在近年高考题中，多次出現有关等差数列与等比数列的公共项的问题，如07年湖南卷、07福建卷、07江苏卷和08江苏卷。本文试图在其基础上，从更一般的角度探索此类问题的规律与解法。由于常数数列的结果是显然的，故在证明过程中不再特别说明。
　　类I 等差数列中是否存在三项成等比数列？
　　例1、判断下列等差数列中，是否存在三项成等比数列？若存在，举出实例；若不存在，请说明理由。
　　（1） （2）
　　解析：（1） 是 的一个子列；
　　（2）假设 中存在三项 依次成等比数列，则 ，即 ，，整理得 ，于是
　　，消去s整理得 ，矛盾。所以，不存在等比子列。
　　规律探索：
　　基于一个基本事实：如果等差数列 中存在三项 成等比数列，则数列 中相应三项 也成等比数列，我们只需研究 的情况。
　　结论1.1 若c为有理数，则等差数列 中存在一个无穷项的等比数列。
　　证明：设 ，（ 是互质的整数，且不妨设 ，否则，可以构造数列 是 的一个子列），则 符合题意。
　　结论1.2 若c为无理数，则等差数列 中不存在三项成等比数列。
　　证明方法与例1（2）相同，略。
　　类II 等比数列中是否存在三项成等差数列？
　　例2、判断通项为 的等比数列中，是否存在三项成等差数列？若存在，举出实例；若不存在，请说明理由。
　　解：假设 中存在三项 依次成等差数列，则
　　方法一：因为 ，所以
　　方法二：两边同除以 ，则左边为偶数，右边为奇数
　　所以，不存在成等比的三项。
　　规律探索：
　　基于一个基本事实：如果等比数列 中存在三项 成等差数列，则数列 中相应三项 也成等差数列，我们只需研究 的情况，且不妨设此等差数列的第一项恰为 。
　　结论2.1若 ，则等比数列 中不存在三项成等差数列。
　　证明：若第1， ，t依次成等差数列，则 （*）
　　（1） 时，利用例2之法一易证；
　　（2） 时，若 为偶数，由（1）可知不成立；若 一奇一偶，则（*）式两边一正一负；若 为奇数，则 ，且 ，即 ，但 。
　　结论2.2 若 ，则等比数列 中可能存在三项成等差数列，也可能不存在三项成等差数列，尚未发现明显的规律。
　　分析：分别对 中的 赋值，用mathematica软件可算出一些对应的 值：
　　当 时， 或 ；
　　当 时， 或 ；
　　当 时，有唯一实根q=
　　当 时，有唯一实根q=
　　未发现明显规律。
　　结论2.3若 为有理数，则等比数列 中不存在三项成等差数列。
　　证明：设 ，其中 互质。若 ，但 不成立。
　　结论2.4 当 时，等比数列 中不存在项数无穷的等差数列。
　　证明：（1）若 ，则 是有界数列且 ，故对任意 ，其等差子列 满足 ，即 ；
　　（2））若 ，则对任意等差数列的公差 ，都存在 ，使得 之后的任意两项 ，都有 ，实际上，取 即可。