随着中学素质教育的实施,中考试题的“选拔性”与“能力性”兼容,命题由“知识性”立意向“素质性”、“能力性”立意转变,试题改革与时俱进,推陈出新,加强了探索性、开放性问题的考察,让学生在这类问题的探索中,思维得到了锤炼,创新思维得到了发展。所以在一些中考试题中加强了对学生独立思考能力的考察,问题中出现一部分需要解答者自寻结论的内容,这就是所谓的探索题,存在性问题就是其中的一种。
　　存在性问题可抽象为“已知事项M,是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在,通常的方法是将对象Q构造出来;若要说明Q不存在,可先假设存在Q,然后由此出发进行推论,并导致矛盾,从而否定Q的存在。
　　其中的解题技巧是:在探索过程中,应从观察特殊情况开始,碰巧它正好满足条件,因而在“有”或“没有”两个方向中很快选定了“有”,接下来只要把满足条件的所有对象都求出,事情就比较好办了。
　　下面仅就近两年部分省市的中考题,谈谈这类问题的解决方法。
　　1.已知:如图1,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3。分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系。F是边BC上的一个动点(不与B、C重合),过F点
　　的反比例函数 (k>0)的图象与AC边交于点E。
　　(1)求证:△AOE与△BOF的面积相等;
　　(2)记S=S△OEF-S△ECF,求当k为何值时,S有最大值,最大值是多少?
　　(3)请探索:是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由。
　　
　　图1
　　解:(1)证明:设E(x1,y1),F(x2,y2),△AOE与△FOB
　　的面积分别为S1,S2,由题意得 , 。
　　∴ , 。
　　∴S1=S2,即△AOE与△FOB的面积相等。
　　(2)由题意知:E,F两点坐标分别为E ,F
　　∴S△ECF= ECCF=
　　∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF=12- k- k
　　-S△ECF=12-k-S△ECF
　　∴S=S△OEF-S△ECF=12-k-2S△ECF=12-k-2×
　　∴S=- k2+k。
　　当k= =6时,S有最大值。
　　S最大值= =3
　　(3)解:设存在这样的点F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,过点E作EN⊥OB,垂足为N,如图2所示。
　　由题意得:EN=AO=3,
　　EM=EC=4- k,MF=CF
　　=3- k,∵∠EMN+∠FMB
　　=∠FMB+∠MFB=90º,∴∠EMN=∠MFB。
　　又∵∠ENM=∠MBF=90º,∴△ENM∽△MBF。
　　∴ ,∴ ;
　　∴MB= 。
　　∵MB2+BF2=MF2,∴ ,解得k= 。
　　∴BF= = 。
　　∴存在符合条件的点F,它的坐标为 。
　　2.如图3,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,
　　tan∠ACO= 。
　　(1)求这个二次函数的表达式。
　　(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由。
　　(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度。
　　(4)如图4,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积。
　　解:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)。
　　将A、B、C三点的坐标代入得 ,解得: 。
　　所以这个二次函数的表达式为:y=x2-2x-3。
　　方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)。
　　设该表达式为:y=a(x+1)(x-3)。
　　将C点的坐标代入得:a=1。
　　所以这个二次函数的表达式为:y=x2-2x-3。
　　(2)方法一:存在F点的坐标为(2,-3)。
　　理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:y=-x-3。
　　∴E点的坐标为(-3,0)。
　　由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF。
　　∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。
　　∴存在点F,坐标为(2,-3)。
　　方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:y=-x-3。
　　∴E点的坐标为(-3,0)。
　　∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。
　　∴F点的坐标为(2,-3)或(-2,-3)或(-4,3)。
　　代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合。
　　∴存在点F,坐标为(2,-3)。
　　(3)如图5所示,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R)代入抛物线的表达式,解得:
　　 。
　　②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),则N
　　(r+1,-r),代入抛物线的表达式,解得 。
　　∴圆的半径为 或 。
　　(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
　　易得G(2,-3),直线AG为y=-x-1。
　　设P(x,x2-2x-3),则Q(x,-x-1),PQ=-x2+x+2;
　　S△APG=S△APQ+S△GPQ= (-x2+x+2)×3。
　　当x= 时,△APG的面积最大。
　　此时P点的坐标为 ,S△APG的最大值为 。
　　3.对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2)。
　　(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式。(不必证明)
　　(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛
　　物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
　　解:(1)如:y= x2+ x,y=- x2- x等等
　　(只要写出一个符合条件的函数解析式)
　　(2)假设存在符合条件的抛物线,则对于抛物线y=ax2+bx+c。
　　当x=0时y=c,当x=1时y=a+b+c;
　　由整点抛物线定义知:c为整数,a+b+c为整数。
　　∴a+b必为整数。
　　又当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数。
　　∴2a必为整数,从而a应为 的整数倍。
　　∵a≠0,∴|a|≥ 。
　　∴不存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛物线。