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【摘要】通过构造适当的向量、概率模型，利用向量的内积公式、概率的加法公式及概率的性质来证明不等式.
【关键词】向量；概率模型；内积；不等式
不等式渗透在数学的各个分支，有着十分广泛的应用.不等式的证明蕴含了丰富的逻辑推理，证明过程千姿百态，证明方法灵活多样，对数学各部分知识的融会贯通起到很好的促进作用.对于一些不等式，单纯用不等式的性质及公式，采用传统的证明方法来证明，有时比较困难.学习了向量及概率后，通过构造向量及概率模型，再利用向量的内积公式及概率的加法公式来证明，则显得比较容易.现通过几例说明其用法.
一、用向量的数量积证不等式
对于求证式中含有乘积的和及乘方的和时，可考虑构造适当的向量，利用向量数量积公式a•b=|a||b|cosθ≤|a||b|及其坐标表示的公式来证明.
例1 设ai,bi∈R,i=1,2,3.求证：(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当b1a1=b2a2=b3a3时等号成立.
证明 构造向量p=（a1,a2,a3），q=（b1,b2,b3），则
|p|2=a21+a22+a23，|q|2=b21+b22+b23.
∵(p•q)2=(a1b1+a2b2+a3b3)2，
而(p•q)2=|p|2|q|2cos2θ≤|p|2|q|2=(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)，
即(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2成立.
当b1a1=b2a2=b3a3时，p与q同向或反向，此时θ=0或π，
∴cosθ=±1，cos2θ=1，等号成立.
例2 已知f(x)=1+x2，a≠b，求证：|f(a)-f(b)|<|a-b|.
分析 要证的不等式等价于|1+a2-1+b2|2<|a-b|2，两边化简，得(1+a2)(1+b2)>1+ab，故可构造向量来证.
证明 构造向量p=（1,a），q=（1,b），
∴|p|=1+a2，|q|=1+b2.
则(p•q)=1+ab=|p||q|cosθ≤|p||q|=(1+a2)(1+b2).
∵a≠b，∴p≠q，
∴两向量夹角θ≠0，故等号不成立.
即(1+a2)(1+b2)>1+ab，
两边同乘-2后再加上a2+b2，整理可得
(1+a2-1+b2)2<(a-b)2，
即|1+a2-1+b2|2<|a-b|2.
故|f(a)-f(b)|<|a-b|成立.
二、利用概率的性质及加法公式证不等式
对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑构造概率模型利用概率性质0≤p(A)≤1及加法公式：
p(A1+A2+A3+…+An)=∑ni=1p(Ai)-∑1≤i 例3 已知x,y,z∈(0,1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
分析 求证式去括号后，即x+y+z-xy-yz-xz<1.
证明 设A，B，C是相互独立的三个事件，且p(A)=x,p(B)=y,p(C)=z.
由概率性质0≤p(A+B+C)≤1，得
p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)≤1.
即x+y+z-xy-xz-yz+xyz≤1.
∵x,y,z∈(0,1)，∴xyz>0，∴x+y+z-xy-xz-yz<1.
即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1成立.
例4 已知x∈0,π2，求证：4+sin2x1+2sinx+π4≥2.
分析 原式即4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2，由条件知0≤sinx≤1，0≤cosx≤1，所以即需证2+sinxcosx≥1+sinx+cos，即需证1≥sinx+cosx-sinxcosx成立.显然利用概率模型来证极为简单.
证明 设两独立事件A与B，且p(A)=sinx，p(B)=cosx，则p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=sinx+cosx-sinxcosx≤1，
∴2+sinxcosx≥1+sinx+cosx.
∵x∈0,π2，故sinx≥0，cosx≥0，即得4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2,
∴4+sin2x1+2sinx+π4≥2成立.
例5 若x>1，求证：x3>x+1x-1.
分析 ∵x>1，∴不能将x看做某些事件的概率，但易想到有0<1x<1，这时若将不等式两边同除x3，则可得1>1x2+1x4-1x3，该式基本具备可利用概率模型的条件.
证明 设A，B是两个相互独立事件，
∵x>1，∴0<1x2<1，0<1x4<1.
令p(A)=1x2，p(B)=1x4，则
1>p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=1x2+1x4-1x6.
∵x>1，∴x6>x3，∴-1x6>-1x3.
即1>1x2+1x4-1x3成立，∴x3>x+1x-1成立.
以上几例都是常见的不等式证明题，虽然有的题用常规方法证明也不难，但通过利用构造向量方法或概率方法来证以后，不仅开阔了解题思路，同时也使一些有难度的证题变得容易了，这对于提高学生分析问题、解决问题的能力无疑是有益的.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】向量；概率模型；内积；不等式
不等式渗透在数学的各个分支，有着十分广泛的应用.不等式的证明蕴含了丰富的逻辑推理，证明过程千姿百态，证明方法灵活多样，对数学各部分知识的融会贯通起到很好的促进作用.对于一些不等式，单纯用不等式的性质及公式，采用传统的证明方法来证明，有时比较困难.学习了向量及概率后，通过构造向量及概率模型，再利用向量的内积公式及概率的加法公式来证明，则显得比较容易.现通过几例说明其用法.
一、用向量的数量积证不等式
对于求证式中含有乘积的和及乘方的和时，可考虑构造适当的向量，利用向量数量积公式a•b=|a||b|cosθ≤|a||b|及其坐标表示的公式来证明.
例1 设ai,bi∈R,i=1,2,3.求证：(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当b1a1=b2a2=b3a3时等号成立.
证明 构造向量p=（a1,a2,a3），q=（b1,b2,b3），则
|p|2=a21+a22+a23，|q|2=b21+b22+b23.
∵(p•q)2=(a1b1+a2b2+a3b3)2，
而(p•q)2=|p|2|q|2cos2θ≤|p|2|q|2=(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)，
即(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2成立.
当b1a1=b2a2=b3a3时，p与q同向或反向，此时θ=0或π，
∴cosθ=±1，cos2θ=1，等号成立.
例2 已知f(x)=1+x2，a≠b，求证：|f(a)-f(b)|<|a-b|.
分析 要证的不等式等价于|1+a2-1+b2|2<|a-b|2，两边化简，得(1+a2)(1+b2)>1+ab，故可构造向量来证.
证明 构造向量p=（1,a），q=（1,b），
∴|p|=1+a2，|q|=1+b2.
则(p•q)=1+ab=|p||q|cosθ≤|p||q|=(1+a2)(1+b2).
∵a≠b，∴p≠q，
∴两向量夹角θ≠0，故等号不成立.
即(1+a2)(1+b2)>1+ab，
两边同乘-2后再加上a2+b2，整理可得
(1+a2-1+b2)2<(a-b)2，
即|1+a2-1+b2|2<|a-b|2.
故|f(a)-f(b)|<|a-b|成立.
二、利用概率的性质及加法公式证不等式
对于一类涉及0与1的不等式，常可考虑构造概率模型利用概率性质0≤p(A)≤1及加法公式：
p(A1+A2+A3+…+An)=∑ni=1p(Ai)-∑1≤i
分析 求证式去括号后，即x+y+z-xy-yz-xz<1.
证明 设A，B，C是相互独立的三个事件，且p(A)=x,p(B)=y,p(C)=z.
由概率性质0≤p(A+B+C)≤1，得
p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)≤1.
即x+y+z-xy-xz-yz+xyz≤1.
∵x,y,z∈(0,1)，∴xyz>0，∴x+y+z-xy-xz-yz<1.
即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1成立.
例4 已知x∈0,π2，求证：4+sin2x1+2sinx+π4≥2.
分析 原式即4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2，由条件知0≤sinx≤1，0≤cosx≤1，所以即需证2+sinxcosx≥1+sinx+cos，即需证1≥sinx+cosx-sinxcosx成立.显然利用概率模型来证极为简单.
证明 设两独立事件A与B，且p(A)=sinx，p(B)=cosx，则p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=sinx+cosx-sinxcosx≤1，
∴2+sinxcosx≥1+sinx+cosx.
∵x∈0,π2，故sinx≥0，cosx≥0，即得4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2,
∴4+sin2x1+2sinx+π4≥2成立.
例5 若x>1，求证：x3>x+1x-1.
分析 ∵x>1，∴不能将x看做某些事件的概率，但易想到有0<1x<1，这时若将不等式两边同除x3，则可得1>1x2+1x4-1x3，该式基本具备可利用概率模型的条件.
证明 设A，B是两个相互独立事件，
∵x>1，∴0<1x2<1，0<1x4<1.
令p(A)=1x2，p(B)=1x4，则
1>p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=1x2+1x4-1x6.
∵x>1，∴x6>x3，∴-1x6>-1x3.
即1>1x2+1x4-1x3成立，∴x3>x+1x-1成立.
以上几例都是常见的不等式证明题，虽然有的题用常规方法证明也不难，但通过利用构造向量方法或概率方法来证以后，不仅开阔了解题思路，同时也使一些有难度的证题变得容易了，这对于提高学生分析问题、解决问题的能力无疑是有益的.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文