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摘 要：本文从五个方面探讨了解题反思的方式及作用，即解题反思，探求运用知识解题的合理性和正确性；解题反思，探求一题多解和多题一解；解题反思，探求问题所含知识的系统性；解题反思，探求知识整合，创设新问；解题反思，探求规律，形成总结．
关键词：解题反思；类比总结；思维能力
“反思”一词在现代汉语词典中的解释是：思考过去的事情，从中总结经验教训． 那么，我们应解题反思些什么呢？实际上，我们应反思命题的来源与目的；考查的知识点及能力；解题中出现的问题；结论的验证；条件的应用；求解过程是否判断有据、严密完善；一题多解，多题一解．不断地对问题进行剖析、归纳、类比、总结，对所含数学方法、思想进行思考判断，体会问题的实质，享受探究的成就感，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，从而达到提升思维的目的． 高考是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行全方位考查的，命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的． 纵观这几年江苏高考数学试卷，有些题背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活． 这正体现了目前新课程的理念标准，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，不断地培养学生创新精神和实践能力． 但由于受学生的现有认知结构水平限制，大多数学生对知识不求甚解，热衷于做大量题，缺乏解题后对题目的反思，也不善于纠正和找出自己的问题，缺乏解题后对解题方法、思路的总结． 一道数学题经过一番艰辛的演算解出答案后，应该认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核的知识点是什么？哪些知识点易综合？我犯了哪些错误？本题有无其他解法，能否一题多解或多题一解？通过解题后的反思来改进解题过程，探讨知识联系、知识整合，探究规律等，让学生的思维在解题后继续飞翔，能力进一步提高． 为此，教师应该倡导和训练学生进行有效的解题反思，这才是学生思维能力提升的起点．
解题反思，探求运用知识解题的合理性和正确性
审题是对条件及问题的全面认识，是对条件及问题相关情况的全面分析研究，这是分析和解决问题的前提．高中数学试题，学生由于审题不准、概念不清、忽视条件，套用相近知识、运用相似办法，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解题很难保证一次性做对． 而审题能力主要是指充分理解题意，把握住问题本质的能力，是指分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力． 要快捷、准确地解决问题，掌握题目的特征、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的，因此解题后，应对解题过程加以剖析，对结论的正确性和合理性进行验证．但有些学生往往把做完题当成是完成任务，做完就丢到一边，由此产生大量错误． 如答非所问、以特殊代替一般、臆造定理、考虑片面等．
例1（苏教版高中数学必修4第97页例6） 已知sin（α+β）=，sin（α－β）= －，求的值．
分析：怎样利用已知的两个等式呢？初看似乎找不出条件和结论的联系，只好从问题入手. 当然，首先想到的是分别把tanα，tanβ求出来，然后求它们的商，这是个办法，但不好求；于是可考虑将写成，转向求sinαcosβ，cosαsinβ． 令x=sinαcosβ，y=cosαsinβ，于是=． 从方程的观点看，只要有x，y的二元一次方程就可求出x，y，于是转向求x+y=sin（α+β），x－y=sin（α－β）． 这些都是已知的，问题得以解决． 如果问题变为“已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tanαtanβ的值”，那又该怎样呢？
解题反思，探求一题多解和多题一解，提升思维能力
高中数学知识模块纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归． 这说明我们应进一步解题反思，探求一题多解和多题一解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题思维能力更胜一筹． 一题多解，各种解法可能会用到不同的知识点、不同的解法技巧． 同时同一种解法又能解决很多问题，然后比较众多解法中哪一种最简捷、最合理． 把本题的解法和结论加以推广，这样既可看到知识的内在联系，又能得出一般方法和思路． 在解题反思中要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提升解题思维能力尤其重要．
例2（2010高考江苏卷） 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，+=6cosC，则+=_______．
分析：（方法一）考虑已知条件和所求结论，对于角A，B和边a，b具有轮换性．当A=B或a=b时，满足题意，此时有cosC=，tan2==，tan=，tanA=tanB==，+=4．
（方法二）+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2，6ab•=a2+b2，a2+b2=，
+=•=•=•，由正弦定理，得上式=•===4．
解题反思，探求问题所含知识的系统性
解题之后，理应探求问题的知识结构和系统性． 学生能否对问题所含的知识点进行纵向深入探究、能否加强知识点的横向联系对提高能力至关重要，即能否把问题所含孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”，通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性． 南京师范大学葛军教授曾经提出过下面的问题：你看到“已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是x1，x2”，能想到哪些东西？他认为应该想到：（1）根与系数关系；（2）函数图象、顶点、对称轴分别用系数或根表示的式子；（3）方程根的判别式大于0；（4）用求根公式表示系数与根的关系；（5）函数解析式的根的表示法x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）等等． 如：已知非负实数x，y满足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值．在解决这个问题时，如果对x，y的取值范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤），那么就极易产生错误． 这是因为学生不知用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多方面的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成思维障碍．再如函数y=f（x）满足f（2＋x）=f（2－x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称. 对于这个问题，学生不大会做，在解题后，在知识的迁移和应用方面进行反思，从函数这一章节中找相关的内容，探究知识的系统性，也就能顺利解决这一问题．
解题反思，探求知识整合，创设新问
解题反思，探求知识整合，学生能进一步感到问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？它和哪些问题有联系？能否由这个问题受到启发，将重要的数学思想、数学方法进行有效整合，创造性地设问？它能让学生在不断地探索知识联系中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造性思维是非常有利的．
例3 点P在椭圆 +y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离AP的最大值．
这是一道简单题，学生很容易得到AP的最大值是，但我们不能就此结束，学生经过解题后的思考、讨论、总结，得出以下的几种变题．
变题1：将求AP的最大值改为求AP的最小值．
变题2：将椭圆改为双曲线 -y2=1，结论改为求AP的最小值．
变题3：将椭圆改为抛物线y2=2x，结论改为求AP的最小值．
变题4：已知点P在椭圆 +y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求AP的最大值．
变题5：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圆+y2=1上运动，求PQ的最大值．
变题6：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e = ，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是，求椭圆方程． 并求AP取最大值时，点P的坐标．
改变题目的条件，会得出什么新结论？保留题目的条件结论能否进一步加强？条件作类似的变换，结论能否扩大到一般？像这样创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口，从而达到提升思维能力的目的．
解题反思，探求规律，形成总结
对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果、规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣． 积累的过程更有利于学生认知结构的个性特征的形成，并能增加知识的存储量． 现在各校都在要求抓学生的错题，笔者认为这可和记笔记有机结合起来，把笔记放在课后整理，借助笔记学生可更好地在课后解题反思消化所学知识，归纳总结方法，理清思路． 至于如何利用笔记，我们目前的做法是“即、顾、随、钻”． 所谓“即”，就是当下看，在你刚刚做好笔记后，立即理一理自己的思路，发散一下思维，搞定自己欠缺之处． 所谓“顾”，就是到周末时做的一项工作，把本周的笔记回顾一遍，问题可以自己独立处理一下，也可弄些“醒示”语． 所谓“随”，就是随时看，随便看，我们要求学生午饭后、晚饭后可随意翻看笔记，看其中任意一页，弄懂、弄透． 所谓“钻”，就是在各种考试之前，更好地把笔记利用一翻．
总之，引导学生解题后不断地对问题进行剖析、归纳、类比、总结，对所含数学方法、思想进行思考判断，体会问题的实质，享受探究的成就感，才能使学生养成独立思考、积极探究的习惯，从而达到提升思维能力的目的．
关键词：解题反思；类比总结；思维能力
“反思”一词在现代汉语词典中的解释是：思考过去的事情，从中总结经验教训． 那么，我们应解题反思些什么呢？实际上，我们应反思命题的来源与目的；考查的知识点及能力；解题中出现的问题；结论的验证；条件的应用；求解过程是否判断有据、严密完善；一题多解，多题一解．不断地对问题进行剖析、归纳、类比、总结，对所含数学方法、思想进行思考判断，体会问题的实质，享受探究的成就感，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，从而达到提升思维的目的． 高考是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行全方位考查的，命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的． 纵观这几年江苏高考数学试卷，有些题背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活． 这正体现了目前新课程的理念标准，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，不断地培养学生创新精神和实践能力． 但由于受学生的现有认知结构水平限制，大多数学生对知识不求甚解，热衷于做大量题，缺乏解题后对题目的反思，也不善于纠正和找出自己的问题，缺乏解题后对解题方法、思路的总结． 一道数学题经过一番艰辛的演算解出答案后，应该认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核的知识点是什么？哪些知识点易综合？我犯了哪些错误？本题有无其他解法，能否一题多解或多题一解？通过解题后的反思来改进解题过程，探讨知识联系、知识整合，探究规律等，让学生的思维在解题后继续飞翔，能力进一步提高． 为此，教师应该倡导和训练学生进行有效的解题反思，这才是学生思维能力提升的起点．
解题反思，探求运用知识解题的合理性和正确性
审题是对条件及问题的全面认识，是对条件及问题相关情况的全面分析研究，这是分析和解决问题的前提．高中数学试题，学生由于审题不准、概念不清、忽视条件，套用相近知识、运用相似办法，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解题很难保证一次性做对． 而审题能力主要是指充分理解题意，把握住问题本质的能力，是指分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力． 要快捷、准确地解决问题，掌握题目的特征、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的，因此解题后，应对解题过程加以剖析，对结论的正确性和合理性进行验证．但有些学生往往把做完题当成是完成任务，做完就丢到一边，由此产生大量错误． 如答非所问、以特殊代替一般、臆造定理、考虑片面等．
例1（苏教版高中数学必修4第97页例6） 已知sin（α+β）=，sin（α－β）= －，求的值．
分析：怎样利用已知的两个等式呢？初看似乎找不出条件和结论的联系，只好从问题入手. 当然，首先想到的是分别把tanα，tanβ求出来，然后求它们的商，这是个办法，但不好求；于是可考虑将写成，转向求sinαcosβ，cosαsinβ． 令x=sinαcosβ，y=cosαsinβ，于是=． 从方程的观点看，只要有x，y的二元一次方程就可求出x，y，于是转向求x+y=sin（α+β），x－y=sin（α－β）． 这些都是已知的，问题得以解决． 如果问题变为“已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tanαtanβ的值”，那又该怎样呢？
解题反思，探求一题多解和多题一解，提升思维能力
高中数学知识模块纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归． 这说明我们应进一步解题反思，探求一题多解和多题一解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题思维能力更胜一筹． 一题多解，各种解法可能会用到不同的知识点、不同的解法技巧． 同时同一种解法又能解决很多问题，然后比较众多解法中哪一种最简捷、最合理． 把本题的解法和结论加以推广，这样既可看到知识的内在联系，又能得出一般方法和思路． 在解题反思中要善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提升解题思维能力尤其重要．
例2（2010高考江苏卷） 在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，+=6cosC，则+=_______．
分析：（方法一）考虑已知条件和所求结论，对于角A，B和边a，b具有轮换性．当A=B或a=b时，满足题意，此时有cosC=，tan2==，tan=，tanA=tanB==，+=4．
（方法二）+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2，6ab•=a2+b2，a2+b2=，
+=•=•=•，由正弦定理，得上式=•===4．
解题反思，探求问题所含知识的系统性
解题之后，理应探求问题的知识结构和系统性． 学生能否对问题所含的知识点进行纵向深入探究、能否加强知识点的横向联系对提高能力至关重要，即能否把问题所含孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”，通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性． 南京师范大学葛军教授曾经提出过下面的问题：你看到“已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根是x1，x2”，能想到哪些东西？他认为应该想到：（1）根与系数关系；（2）函数图象、顶点、对称轴分别用系数或根表示的式子；（3）方程根的判别式大于0；（4）用求根公式表示系数与根的关系；（5）函数解析式的根的表示法x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）等等． 如：已知非负实数x，y满足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值．在解决这个问题时，如果对x，y的取值范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤），那么就极易产生错误． 这是因为学生不知用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多方面的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成思维障碍．再如函数y=f（x）满足f（2＋x）=f（2－x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称. 对于这个问题，学生不大会做，在解题后，在知识的迁移和应用方面进行反思，从函数这一章节中找相关的内容，探究知识的系统性，也就能顺利解决这一问题．
解题反思，探求知识整合，创设新问
解题反思，探求知识整合，学生能进一步感到问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？它和哪些问题有联系？能否由这个问题受到启发，将重要的数学思想、数学方法进行有效整合，创造性地设问？它能让学生在不断地探索知识联系中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造性思维是非常有利的．
例3 点P在椭圆 +y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离AP的最大值．
这是一道简单题，学生很容易得到AP的最大值是，但我们不能就此结束，学生经过解题后的思考、讨论、总结，得出以下的几种变题．
变题1：将求AP的最大值改为求AP的最小值．
变题2：将椭圆改为双曲线 -y2=1，结论改为求AP的最小值．
变题3：将椭圆改为抛物线y2=2x，结论改为求AP的最小值．
变题4：已知点P在椭圆 +y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求AP的最大值．
变题5：动点Q在圆x2+y2-4y+3=0上运动，动点P在椭圆+y2=1上运动，求PQ的最大值．
变题6：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e = ，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是，求椭圆方程． 并求AP取最大值时，点P的坐标．
改变题目的条件，会得出什么新结论？保留题目的条件结论能否进一步加强？条件作类似的变换，结论能否扩大到一般？像这样创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口，从而达到提升思维能力的目的．
解题反思，探求规律，形成总结
对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果、规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣． 积累的过程更有利于学生认知结构的个性特征的形成，并能增加知识的存储量． 现在各校都在要求抓学生的错题，笔者认为这可和记笔记有机结合起来，把笔记放在课后整理，借助笔记学生可更好地在课后解题反思消化所学知识，归纳总结方法，理清思路． 至于如何利用笔记，我们目前的做法是“即、顾、随、钻”． 所谓“即”，就是当下看，在你刚刚做好笔记后，立即理一理自己的思路，发散一下思维，搞定自己欠缺之处． 所谓“顾”，就是到周末时做的一项工作，把本周的笔记回顾一遍，问题可以自己独立处理一下，也可弄些“醒示”语． 所谓“随”，就是随时看，随便看，我们要求学生午饭后、晚饭后可随意翻看笔记，看其中任意一页，弄懂、弄透． 所谓“钻”，就是在各种考试之前，更好地把笔记利用一翻．
总之，引导学生解题后不断地对问题进行剖析、归纳、类比、总结，对所含数学方法、思想进行思考判断，体会问题的实质，享受探究的成就感，才能使学生养成独立思考、积极探究的习惯，从而达到提升思维能力的目的．