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摘要对于结构体系可靠度而言,由于构件多而且组成形式复杂,导致结构的功能函数往往十分复杂甚至写不出其解析表达式,传统的可靠度计算理论难以应用。本文提出将响应面方法和非线性有限元分析结合起来对结构体系可靠度进行计算的新方法。首先简单介绍一下可靠度和响应面法的基本理论,然后通过一个实例说明这种方法的可行性。
关键词响应面法 结构极限承载力 可靠度
中图分类号:TU312文献标识码:A
1 结构可靠度的基本理论
结构的可靠度是指结构在规定条件下和规定时间内,完成规定功能的概率。①描述一个结构是否安全,可用结构的可靠概率Ps来表示,Ps越大,结构越安全;也常常用结构的失效概率Pf来表示,Pf越小,结构越安全。
设R和S分别为结构的承载能力和荷载效应,它们的概率密度函数分别为fR(r)和fs(s)。这样结构的功能函数就可以写成:
容易看出Ps+Pf=1。实际工程中用Pf表示结构可靠度更方便,故一般采用Pf作为结构可靠性的度量。②
由于结构体系的功能函数十分复杂,而且基本随机变量的联合概率密度函数也难以得到,故在在结构体系可靠度计算中一般不采用(1)或(2)式计算,而是采用比较简便的近似计算方法,先求得结构的可靠度指标,再去求相应的失效概率。下面介绍的响应面法就是这样的一种方法。
2 响应面法
影响面法是新近提出的对极限状态方程进行数值近似的一种有效方法,其最早是由数学家Box和Wilson于1951年提出来的。指导思想是用一个合适的梯度函数(Graduating Function),在随机变量空间内我们关心的局部区域上,用简化的数学函数方程式近似表达一个未知的函数(即是極限状态方程),之后可以利用拟合出来的函数方程式在这个区域内近似表达极限状态方程,这个拟合的过程就叫影响面法。③
假设结构体系效应Y可以看成是随机输入变量X1,X2,…,Xn的函数:Y=g(X1,X2,…,Xn)(3)
假设Y在随机输入变量X1,X2,…,Xn变量空间里是连续的光滑函数,这样我们可以将g(X)在点Z=(X1,X2,…,Xn)作泰勒展开:
(4)
转化为多项式形式,
(5)
上式中的b0、bi、bii、bi,j为未知的待定系数,可通过试验值或者数值分析结果利用最小二乘法进行回归分析后得到。一旦确定了这个表达式,就可以用它来近似表达功能函数。
3 基于响应面方法的结构承载力可靠度分析
影响面法有一个很好的性能就是如果各个随机变量的样本点取值合理,是可以利用较少几组数据就可以拟合出在随机变量变化范围内的极限状态的影响面表达式,这样我们就可以利用有限的几组珍贵数据进行对结构体系承载能力的可靠度分析。
利用响应面法计算体系承载力可靠度的步骤如下:④(1)首先确定结构的随机变量的分布模型和参数,这一般可以通过实验分析得到或者参考相关的统计资料;(2)通过敏感性分析,确定对结构体系承载力影响比较显著的随机变量,一般取敏感性最大的前三个变量;(3)通过各随机变量的特殊样本值,计算结构体系的承载能力值,这一般通过数值分析方法,利用有限元进行计算;(4)利用样本点组拟合出功能函数的影响面方程表达式,这要通过最小二乘法对其拟合;(5)利用求解出的影响面方程求解结构体系承载能力的可靠指标,计算其失效概率,这要利用可靠度计算理论中的一次二阶矩方法。
4 算例
假设一铁路桁架桥,其基本参数如下:(1)桥宽10m、桥长72 m、高12 m、每个节段长12 m;(2)材料性能:采用Q235钢材,E=2.1E11,塑性模量为0、=0.3、=7850;(3)截面尺寸:上、下弦梁和横梁:
A=0.02344、Iy=0.000965261333、Iz=0.000324513813、TKZ=0.46、TKY=0.46;
端斜梁:
A=0.02904、Iy=0.001236488、Iz=0.000720060480、TKZ=0.6、TKY=0.46;
其他腹杆:A=0.01492;
建立的有限元模型如下图所示,
通过敏感性分析可知上、下弦梁和横梁面积A1、端斜梁面积A2、腹杆面积A3对结构整体影响最为显著。故可采用这三个随机变量对体系可靠度进行分析。假设它们的分布模型和参数如下表所示,
通过对随机变量取样本点,进行确定性结构承载力分析,得到的分析结果如下表2所示,
通过对表2的模拟结果进行回归分析,即可得到体系承载力响应面中的待定系数,进而得到结构体系承载力的响应面方程,如下式所示,
求得了承载力的响应面方程,我们就可以写出如下式所示的承载能力极限状态方程:
其中S为体系所受的荷载,这里仅考虑活载作用,定义活载FZZ为高斯分布,均值为5.52e5,变异系数取0.1。
由一次二阶矩方法可以算得结构体系承载力的可靠度=5.62,即失效概率为Pf=9.55e-9。
5 结论
将影响面法和非线性有限元分析结合起来,采用实验设计数据进行单次确定性极限承载力计算,根据计算结果拟合出结构体系承载能力的影响面方程,最后得出结构系统的极限承载力的极限状态方程,计算出体系的可靠度。
注释
①张伟主编.结构可靠性理论与应用.科学出版社,2008.1.
②贡金鑫,魏巍巍编著.工程结构可靠性设计原理.机械工业出版社,2007.
③王永胜.基于响应面法和蒙特卡罗法的混凝土结构可靠性分析.西安建筑科技大学(硕士学位论文),2003.
④李广慧,刘晨宇,托拉·欧尼弗里奥.响应面法及其在桥梁体系可靠度分析中的运用.郑州大学学报(工学版),2004(25).
关键词响应面法 结构极限承载力 可靠度
中图分类号:TU312文献标识码:A
1 结构可靠度的基本理论
结构的可靠度是指结构在规定条件下和规定时间内,完成规定功能的概率。①描述一个结构是否安全,可用结构的可靠概率Ps来表示,Ps越大,结构越安全;也常常用结构的失效概率Pf来表示,Pf越小,结构越安全。
设R和S分别为结构的承载能力和荷载效应,它们的概率密度函数分别为fR(r)和fs(s)。这样结构的功能函数就可以写成:
容易看出Ps+Pf=1。实际工程中用Pf表示结构可靠度更方便,故一般采用Pf作为结构可靠性的度量。②
由于结构体系的功能函数十分复杂,而且基本随机变量的联合概率密度函数也难以得到,故在在结构体系可靠度计算中一般不采用(1)或(2)式计算,而是采用比较简便的近似计算方法,先求得结构的可靠度指标,再去求相应的失效概率。下面介绍的响应面法就是这样的一种方法。
2 响应面法
影响面法是新近提出的对极限状态方程进行数值近似的一种有效方法,其最早是由数学家Box和Wilson于1951年提出来的。指导思想是用一个合适的梯度函数(Graduating Function),在随机变量空间内我们关心的局部区域上,用简化的数学函数方程式近似表达一个未知的函数(即是極限状态方程),之后可以利用拟合出来的函数方程式在这个区域内近似表达极限状态方程,这个拟合的过程就叫影响面法。③
假设结构体系效应Y可以看成是随机输入变量X1,X2,…,Xn的函数:Y=g(X1,X2,…,Xn)(3)
假设Y在随机输入变量X1,X2,…,Xn变量空间里是连续的光滑函数,这样我们可以将g(X)在点Z=(X1,X2,…,Xn)作泰勒展开:
(4)
转化为多项式形式,
(5)
上式中的b0、bi、bii、bi,j为未知的待定系数,可通过试验值或者数值分析结果利用最小二乘法进行回归分析后得到。一旦确定了这个表达式,就可以用它来近似表达功能函数。
3 基于响应面方法的结构承载力可靠度分析
影响面法有一个很好的性能就是如果各个随机变量的样本点取值合理,是可以利用较少几组数据就可以拟合出在随机变量变化范围内的极限状态的影响面表达式,这样我们就可以利用有限的几组珍贵数据进行对结构体系承载能力的可靠度分析。
利用响应面法计算体系承载力可靠度的步骤如下:④(1)首先确定结构的随机变量的分布模型和参数,这一般可以通过实验分析得到或者参考相关的统计资料;(2)通过敏感性分析,确定对结构体系承载力影响比较显著的随机变量,一般取敏感性最大的前三个变量;(3)通过各随机变量的特殊样本值,计算结构体系的承载能力值,这一般通过数值分析方法,利用有限元进行计算;(4)利用样本点组拟合出功能函数的影响面方程表达式,这要通过最小二乘法对其拟合;(5)利用求解出的影响面方程求解结构体系承载能力的可靠指标,计算其失效概率,这要利用可靠度计算理论中的一次二阶矩方法。
4 算例
假设一铁路桁架桥,其基本参数如下:(1)桥宽10m、桥长72 m、高12 m、每个节段长12 m;(2)材料性能:采用Q235钢材,E=2.1E11,塑性模量为0、=0.3、=7850;(3)截面尺寸:上、下弦梁和横梁:
A=0.02344、Iy=0.000965261333、Iz=0.000324513813、TKZ=0.46、TKY=0.46;
端斜梁:
A=0.02904、Iy=0.001236488、Iz=0.000720060480、TKZ=0.6、TKY=0.46;
其他腹杆:A=0.01492;
建立的有限元模型如下图所示,
通过敏感性分析可知上、下弦梁和横梁面积A1、端斜梁面积A2、腹杆面积A3对结构整体影响最为显著。故可采用这三个随机变量对体系可靠度进行分析。假设它们的分布模型和参数如下表所示,
通过对随机变量取样本点,进行确定性结构承载力分析,得到的分析结果如下表2所示,
通过对表2的模拟结果进行回归分析,即可得到体系承载力响应面中的待定系数,进而得到结构体系承载力的响应面方程,如下式所示,
求得了承载力的响应面方程,我们就可以写出如下式所示的承载能力极限状态方程:
其中S为体系所受的荷载,这里仅考虑活载作用,定义活载FZZ为高斯分布,均值为5.52e5,变异系数取0.1。
由一次二阶矩方法可以算得结构体系承载力的可靠度=5.62,即失效概率为Pf=9.55e-9。
5 结论
将影响面法和非线性有限元分析结合起来,采用实验设计数据进行单次确定性极限承载力计算,根据计算结果拟合出结构体系承载能力的影响面方程,最后得出结构系统的极限承载力的极限状态方程,计算出体系的可靠度。
注释
①张伟主编.结构可靠性理论与应用.科学出版社,2008.1.
②贡金鑫,魏巍巍编著.工程结构可靠性设计原理.机械工业出版社,2007.
③王永胜.基于响应面法和蒙特卡罗法的混凝土结构可靠性分析.西安建筑科技大学(硕士学位论文),2003.
④李广慧,刘晨宇,托拉·欧尼弗里奥.响应面法及其在桥梁体系可靠度分析中的运用.郑州大学学报(工学版),2004(25).