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“由于引进了直角坐标系，抽象的函数性质变得直观、易于理解；解题时若能灵活运用函数的性质，常能事半功倍.今天，我以抛物线的对称性为例来阐明这一点，希望能给大家一些启迪.”Z老师点明了讲座的主题.
例1（2007年常州市中考试题）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=，x=2对应的函数值y=.
③通过调查，你发现当地的自然景观受到了破坏，请写一条广告语，呼吁人们保护我们生存的环境，珍惜我们拥有的资源。(不超过20字)
答:
（2007年四川乐山）
解析：题①考查活动主题的设定，要与奥运会相关，如人文景观、自然景观、经济文化、体育设施、全民健身意识等。题②考查活动过程，由于开展过“社会热点调查”实践活动，所以学生较为熟悉。示例一：收集、整理当地的人文景观、自然景观的相关资料，并实地观察采访。示例二：走访有关部门，了解经济文化、体育设施、全民健身意识等的现状。题③属于语言文字在生活中的实际运用，将“绿色奥运”这一环保主题与公益广告有机结合，让学生尝试用广告的语言（有文采，句式基本工整，有一定号召性）进行创作，通过语言实践，提高语文素养，培养创新能力，达到情感、态度、价值观的整体提升。示例：“行动起来，保护我们的家园！”“前人种下一棵树，后人得惠一片荫。”
H同学说：利用抛物线上三个点就能确定它的解析式，本题中给出了六个点，我选三个坐标相对简单的点：（0，-8）、（-2，0）、（1，-9），代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c中，则c=-8，4a-2b+c=0，a+b+c=-9. 解得a=1，b=-2，c=-8. 即y=x2-2x-8=（x-1）2-9，于是对称轴为x=1；当x=2时，y=-8.
W同学说：我想题中给出六个点，难道仅仅是为了造成条件多余的感觉吗？！我发现当x=-3和x=5时，y都等于7，说明（-3，7）与（5，7）是抛物线上的两个对称点（图1）.为此，对称轴是x=■=1.再利用对称性，x=2时y的值就是x=0时y的值，即y=-8.
Z老师说：H同学利用待定系数法求解析式是解决此类问题的一般方法，应该掌握.但解题时注意到题中并未要求函数的解析式，且给出了六个点，是否还有其它解题途径？W同学正是这样去思考的.由此，我们还可以得到一个结论：抛物线上有两个对称点，它们的横坐标是x1、x2，那么抛物线的对称轴为x=■.
例2对称轴为直线x=■的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），求抛物线的解析式.
L同学说：抛物线经过点A（6，0），对称轴为x=■，得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），因此设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-6），抛物线经过点B（0，4），得6a=4，a=■，所以y=■（x-1）（x-6）=■x2-■x+4.
S同学插话：也可设抛物线为y=a（x-■）2+k，但需求出两个待定系数.
Z老师说：抛物线的解析式常用的有三种形式，L同学用的是y=a（x-x1）（x
-x2），试问：如果抛物线上的两个对称点不在x轴上，设A（x1，y0）、B（x2，y0），那么过A、B两点的抛物线解析式又会是怎样呢？
小清说：我想应该是y-y0=a（x-x1）（x-x2）.设y=ax2+bx+c，因为x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c-y0=0的两个根，这就是说ax2+bx+c-y0=a（x-x1）（x
-x2），即y-y0=a（x-x1）（x-x2）.
在例1中，由（-3，7）和（5，7），可设抛物线的解析式为y-7=a（x+3）（x-5），抛物线经过点（0，-8），有-8-7=-15a，得a=1，抛物线的解析式为y-7=（x+3）
·（x-5），即y=x2-2x-8，和H同学的结果相同.
例3（2007年昆明市中考试题）如图2，在直角坐标系中，点A的坐标为
（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
H同学说：过B作BD⊥x轴于D，在Rt△BOD中∠BOD=60°，则∠OBD=30°，所以OD=■OB=1，BD=■，点B的坐标为1，■.
A（-2，0），O（0，0）是抛物线与x轴的两个交点，设抛物线为y=a（x-0）（x
+2）=ax（x+2），由抛物线过点B1，■，所以■=3a，即a=■，抛物线的解析式为y=■x2＋■x.
显见，抛物线的对称轴为x=-1，由于OB=2为定值，因此，求△BOC周长的最小值就转化为在直线x=-1上找一点C，使CO+CB的值为最小.这是一个大家熟悉的问题，所求C点为O、B两点中的一点与另一点关于x=-1的对称点的连线与直线x=-1的交点，本题中A、O关于对称轴x=-1对称，故连接AB，与对称轴x=-1的交点就是C.
设直线AB方程为y=kx+b，A（-2，0）、B1，■在直线上，有－２k+b=0，k+b=■，解得k=■，b=■.所以y=■x+■. 令x=-1，则y=■，所以
C-1，■.
W同学说：H同学分析透彻.我补充一下，C点的坐标也可这样求，在
Rt△ACE中，∠CAE=30°，■=tan30°，又AE=1，所以CE=tan30°=■，
C-1，■.
例4（2007年南通市中考试题）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台.假设这种品牌的彩电每台降价100x（x为正整数）元，每天可以多销售3x台.（注：利润=销售价-进价）
（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
Z老师说：这是一道应用题，列式并不难.如果每台降价100x元，则销售量为3x+6台，有y=（3900-100x）（3x+6）-3000（3x+6）=（3x+6）（900-100x）
=-300（x2-7x-18）=-300x-■■-■.当x=■时，函数y有最大值.但由于x是正整数，x不能取■，如何解决这个矛盾呢？
S同学说：由于x只取正整数.因此函数的图象不是整条抛物线，而是抛物线y=-300（x2-7x-18）上横坐标为正整数的一些点.由于抛物线开口向下，所以愈接近对称轴的点，y值越大.而x=3与x=4的两个点关于对称轴x=■对称，它们的y值相同.本题所求的最大利润就是当x=3或x=4时，函数y的值为9000元.比较x=3、x=4时的销售价、销售量、营业额，最终问题就能解决.
Z老师说：利用抛物线的对称性，为解题提供了便捷的途径.也许有的同学会说，这些题我都会解，这样的研究有实际的价值吗？我认为做事首要的是讲求效率，从现实情况看，因为考试时间不够，未能完成答卷，甚至出现自己会做都没有来得及做的现象，难道我们见得还少吗？研究解法，就能赢得时间.而对命题者来讲，这正反映了你对知识掌握的程度，体现你的学习能力，这也正是检测的重要目标之一.
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例1（2007年常州市中考试题）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=，x=2对应的函数值y=.
③通过调查，你发现当地的自然景观受到了破坏，请写一条广告语，呼吁人们保护我们生存的环境，珍惜我们拥有的资源。(不超过20字)
答:
（2007年四川乐山）
解析：题①考查活动主题的设定，要与奥运会相关，如人文景观、自然景观、经济文化、体育设施、全民健身意识等。题②考查活动过程，由于开展过“社会热点调查”实践活动，所以学生较为熟悉。示例一：收集、整理当地的人文景观、自然景观的相关资料，并实地观察采访。示例二：走访有关部门，了解经济文化、体育设施、全民健身意识等的现状。题③属于语言文字在生活中的实际运用，将“绿色奥运”这一环保主题与公益广告有机结合，让学生尝试用广告的语言（有文采，句式基本工整，有一定号召性）进行创作，通过语言实践，提高语文素养，培养创新能力，达到情感、态度、价值观的整体提升。示例：“行动起来，保护我们的家园！”“前人种下一棵树，后人得惠一片荫。”
H同学说：利用抛物线上三个点就能确定它的解析式，本题中给出了六个点，我选三个坐标相对简单的点：（0，-8）、（-2，0）、（1，-9），代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c中，则c=-8，4a-2b+c=0，a+b+c=-9. 解得a=1，b=-2，c=-8. 即y=x2-2x-8=（x-1）2-9，于是对称轴为x=1；当x=2时，y=-8.
W同学说：我想题中给出六个点，难道仅仅是为了造成条件多余的感觉吗？！我发现当x=-3和x=5时，y都等于7，说明（-3，7）与（5，7）是抛物线上的两个对称点（图1）.为此，对称轴是x=■=1.再利用对称性，x=2时y的值就是x=0时y的值，即y=-8.
Z老师说：H同学利用待定系数法求解析式是解决此类问题的一般方法，应该掌握.但解题时注意到题中并未要求函数的解析式，且给出了六个点，是否还有其它解题途径？W同学正是这样去思考的.由此，我们还可以得到一个结论：抛物线上有两个对称点，它们的横坐标是x1、x2，那么抛物线的对称轴为x=■.
例2对称轴为直线x=■的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），求抛物线的解析式.
L同学说：抛物线经过点A（6，0），对称轴为x=■，得抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），因此设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-6），抛物线经过点B（0，4），得6a=4，a=■，所以y=■（x-1）（x-6）=■x2-■x+4.
S同学插话：也可设抛物线为y=a（x-■）2+k，但需求出两个待定系数.
Z老师说：抛物线的解析式常用的有三种形式，L同学用的是y=a（x-x1）（x
-x2），试问：如果抛物线上的两个对称点不在x轴上，设A（x1，y0）、B（x2，y0），那么过A、B两点的抛物线解析式又会是怎样呢？
小清说：我想应该是y-y0=a（x-x1）（x-x2）.设y=ax2+bx+c，因为x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c-y0=0的两个根，这就是说ax2+bx+c-y0=a（x-x1）（x
-x2），即y-y0=a（x-x1）（x-x2）.
在例1中，由（-3，7）和（5，7），可设抛物线的解析式为y-7=a（x+3）（x-5），抛物线经过点（0，-8），有-8-7=-15a，得a=1，抛物线的解析式为y-7=（x+3）
·（x-5），即y=x2-2x-8，和H同学的结果相同.
例3（2007年昆明市中考试题）如图2，在直角坐标系中，点A的坐标为
（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
H同学说：过B作BD⊥x轴于D，在Rt△BOD中∠BOD=60°，则∠OBD=30°，所以OD=■OB=1，BD=■，点B的坐标为1，■.
A（-2，0），O（0，0）是抛物线与x轴的两个交点，设抛物线为y=a（x-0）（x
+2）=ax（x+2），由抛物线过点B1，■，所以■=3a，即a=■，抛物线的解析式为y=■x2＋■x.
显见，抛物线的对称轴为x=-1，由于OB=2为定值，因此，求△BOC周长的最小值就转化为在直线x=-1上找一点C，使CO+CB的值为最小.这是一个大家熟悉的问题，所求C点为O、B两点中的一点与另一点关于x=-1的对称点的连线与直线x=-1的交点，本题中A、O关于对称轴x=-1对称，故连接AB，与对称轴x=-1的交点就是C.
设直线AB方程为y=kx+b，A（-2，0）、B1，■在直线上，有－２k+b=0，k+b=■，解得k=■，b=■.所以y=■x+■. 令x=-1，则y=■，所以
C-1，■.
W同学说：H同学分析透彻.我补充一下，C点的坐标也可这样求，在
Rt△ACE中，∠CAE=30°，■=tan30°，又AE=1，所以CE=tan30°=■，
C-1，■.
例4（2007年南通市中考试题）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台.假设这种品牌的彩电每台降价100x（x为正整数）元，每天可以多销售3x台.（注：利润=销售价-进价）
（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
Z老师说：这是一道应用题，列式并不难.如果每台降价100x元，则销售量为3x+6台，有y=（3900-100x）（3x+6）-3000（3x+6）=（3x+6）（900-100x）
=-300（x2-7x-18）=-300x-■■-■.当x=■时，函数y有最大值.但由于x是正整数，x不能取■，如何解决这个矛盾呢？
S同学说：由于x只取正整数.因此函数的图象不是整条抛物线，而是抛物线y=-300（x2-7x-18）上横坐标为正整数的一些点.由于抛物线开口向下，所以愈接近对称轴的点，y值越大.而x=3与x=4的两个点关于对称轴x=■对称，它们的y值相同.本题所求的最大利润就是当x=3或x=4时，函数y的值为9000元.比较x=3、x=4时的销售价、销售量、营业额，最终问题就能解决.
Z老师说：利用抛物线的对称性，为解题提供了便捷的途径.也许有的同学会说，这些题我都会解，这样的研究有实际的价值吗？我认为做事首要的是讲求效率，从现实情况看，因为考试时间不够，未能完成答卷，甚至出现自己会做都没有来得及做的现象，难道我们见得还少吗？研究解法，就能赢得时间.而对命题者来讲，这正反映了你对知识掌握的程度，体现你的学习能力，这也正是检测的重要目标之一.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”