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摘要：本文结合笔者的教学实践，给出了一道排列组合题的拓展教学的案例，充分体现了题组教学在教学中的可行性和优越性.
关键词：题组教学；拓展问题
数学教学中的题组教学越来越被广大教师所重视.在实施教学时，引导学生剖析一些易错题的本质，结合适当的拓展问题进行训练，是题组教学中重要的一类.笔者对这种教学类型进行了研究和思考，并付诸于教学实践，本文给出了一个具体的案例，供同行探讨.
题目：若集合P，Q满足P∪Q=｛a1，a2，a3｝，试求集合P，Q. 此问题的解答共有_______组不同的解.（用具体数字作答）
学生甲：集合｛a1，a2，a3｝共有23个（8个）子集，则以集合P为确定的研究对象，分类讨论. ①若P=，则Q=｛a1，a2，a3｝，即有1组解答；②若P中只有1个元素，例如P=｛a1｝，则Q=｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝，即有C•（1+1）组解答；③若P中只有2个元素，例如P=｛a1，a2｝，则Q=｛a3｝或｛a1，a3｝或｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝，即有C•（1+C+1）组解答；④若P=｛a1，a2，a3｝，则Q=或｛ａ1｝或｛ａ2｝或｛ａ3｝或｛a1，a2｝或｛a1，a3｝或｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝,即有C•（1+C+ C+C）组解答. 根据分类计数原理，此问题的解答共有27组（上述4类结果之和）不同的解.
教学说明：1. 这一已知P∪Q，求P，Q的逆向问题，一般来讲它的解答不具有唯一性，应根据题目特征正确分类；学生甲的解题过程体现了分类讨论的思想方法，很到位. 这道题是对学生基础学习能力的考查.
2. 许多数数问题，情境是复杂的，层次多，视角广，因此选准分类的切入点或从不同侧面把问题分割为若干小问题，分而治之、各个击破，是较好的途径之一.
为了提高学生的数学探究能力，笔者将问题作了简单变化并加以深化.
变式1：若集合P，Q，R满足P∪Q∪R=｛a1，a2，a3，a4｝，试求集合P，Q，R. 此问题的解答共有________组不同的解.
问题提出后，有的学生束手无策，有的学生动笔演算、试着分析. 约两分钟后，学生乙开始回答问题.
学生乙：如果采用上面的分类讨论的方法来解决“问题2”，我认为非常繁琐，且易重易漏，怎么办？
学生们开始议论纷纷，想办法，他们正经历一个初步尝试数学研究的过程.
（终于）学生丙：老师曾经在排列组合部分讲过“小球投盒”的问题，所以我想，开头的“问题1”用类似的思想方法来解决其实很方便，且可以数形结合，集合P，Q用圆P，Q来表示，圆P，Q最多被分为1，2，3三个区域，为满足P∪Q=｛a1，a2，a3｝，只需将a1，a2，a3三个彼此独立的元素填入这三个区域，根据分步计数原理，共有CCC组，即27组解.
学生丁：是的，应用这种解法来解决“问题2”就容易了，问题等价转化为用圆P，Q，R来代表集合P，Q，R，图中最多被分为7个区域，将a1，a2，a3，a4这4个互相独立的元素分别填入这7个区域，有多少种填法. 根据分步计数原理，即有CCCC种（74种）填法，则问题2也就有7组解.
点评：学生丙和学生丁的思维经历了由严谨的推理到获得正确结论的过程，对以前所学的数学知识和方法做到了活学活用.
学生们得到了肯定和鼓舞，更有信心.事实证明，他们有一定的研究能力和严谨的科学态度，因此，笔者将问题进一步拓展.
变式2：若集合P，Q，R，S满足P∪Q∪R∪S=｛a1，a2，a3，a4｝，试求集合P，Q，R，S. 此问题的解答共有________组不同的解.
引导学生跳出题目所设定的圈子，由题目特征构思设计出一个等价转化的途径，能把具体问题抽象成数字填位问题或小球投盒问题，这样问题的解答就明朗了.
（几分钟后）学生戊：集合P，Q，R，S用圆P，Q，R，S来表示，首先这4个圆最多被分割为15个不同区域. 事实上，圆P，Q，R，S每两个圆有1个公共区域，每三个圆有1个公共区域，四个圆有1个公共区域，则这四个圆最多被分为4+C+C+C，即15个区域. 将a1，a2，a3，a4四個互相独立的元素填入上述15个区域，即有154种填法，故此问题有154组解.
学生己：我想这个问题相当于将4个不同的小球随机独立地投入15个盒子中，有154种投法，问题也就有15组解.
点评：通过前面的问题和几个学生的分析，笔者觉得学生想象比较丰富，为了帮助他们挖掘探究问题的潜力，现将上面的问题一般化.
变式3：若集合P1，P2，…，Pn满足P1∪P2∪…∪Pn=｛a1，a2，…，am｝，m，n∈N*，且m，n>4，求集合P1，P2，…，Pn. 此问题共有?摇________组不同的解.
笔者从前面学生的分析中获得了灵感，下面是笔者的做法.
集合P1，P2，…，Pn分别用圆P1，P2，…，Pn来代表，首先，这n个圆最多被分为2n－1个区域. 事实上，圆P1，P2，…，Pn中每两个圆有1个公共区域，每三个圆有1个公共区域，……，每n-1个圆有1个公共区域，n个圆有1个公共区域， 则这n个圆最多被分为n+C+C+…+C，即2n－1个不同的区域. 将a1，a2，…，am这m个互相独立的元素填入2n－1个区域，即有（2n-1）m种填法，显然此问题有（2n-1）m组解答.
点评：学生们表示赞同，这样这一节数学活动课就成功地解决了上面一系列的问题. 学生都积极参与了这个由特殊到一般的辨证思维过程，并一直发扬了很好的互相协作的精神. 身边的许多事情有着相似的过程，只要大家勇于探索，充分发挥自己的聪明才智，就会有更多惊喜出现.
在数学教与学中，教师不仅是知识的占有者和传授者，更应是学生发展的引导者，学习的组织者、指导者和促进者；教师的教学不能单纯地传授知识，更要关注学生的情感态度和价值观，为学生的学会学习、可持续发展打好基础.数学探究作为高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和精神；有助于培养学生善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力.
数学的教学与学习，不仅只是从个别的、简单的、特殊的事例中获得数据和结论，更主要的是通过特例的体验、总结、归纳和猜想，将其结论一般化、深入化，并通过严密的论证，加以肯定. 这样的数学探究过程，不仅使学生巩固了已学知识，而且使学生有了体验、研究和发现的过程，对提高学生理解问题、分析问题和解决问题的能力有很大的帮助，同时激发了学生学习数学的兴趣，培养他们勤于思考、勇于探究、敢于质疑的良好的科学学习习惯，这符合新课程改革的理念，更有利于学生的终身发展.
关键词：题组教学；拓展问题
数学教学中的题组教学越来越被广大教师所重视.在实施教学时，引导学生剖析一些易错题的本质，结合适当的拓展问题进行训练，是题组教学中重要的一类.笔者对这种教学类型进行了研究和思考，并付诸于教学实践，本文给出了一个具体的案例，供同行探讨.
题目：若集合P，Q满足P∪Q=｛a1，a2，a3｝，试求集合P，Q. 此问题的解答共有_______组不同的解.（用具体数字作答）
学生甲：集合｛a1，a2，a3｝共有23个（8个）子集，则以集合P为确定的研究对象，分类讨论. ①若P=，则Q=｛a1，a2，a3｝，即有1组解答；②若P中只有1个元素，例如P=｛a1｝，则Q=｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝，即有C•（1+1）组解答；③若P中只有2个元素，例如P=｛a1，a2｝，则Q=｛a3｝或｛a1，a3｝或｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝，即有C•（1+C+1）组解答；④若P=｛a1，a2，a3｝，则Q=或｛ａ1｝或｛ａ2｝或｛ａ3｝或｛a1，a2｝或｛a1，a3｝或｛a2，a3｝或｛a1，a2，a3｝,即有C•（1+C+ C+C）组解答. 根据分类计数原理，此问题的解答共有27组（上述4类结果之和）不同的解.
教学说明：1. 这一已知P∪Q，求P，Q的逆向问题，一般来讲它的解答不具有唯一性，应根据题目特征正确分类；学生甲的解题过程体现了分类讨论的思想方法，很到位. 这道题是对学生基础学习能力的考查.
2. 许多数数问题，情境是复杂的，层次多，视角广，因此选准分类的切入点或从不同侧面把问题分割为若干小问题，分而治之、各个击破，是较好的途径之一.
为了提高学生的数学探究能力，笔者将问题作了简单变化并加以深化.
变式1：若集合P，Q，R满足P∪Q∪R=｛a1，a2，a3，a4｝，试求集合P，Q，R. 此问题的解答共有________组不同的解.
问题提出后，有的学生束手无策，有的学生动笔演算、试着分析. 约两分钟后，学生乙开始回答问题.
学生乙：如果采用上面的分类讨论的方法来解决“问题2”，我认为非常繁琐，且易重易漏，怎么办？
学生们开始议论纷纷，想办法，他们正经历一个初步尝试数学研究的过程.
（终于）学生丙：老师曾经在排列组合部分讲过“小球投盒”的问题，所以我想，开头的“问题1”用类似的思想方法来解决其实很方便，且可以数形结合，集合P，Q用圆P，Q来表示，圆P，Q最多被分为1，2，3三个区域，为满足P∪Q=｛a1，a2，a3｝，只需将a1，a2，a3三个彼此独立的元素填入这三个区域，根据分步计数原理，共有CCC组，即27组解.
学生丁：是的，应用这种解法来解决“问题2”就容易了，问题等价转化为用圆P，Q，R来代表集合P，Q，R，图中最多被分为7个区域，将a1，a2，a3，a4这4个互相独立的元素分别填入这7个区域，有多少种填法. 根据分步计数原理，即有CCCC种（74种）填法，则问题2也就有7组解.
点评：学生丙和学生丁的思维经历了由严谨的推理到获得正确结论的过程，对以前所学的数学知识和方法做到了活学活用.
学生们得到了肯定和鼓舞，更有信心.事实证明，他们有一定的研究能力和严谨的科学态度，因此，笔者将问题进一步拓展.
变式2：若集合P，Q，R，S满足P∪Q∪R∪S=｛a1，a2，a3，a4｝，试求集合P，Q，R，S. 此问题的解答共有________组不同的解.
引导学生跳出题目所设定的圈子，由题目特征构思设计出一个等价转化的途径，能把具体问题抽象成数字填位问题或小球投盒问题，这样问题的解答就明朗了.
（几分钟后）学生戊：集合P，Q，R，S用圆P，Q，R，S来表示，首先这4个圆最多被分割为15个不同区域. 事实上，圆P，Q，R，S每两个圆有1个公共区域，每三个圆有1个公共区域，四个圆有1个公共区域，则这四个圆最多被分为4+C+C+C，即15个区域. 将a1，a2，a3，a4四個互相独立的元素填入上述15个区域，即有154种填法，故此问题有154组解.
学生己：我想这个问题相当于将4个不同的小球随机独立地投入15个盒子中，有154种投法，问题也就有15组解.
点评：通过前面的问题和几个学生的分析，笔者觉得学生想象比较丰富，为了帮助他们挖掘探究问题的潜力，现将上面的问题一般化.
变式3：若集合P1，P2，…，Pn满足P1∪P2∪…∪Pn=｛a1，a2，…，am｝，m，n∈N*，且m，n>4，求集合P1，P2，…，Pn. 此问题共有?摇________组不同的解.
笔者从前面学生的分析中获得了灵感，下面是笔者的做法.
集合P1，P2，…，Pn分别用圆P1，P2，…，Pn来代表，首先，这n个圆最多被分为2n－1个区域. 事实上，圆P1，P2，…，Pn中每两个圆有1个公共区域，每三个圆有1个公共区域，……，每n-1个圆有1个公共区域，n个圆有1个公共区域， 则这n个圆最多被分为n+C+C+…+C，即2n－1个不同的区域. 将a1，a2，…，am这m个互相独立的元素填入2n－1个区域，即有（2n-1）m种填法，显然此问题有（2n-1）m组解答.
点评：学生们表示赞同，这样这一节数学活动课就成功地解决了上面一系列的问题. 学生都积极参与了这个由特殊到一般的辨证思维过程，并一直发扬了很好的互相协作的精神. 身边的许多事情有着相似的过程，只要大家勇于探索，充分发挥自己的聪明才智，就会有更多惊喜出现.
在数学教与学中，教师不仅是知识的占有者和传授者，更应是学生发展的引导者，学习的组织者、指导者和促进者；教师的教学不能单纯地传授知识，更要关注学生的情感态度和价值观，为学生的学会学习、可持续发展打好基础.数学探究作为高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和精神；有助于培养学生善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力.
数学的教学与学习，不仅只是从个别的、简单的、特殊的事例中获得数据和结论，更主要的是通过特例的体验、总结、归纳和猜想，将其结论一般化、深入化，并通过严密的论证，加以肯定. 这样的数学探究过程，不仅使学生巩固了已学知识，而且使学生有了体验、研究和发现的过程，对提高学生理解问题、分析问题和解决问题的能力有很大的帮助，同时激发了学生学习数学的兴趣，培养他们勤于思考、勇于探究、敢于质疑的良好的科学学习习惯，这符合新课程改革的理念，更有利于学生的终身发展.