一道含三角函数分式齐次式最值的解法

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  题目求22cos 2sin02xsin cosxxyxxπ += ,分析本题属含三角函数分式齐次式,可用同角三角 数关系弦化切处理,也可用降幂< < 的最小值.函数的商 倍角公式化简处理. 解法一(均值不等式法)22cos 2sin cos 2sinsin cos sin cosx xx xyx xx x=++=2 tan cot 2 2 tan cot xx x =+≥ 2 2 x = . 解法二(引入辅助角,利用有界性)222cos 2sin sin 1 3 cos 2sin cos sin cos sin 2x xx xyx xxx x++−=== . 由 02xπ<< 知函数 ,故原式转化为,可得0 y >sin 2 cos 2 3 yx x += ()21sin 2 3 yx ϕ ++ = ,由此 ()232 11≤+,得 sin xyϕ += 22 y ≥ . 解法三(判别式法)22 22 tan cos 2sin 1tan sin cosx xxyx x222tan tan 1 xy x −+=x++== ,得 .
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