研究方法
物理科学方法大致包括三个层面：一是科学研究的方法；二是物理研究方法；三是解决物理问题的具体方法. “物理研究方法”主要有观察方法、实验方法、理想化方法、类比方法、假说方法、数学方法等.可见，数学方法是物理研究方法之一.
1.1.2 数学方法是处理物理问题的工具
多数物理概念既有质的规定性，又有量的规定性.物理概念和规律都是人们对一定物理事物和过程的意义建构.理解物理概念和规律必须以模型为基础，以数学方法为工具.
1.1.3 应用数学处理物理问题是物理高考考查的重要能力
浙江省的高考在考查知识的同时，注重考查能力，并把对能力的考查放在首要位置.高中物理学科考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力、实验与探究能力.应用数学处理物理问题的能力属于较高层次的能力.
可见，数学方法在物理问题处理中占有重要地位，然而，在实际的教学过程中，数学方法并没有引起我们足够的重视，导致很多学生能够建立具体的物理模型，但不知道如何用数学方法来处理物理问题，缺少利用数学来处理问题的能力，最终不能够很完美的解决物理问题.这就需要我们在平时的物理教学过程中注重数学与物理的整合，逐步培养学生利用数学方法处理物理问题的能力.本案例正是出于这样的目的，探究了数学中的极限法在物理中的应用问题，实现了数学与物理的整合，达到“轻质高效”的目的.
1.2 实践流程
如何实现数学与物理的整合？目前并没有成熟的教学案例体系.本实践案例在操作过程中采用了下列的教学流程（图1），达到了一定的教学效果.
2 教学目标
2.1 知识与技能
（1）明确在物理问题处理过程中使用极限法处理问题的条件及一般步骤.
（2）能够用极限法处理一些实际的物理问题.
（3）逐步提高利用数学知识处理物理问题的能力.
2.2 过程与方法
（1）通过常规方法与极限法的比较，了解极限法在解题过程中的优越性.
（2）经历错误——正确的探究过程，通过正反对比，明确利用极限法处理物理问题的条件.
2.3 态度、情感与价值观
（1）体会数学方法在物理中应用的重要性.
（2）通过数学物理方法的介绍，增强学生对于科学的热爱.
3 教学重难点
明确极限法使用的条件和一般步骤
4 教学程序
4.1 生动举例，引入方法
极限法是一种直观、简捷的科学方法.在我们已学过的物理规律中，很多科学家利用这种思维方法得到了物理规律.
伽利略的理想实验：如图2，让小球沿斜面AB从静止滚下，小球将滚上另一斜面BC.若无摩擦，小球将升到原来的高度.若减小斜面的倾角，小球在斜面BD上达到原来的高度就要通过更长的距离.继续减小第二个斜面使它成为水平面BF，小球为了达到原来的高度，它就会以恒定的速度持续运动下去.
伽利略的落体实验：伽利略在研究落体运动时，由于自由落体下落的时间太短，当时用实验直接验证自由落体是匀变速运动仍有困难，伽利略采用了间接验证的方法.他让一个铜球从阻力很小的斜面上滚下，做了上百次的实验.小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落时的加速度小得多，所以时间容易测量些.
光滑斜面的倾角保持不变，从不同位置让小球滚下，小球通过的位移跟所用的时间的平方之比是不变的.由此证明了小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动.换用不同质量的小球重复上述实验，位移跟所用时间平方的比值仍不变，这说明不同质量的小球沿同一倾角所做的匀变速直线运动的情况是相同的.
不断增大斜面的倾角，重复上述实验，得出位移跟所用的时间的平方之比随斜面倾角的增加而增大.这说明小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而增大.伽利略将上述结果做了合理的外推，把结论外推到斜面倾角增大到90°的情况，这时小球将自由下落，成为自由落体.
虽然人们将伽利略在研究落体运动过程中将斜面倾角增大到90°的情况称为“合理外推”，但从思维方法而言，伽利略将斜面倾角取到了极限，即90°.在伽利略的理想实验中，伽利略将第二个斜面倾角也取到了极限，即0°.伽利略可谓是利用极限思维方法处理物理问题的楷模.
极限思维的方法不仅仅使用在物理规律的发现过程中，我们在处理物理问题的过程中也可以使用极限思维法.
在此部分教学内容中，通过伽利略斜面实验和落体实验中极限思维方法的应用，引发学生学习的兴趣.
4.2 通过实例，探讨使用步骤
例1 图3所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ.取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上任意点P到O点的的距离为x，P点电场强度的大小为E.下面给出E的四个表达式（式中k为静电力常量），其中只有一个是合理的.你可能不会求解此处的场强E，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，E的合理表达式应为
教师：请大家先自己处理这个问题.
学生：学生动笔思考，但感觉无从下手.
教师引导1：圆环状均匀带电平面，其电场强度我们有具体的公式可以计算吗？
学生：没有.
教师引导2：目前高考中出现了一些新的题型，物理学中有些问题的结论不一定必须通过严格的计算才能解决，有时需要结合我们已学的知识，通过一定的分析，判断结论是否正确. 请大家思考，电场强度的复杂性是由哪一个关键物理量引起的？
学生：P到O点的的距离为x.
教师引导3：我们可以将x取到一个极限，即x趋向于零或无穷大，请大家化简上述四个选项.
学生：将x取∞代入各项，简化得
应该选B.
教师小结：利用极限法处理物理问题的一般步骤：（1）寻找关键相关量；（2）相关量取极限；（3）化简找规律；（4）运用已知知识确定答案.
通过具体例题的讲解，学生对于利用极限法处理物理问题有了初步的了解.
4.3 通过正反对比，理解使用条件
例2 如图4所示的电路，若电源的电动势为E=3 V，内电阻为r=3 Ω，外部电路滑动变阻器总电阻R=10 Ω，问当滑动变阻器的触头向右移动的过程中，电源的输出功率如何变化？
在处理此问题的过程中，学生主要有两种不同的看法.一类学生认为可以用极限的思维方法处理.当滑动变阻器的触片在最左端时，接入电路中电阻最大，故输出功率最大；当滑动变阻器的触片在最右端时，接入电路中的电阻为零，故电源的输出功率为零，故总电源的输出功率一直减小.另一类学生认为，根据电源输出功率随外电阻的变化规律，随着R的增大，电源的输出功率先增大再减小，当R=r时，电源的输出功率达到最大.最后，通过师生的共同讨论，认为后一类同学的观点是正确的.教师强调极限法使用的条件：使用条件：将某些物理量的数值推向极致（如，设定摩擦因数趋近零或无穷大、电源内阻趋近零或无穷大、物体的质量趋近零或无穷大等等），并根据一些显而易见的结果、结论或熟悉的物理现象进行分析和推理.
4.4 广泛应用，加深理解
4.4.1 将斜面倾角趋向于零或无穷大或趋向于90°
例3 如图6所示，放在固定斜面上的物块以加速度a沿斜面匀加速下滑，若在物块上再施加一个竖直向下的恒力F，则
A.物块可能匀速下滑
B.物块将以加速度a匀加速下滑
C.物块将以大于a的加速度匀加速下滑
D.物块将以小于a的加速度匀加速下滑
请学生在自己纸上先进行计算，有些学生在三分钟后写出了步骤，有些学生尚未写出结果.
学生：设斜面的倾角为α，物块与斜面间动摩擦因数为μ，根据牛顿第二定律，不施加恒力F时
故正确选项：C.
教师：我们可以采用极限的方法. 若将斜面的倾角取为90°，则物块在初状态做自由落体运动，加速度a=g，施加恒力F后加速度变为a′=mg Fm=g Fm>g，在A、B、C、D中，只有C是正确的.
教师小结：用常规的方法，大部分同学用了三分钟时间，若我们用极限法则可以快速解决.可见，极限法可以帮我们节约解题时间.
例4 如图7所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，楔形石块侧面所受弹力的大小为
A.mg2sinα B.mg2cosα C.12mgtanα D.12mgcotα
先请学生思考.
学生甲：画物体受力图如图8.根据力的合成，mg=2×Fcosα，所以F=mg2cosα，本题选B.
学生乙：画物体受力图如图9.根据力的合成，mg=2×Fsinα，所以F=mg2sinα，本题选A.
教师：两位同学中有一位同学的α角找错了，导致两位同学的结果不一样.在这个问题的受力分析中，α角比较容易找错.从两位同学的受力分析图可知，乙同学的α角是正确的.
教师：我们可以用极限法来进行验证.利用极限思想，可取侧面与竖直方向的夹角为α=90°时，弹力F=mg2，代入四个选项，只有A正确.
教师小结：在此问题的处理过程中，寻找α角是一个比较关键的物理量，比较容易出错.极限法还能快速检查答案是否正确.
快速解题，特别是解选择题，极限法与常规方法相比，有比较大的优越性.
4.4.2 设阻力趋近零或无穷大
例5 从地面以大小为v1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t皮球落回地面，落地时皮球的速度的大小为v2.已知皮球在运动过程中受到空气阻力的大小与速度的大小成正比，重力加速度大小为g.下面给出时间t的四个表达式中只有一个是合理的.你可能不会求解t，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断.根据你的判断，你认为t的合理表达式应为 A.t=v1v2g B.t=v1-v2g
C.t=v1 v2gD.t=v1v2g
4.4.3 设电阻无穷大或零
例6 某同学通过实验测定一个阻值约为5 Ω的电阻Rx的阻值.实验电路应采用图11所示.在不损坏电表的前提下，将滑动变阻器滑片P从一端滑向另一端，随滑片P移动距离x的增加，被测电阻Rx两端的电压U也随之增加，下列反映U-x关系的示意图（图12）中正确的是
4.4.4 设质量无穷大或零
例7 如图13，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B.若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦.设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2.已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是
根据已有的知识，整理可得C选项正确.
5 实践反思
目前，校本选修课程正如火如荼的开展.通过数学与物理课程的整合，提高学生利用数学方法处理物理问题的能力，提高物理学习的效率，是教学过程中一个非常值得探讨的话题.本文中通过数学极限法在物理中的应用的探讨，学生能基本掌握利用极限法处理物理的一般步骤，提高了学生处理物理问题的速度和正确率.实践表明，本文中教学步骤是非常有效的，具有一定的推广和借鉴价值.