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【摘要】在人教版教材“小数的意义”学习中，有这样一段话“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”。由此，有相当一部分学生甚至有些教师都认为，小数仅仅是十进分数的另一种表示方式，对小数的本质意义缺乏深刻认识。笔者在学习相关资料的基础上，对小数学习的价值进行了分析，明确了小学阶段两次学习小数所承载的不同任务，分析了分数在小数学习中所发挥的作用，并以“小数的意义”一课为例，利用有效学习模型，设计有价值的学习活动，凸显小数本质，使学生实现对小数的“意义建构”。
【关键词】小数 本质 活动 意义建构
一、学生错误引发的思考
在学习了人教版数学四年级下册“小数的意义”一课之后，部分学生在作业中出现了这样的问题（如下图）：
从学生的错误可以看出，学生仅仅记住了教材上所说的“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”这一事实性结论，只会将分数从形式上改写成小数的模样，并没有真正理解小数的本质意义。
那么小数仅仅是十进分数的另一种表示形式吗？小数的本质意义与学习价值是什么？“分數”在“小数意义”的学习过程中发挥着怎样的作用？有关“小数”的学习为什么分为三年级“小数的初步认识”和四年级“小数的意义和性质”两个阶段进行？这两段学习承载的任务分别是什么？借助哪些模型、设计哪些活动能帮助学生更好地理解小数的本质意义？
带着这样的思考，笔者对有关小数的学习进行了深入的思考与实践研究。
二、对有关小数学习的理解与认识
1.小数的本质意义与学习价值分析
张奠宙教授在《小学数学研究》一书中写道：小数的出现，是基于十进制表示数量的需要，是十进位值制记数向相反方向延伸的结果。具体来说就是，人们在度量物体的过程中，总是把容易感知、触及的量作为合适的单位。如一尺、一斤、一元等，然后依十进制发展出大数目的位值系统。然而，社会生活往往还需要比单位“1”更小的计量，于是，有了尺以下的寸、分 ;斤以下的两、钱;元以下的角、分。按照十进制的要求，产生10寸为一尺、10两为一斤、10角为一元的设置。这是十进位制记数制度沿着相反方向的延伸。因此，小数产生的本原在于计量的需要，并非分数概念的附庸。
由此我们可以获得两点启示：第一，小数产生于度量;第二，小数的学习，应使学生对十进位值制记数向相反方向延伸有突破性认识。
马克思在《数学手稿》一书中写道：十进位值制记数法为人类“最妙的发明之一”。在十进制概念的学习中，小数的学习是一个转折点。整数部分是由“1”开始越聚越多，且相邻计数单位之间的进率是十;而小数则是从“1”开始分，越分越小，它是十进位值制记数向相反方向延伸的结果，也是数的一次扩充——小数与分数的学习，带领学生开始从“微观”的视角来认识数，因此对于学生来说更为抽象，也更难理解。因此教材将小数的学习分为了两个阶段。
2.小数学习的两个阶段所承载的任务分析
小学生对“数概念”意义的理解主要包括数学意义和现实意义。数概念的数学意义主要指的是“数”是由不同计数单位及其个数相乘再累加构成的。自然数因为是十进位值制的，所以计数单位是一（个）、十、百……不同计数单位与其个数乘积的累加就构成了全部的自然数。小数也是如此，小数的计数单位十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……与其个数乘积的累加就构成了全部的小数。因此，小数计数单位的认识、小数的组成是学习小数的数学意义的重要内容。除数学意义外，数概念还蕴含着丰富的现实意义，如小数所表示的具体数量的含义。人教版数学关于小数的学习主要分为两个阶段：三年级“小数的初步认识”和四年级“小数的意义和性质”。三年级主要是从形式上认识小数，会读、写小数，知道商品标价和测量中的小数所表示的实际意义。四年级则要从具体“数量”的认识抽象到对“数”的理解，知道小数的产生，认识小数的计数单位及组成，并对小数的本质有较为深入的理解。
3.分数在小数学习过程中所承载的任务
前面提到，小数并非分数概念的附庸。那么，能不能脱离分数，直接认识小数呢？显然不行。以小数0.3为例，无论是用图形表征还是用语言表征0.3的含义，其表征方式都与分数的表征方式是一样的，所以说小数是十进分数的另一种表示方式也不无道理。十进分数的图形表征和语言表征对于学习理解小数的意义具有重要作用。因此，在三年级学习小数之前，教材首先编排了“分数的初步认识”。
三、设计有效活动，凸显小数本质，实现意义建构
由于小数在生活中有广泛的应用，学生在正式学习小数之前已有了丰富的购物、测量等生活经验，因此，在三年级学习“小数的初步认识”时，教师可以从学生的生活经验出发，让学生结合人民币、度量等情境，学习读、写小数，说明小数的具体含义，再借助几何直观模型（图形表征）沟通小数与十进分数的联系。
那么，在四年级学习“小数的意义”一课时，又该设计哪些活动，才能更好地凸显小数的本质意义呢？基于对小数内容的深度思考，笔者设计了如下活动：
活动一：请学生根据0.3的含义，在计数器上表示0.3。
活动设计意图：为了让学生体会小数是十进位值制记数向相反方向的延伸，必须将小数放在十进位值制系统里来认识。而既能反映十进关系又能体现位值思想的最好的直观模型就是计数器。因此，用计数器表示0.3，成为学生实现认知突破的关键活动。
活动实施及效果：对于计数器，学生并不陌生，也有丰富的用计数器表示自然数的经验。但学生以往对十进制记数法的认识是从“1”开始，满十进一，从右向左越聚越多;而在计数器上拨小数的活动，是从“1”开始，将 “1”十等分，从左向右越分越小。这种认识方向的相反性和行为操作的不同性，对学生来说还是有一定困难的。为了保证活动的有效实施，教师要组织学生对三年级所学习的有关小数与分数的知识进行回顾与抽象。首先可以结合方格图，让学生说说0.3的含义，从图形表征和语言表征两方面明确0.3的意义，同时强化十等分的过程。在此基础上，将小数0.3与分数建立联系，借助分数的意义，更好地说清小数的意义。有了这些知识基础与经验的支撑，学生在计数器上表示0.3就不会无从下手了。 在课堂教学实践中，大多数学生能在个位右边的一位上拨出3颗珠子表示0.3，并能说明自己的想法。也有部分学生在十位上或个位上拨珠子。在反馈交流时，通过强化“0.3比1小” “要将1十等分”等关键信息，帮助学生实现十进位值制向相反方向的突破。接着可以让学生表示出其他的一位小数，继而认识一位小数的计数单位（十分之一或0.1）和新的数位（十分位）及一位小数的组成。
活动二：
（1）如下图，在测量长方形的过程中，长方形的宽比0.3长，但又不到0.4，怎样才能准确表示出长方形的宽呢？这个长方形的宽是多少？
活动设计意图：由于小数的产生源于精准度量的需要，让学生經历测量中寻找更小的计数单位的过程，既和小数产生与发展的过程相一致，又使学生体会到创造一个新的计数单位的必要性。让学生亲历将每个小格十等分，最终将 “1”平均分成100份的过程，不仅能让学生更好地理解0.01的意义，还为学生理解0.01与0.1、0.01与1的关系提供了直观经验。
活动实施及效果：在实践教学中，学生首先提出将0.3与0.4之间的一段平均分成10份，就可以表示出长方形的宽是0.32;再让学生解释0.32中的“2”在图中是哪两个小格、其中的一个小格是什么意思，使学生意识到还要把每段都平均分成十份，也就是将“1”平均分成100份。这样，学生认识了一个更小的计数单位0.01，并以0.01为单位，认识更多的两位小数。
（2）请学生在方格图和计数器中分别表示出0.32，并想想两者之间有什么联系。
活动设计意图：对两位小数意义的理解是学习小数意义的重要环节，学生理解数的意义的一个重要表现就是能用多种方法表示数。教师在这里提供方格纸和计数器两种不同的模型，一方面看学生能否用不同的计数单位说明小数的组成，另一方面让学生更好地体会小数中所蕴含的十进位值制思想。
活动实施及效果：学生在用方格图表示0.32时，出现了以下三种不同的画法：
通过交流比较学生发现，每个小格都表示0.01，不管怎样涂，只要涂出32个小格就能表示0.32，32个0.01就是0.32。在用计数器表示0.32时，学生能说明不同位置上每个珠子所表示的数，渗透了位值思想，明确0.32里面有3个0.1和2个0.01。在进一步勾连方格图和计数器联系的过程中，学生发现10个0.01是1个0.1。
活动三：将“1”平均分成10份、100份，我们认识了计数单位0.1和0.01以及一位小数和两位小数，将“1”继续分下去，你还能创造出新的计数单位和相关的小数吗？
活动设计意图：借助想象，类比迁移，让学生认识计数单位“0.001”以及更小的计数单位和相关的小数，感受小数单位越分越小。
活动实施及效果：通过想象将“1”继续平均分下去，学生认识到还有更小的计数单位，十进制记数法向相反方向的延伸也是无限的。
活动四：从“一”开始，我们认识了整数的计数单位和进率，又认识了小数的计数单位和进率，结合计数单位排列顺序表，说说自己有什么发现和感受，找一找谁最重要。
活动设计意图：帮助学生梳理计数单位排列顺序表，使知识结构化;在梳理的过程中，感受整数部分越聚越多，小数部分越分越小及“一”的重要性。
活动实施及效果：学生观察顺序表，认识到不论是整数还是小数，相邻两个计数单位的进率都是10;计数单位往左越来越大，往右越来越小;还有的学生发现这个顺序表是以“一”为中心的，似乎是对称的;体会到这些计数单位中“一”的重要性。
总之，只有深度挖掘教材，才能把握小数的本质，再通过有效的数学活动，对小数意义的学习才能实现从“形式改写”走向“意义建构”。
【参考文献】
张奠宙.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
【关键词】小数 本质 活动 意义建构
一、学生错误引发的思考
在学习了人教版数学四年级下册“小数的意义”一课之后，部分学生在作业中出现了这样的问题（如下图）：
从学生的错误可以看出，学生仅仅记住了教材上所说的“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”这一事实性结论，只会将分数从形式上改写成小数的模样，并没有真正理解小数的本质意义。
那么小数仅仅是十进分数的另一种表示形式吗？小数的本质意义与学习价值是什么？“分數”在“小数意义”的学习过程中发挥着怎样的作用？有关“小数”的学习为什么分为三年级“小数的初步认识”和四年级“小数的意义和性质”两个阶段进行？这两段学习承载的任务分别是什么？借助哪些模型、设计哪些活动能帮助学生更好地理解小数的本质意义？
带着这样的思考，笔者对有关小数的学习进行了深入的思考与实践研究。
二、对有关小数学习的理解与认识
1.小数的本质意义与学习价值分析
张奠宙教授在《小学数学研究》一书中写道：小数的出现，是基于十进制表示数量的需要，是十进位值制记数向相反方向延伸的结果。具体来说就是，人们在度量物体的过程中，总是把容易感知、触及的量作为合适的单位。如一尺、一斤、一元等，然后依十进制发展出大数目的位值系统。然而，社会生活往往还需要比单位“1”更小的计量，于是，有了尺以下的寸、分 ;斤以下的两、钱;元以下的角、分。按照十进制的要求，产生10寸为一尺、10两为一斤、10角为一元的设置。这是十进位制记数制度沿着相反方向的延伸。因此，小数产生的本原在于计量的需要，并非分数概念的附庸。
由此我们可以获得两点启示：第一，小数产生于度量;第二，小数的学习，应使学生对十进位值制记数向相反方向延伸有突破性认识。
马克思在《数学手稿》一书中写道：十进位值制记数法为人类“最妙的发明之一”。在十进制概念的学习中，小数的学习是一个转折点。整数部分是由“1”开始越聚越多，且相邻计数单位之间的进率是十;而小数则是从“1”开始分，越分越小，它是十进位值制记数向相反方向延伸的结果，也是数的一次扩充——小数与分数的学习，带领学生开始从“微观”的视角来认识数，因此对于学生来说更为抽象，也更难理解。因此教材将小数的学习分为了两个阶段。
2.小数学习的两个阶段所承载的任务分析
小学生对“数概念”意义的理解主要包括数学意义和现实意义。数概念的数学意义主要指的是“数”是由不同计数单位及其个数相乘再累加构成的。自然数因为是十进位值制的，所以计数单位是一（个）、十、百……不同计数单位与其个数乘积的累加就构成了全部的自然数。小数也是如此，小数的计数单位十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……与其个数乘积的累加就构成了全部的小数。因此，小数计数单位的认识、小数的组成是学习小数的数学意义的重要内容。除数学意义外，数概念还蕴含着丰富的现实意义，如小数所表示的具体数量的含义。人教版数学关于小数的学习主要分为两个阶段：三年级“小数的初步认识”和四年级“小数的意义和性质”。三年级主要是从形式上认识小数，会读、写小数，知道商品标价和测量中的小数所表示的实际意义。四年级则要从具体“数量”的认识抽象到对“数”的理解，知道小数的产生，认识小数的计数单位及组成，并对小数的本质有较为深入的理解。
3.分数在小数学习过程中所承载的任务
前面提到，小数并非分数概念的附庸。那么，能不能脱离分数，直接认识小数呢？显然不行。以小数0.3为例，无论是用图形表征还是用语言表征0.3的含义，其表征方式都与分数的表征方式是一样的，所以说小数是十进分数的另一种表示方式也不无道理。十进分数的图形表征和语言表征对于学习理解小数的意义具有重要作用。因此，在三年级学习小数之前，教材首先编排了“分数的初步认识”。
三、设计有效活动，凸显小数本质，实现意义建构
由于小数在生活中有广泛的应用，学生在正式学习小数之前已有了丰富的购物、测量等生活经验，因此，在三年级学习“小数的初步认识”时，教师可以从学生的生活经验出发，让学生结合人民币、度量等情境，学习读、写小数，说明小数的具体含义，再借助几何直观模型（图形表征）沟通小数与十进分数的联系。
那么，在四年级学习“小数的意义”一课时，又该设计哪些活动，才能更好地凸显小数的本质意义呢？基于对小数内容的深度思考，笔者设计了如下活动：
活动一：请学生根据0.3的含义，在计数器上表示0.3。
活动设计意图：为了让学生体会小数是十进位值制记数向相反方向的延伸，必须将小数放在十进位值制系统里来认识。而既能反映十进关系又能体现位值思想的最好的直观模型就是计数器。因此，用计数器表示0.3，成为学生实现认知突破的关键活动。
活动实施及效果：对于计数器，学生并不陌生，也有丰富的用计数器表示自然数的经验。但学生以往对十进制记数法的认识是从“1”开始，满十进一，从右向左越聚越多;而在计数器上拨小数的活动，是从“1”开始，将 “1”十等分，从左向右越分越小。这种认识方向的相反性和行为操作的不同性，对学生来说还是有一定困难的。为了保证活动的有效实施，教师要组织学生对三年级所学习的有关小数与分数的知识进行回顾与抽象。首先可以结合方格图，让学生说说0.3的含义，从图形表征和语言表征两方面明确0.3的意义，同时强化十等分的过程。在此基础上，将小数0.3与分数建立联系，借助分数的意义，更好地说清小数的意义。有了这些知识基础与经验的支撑，学生在计数器上表示0.3就不会无从下手了。 在课堂教学实践中，大多数学生能在个位右边的一位上拨出3颗珠子表示0.3，并能说明自己的想法。也有部分学生在十位上或个位上拨珠子。在反馈交流时，通过强化“0.3比1小” “要将1十等分”等关键信息，帮助学生实现十进位值制向相反方向的突破。接着可以让学生表示出其他的一位小数，继而认识一位小数的计数单位（十分之一或0.1）和新的数位（十分位）及一位小数的组成。
活动二：
（1）如下图，在测量长方形的过程中，长方形的宽比0.3长，但又不到0.4，怎样才能准确表示出长方形的宽呢？这个长方形的宽是多少？
活动设计意图：由于小数的产生源于精准度量的需要，让学生經历测量中寻找更小的计数单位的过程，既和小数产生与发展的过程相一致，又使学生体会到创造一个新的计数单位的必要性。让学生亲历将每个小格十等分，最终将 “1”平均分成100份的过程，不仅能让学生更好地理解0.01的意义，还为学生理解0.01与0.1、0.01与1的关系提供了直观经验。
活动实施及效果：在实践教学中，学生首先提出将0.3与0.4之间的一段平均分成10份，就可以表示出长方形的宽是0.32;再让学生解释0.32中的“2”在图中是哪两个小格、其中的一个小格是什么意思，使学生意识到还要把每段都平均分成十份，也就是将“1”平均分成100份。这样，学生认识了一个更小的计数单位0.01，并以0.01为单位，认识更多的两位小数。
（2）请学生在方格图和计数器中分别表示出0.32，并想想两者之间有什么联系。
活动设计意图：对两位小数意义的理解是学习小数意义的重要环节，学生理解数的意义的一个重要表现就是能用多种方法表示数。教师在这里提供方格纸和计数器两种不同的模型，一方面看学生能否用不同的计数单位说明小数的组成，另一方面让学生更好地体会小数中所蕴含的十进位值制思想。
活动实施及效果：学生在用方格图表示0.32时，出现了以下三种不同的画法：
通过交流比较学生发现，每个小格都表示0.01，不管怎样涂，只要涂出32个小格就能表示0.32，32个0.01就是0.32。在用计数器表示0.32时，学生能说明不同位置上每个珠子所表示的数，渗透了位值思想，明确0.32里面有3个0.1和2个0.01。在进一步勾连方格图和计数器联系的过程中，学生发现10个0.01是1个0.1。
活动三：将“1”平均分成10份、100份，我们认识了计数单位0.1和0.01以及一位小数和两位小数，将“1”继续分下去，你还能创造出新的计数单位和相关的小数吗？
活动设计意图：借助想象，类比迁移，让学生认识计数单位“0.001”以及更小的计数单位和相关的小数，感受小数单位越分越小。
活动实施及效果：通过想象将“1”继续平均分下去，学生认识到还有更小的计数单位，十进制记数法向相反方向的延伸也是无限的。
活动四：从“一”开始，我们认识了整数的计数单位和进率，又认识了小数的计数单位和进率，结合计数单位排列顺序表，说说自己有什么发现和感受，找一找谁最重要。
活动设计意图：帮助学生梳理计数单位排列顺序表，使知识结构化;在梳理的过程中，感受整数部分越聚越多，小数部分越分越小及“一”的重要性。
活动实施及效果：学生观察顺序表，认识到不论是整数还是小数，相邻两个计数单位的进率都是10;计数单位往左越来越大，往右越来越小;还有的学生发现这个顺序表是以“一”为中心的，似乎是对称的;体会到这些计数单位中“一”的重要性。
总之，只有深度挖掘教材，才能把握小数的本质，再通过有效的数学活动，对小数意义的学习才能实现从“形式改写”走向“意义建构”。
【参考文献】
张奠宙.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.