观察、讨论、实验、推理、辩论等形式引导学生循序渐进,启迪思维,发挥学生的主动性，在新的教育模式下，是一个行之有效的好办法.这不仅改变了以往数学课堂教学中满堂灌的模式，从而使学生由客体转变为主体，更有利于发挥学生的主动性，给学生提供充分的探索空间，变被动学习为主动学习，可以极大地提高学生学习的积极性.在具体的教学中，数学教师要以全新的教学理念、知识体系和教学方式来实施数学的教育功能，设计并提供丰富的数学学习环境，设置恰当的问题.下面笔者就把一节高三数学复习课的问题设计及具体做法介绍给大家，共同分享.
　　下面这道题是2005年上海的一道高考题，虽然是2005年的，但是这道题很具有代表性，特别能够启发学生的观察、讨论、推理、发散思维能力.
　　如图，点A，B分别是椭圆x236+y220=1的长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF，求点P的坐标.
　　解法一 设P(x0,y0),由题知A(-6,0),F(4,0),则
　　PA=(x0+6,y0),PF=(x0-4,y0).
　　∵PA⊥PF,∴PA•PF=0,
　　∴(x0+6)(x0-4)+y20=0.①
　　又 P在椭圆上，有x20a2+y20b2=1.②
　　由①②，得x0=32或x0=-6(舍).
　　又 P在x轴上方，∴y0=523，∴P32，523.
　　解法二 由kPA•kPF=-1，得y0x0+6×y0x0-4=-1.（以下同法一）
　　解法三 由|PA|2+|PF|2=|AF|2，得x20+y20+2x0-24=0.（以下同法一）
　　解题完毕后，传统的做法是，老师再给学生分析一下能者对错，一般情况不让学生去探讨，这也是传统教学模式下的最大常见弊端，不能有效地提高全体学生的学习积极性.在教学中笔者是请同学们思考：是否对任意的椭圆都存在这样的点P？同学们经过讨论后，得到确定的答案：不是.因为什么呢？可以用一个具体的事例来说明.例如，椭圆x225+y224=1就不存在这样的点P.
　　思考一 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），点F，A分别是椭圆左焦点、右顶点，当离心率e为何值时，在椭圆上存在点P，使PF⊥PA？
　　解 A（a,0），F(-c,0)，设P(x0,y0)，由kPA•kPF=-1，
　　得y0x0-a×y0x0+c=-1，x20a2+y20b2=1.
　　∴(b2-a2)x20+a2(a-c)x0+a2(ac-b2)=0，
　　∴x0=a（舍）或x0=a(b2-ac)a2-b2.
　　由x0　　∴a2-2c2-ac<0,∴2e2+e-1>0.
　　∴12　　故当12　　思考二 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），A是椭圆的右顶点，O是坐标原点，当离心率e为何值时，在椭圆上存在点P，使OP⊥PA.
　　解 设P(x0,y0),A(a,0),则
　　y0x0×y0x0-a=-1，x20a2+y20b2=1.
　　(a2-b2)x20-a3x0+a2b2=0，x0=a（舍）或x0=ab2a2-b2.
　　由x0　　∵a>b>0，∴2b2　　故当22　　笔者由一道高考题设置了多个问题，通过一题多变、一题多解的形式，逐步引导学生掌握一类问题的解法，提高学生的数学思维，达到触类旁通.这样可以培养学生的逆向思维和多向思维，让学生的思维呈现“发散——会聚——发散”的交替过程，使学生经历观察、实验、猜想、推理、交流等理性思维过程，逐步引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动地思维而将新知识内化到自己的认知结构中去，从而提高学生的数学思维能力，进而达到“问能解惑，问能知新”，即学问学问，在学中问，在问中学.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文