论文部分内容阅读
摘要：九年级数学《相似形》的第五节相似三角形的性质的教学，以笔者的经验，通过联系三角形全等的性质来类比教学，更能让学生接受。本文就针对于此展开论述。
关键词：数学教学；类比教学；教学感受
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）04-0099
九年级数学《相似形》的第五节相似三角形的性质的教学，以笔者的经验，通过联系三角形全等的性质来类比教学，更能让学生接受。
全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，从而推出：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等。
这就是说：“全等”对应着“相等”，而相似三角形的性质显然有：对应边成比例、对应角相等。能否类似地推出：对应高、对应中线、对应角平分线分别成比例。也就是说：“相似”对应着“边成比例”。让学生自觉阅读后掌握此性质，这就达到了预期的效果。
全等三角形的对应高相等，证明方法有两种：1.利用对应角相等、对应边相等，再用AAS可证；2.利用面积相等、对应边相等也可证得对应高相等。而相似三角形的对应高成比例的证明，只利用了对应角相等来证，仅此一法。而这正是突出了利用两个角对应相等的两个三角形相似的判定方法。
至于利用对应高成比例来说明边角废料的充分利用，在教材中更为重要，在全等三角形对应高相等的应用知识可看以下探究过程：
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）。
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1。
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∵△ABC∽△A′B′C′
AB⊥BC，A′D′⊥B′C′
■=■=K
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成。
分析示意图：结论→∽（欠缺条件）→∽（已知）
△ABC∽△A′B′C′
BM=MC，B′M′⊥M′C′
■=■=K
∴△ABC∽△A′B′C′
∴∠1=∠2，∠3=∠4
■=■=K
以上两种情况的证明可由学生完成。
应用：如图，A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN，求证：MN∥AD。
证明分析：若MN∥AD，则MN上的点到AD上的距离都相等，现在反过来，MN上的两点到AD的距离相等时，MN是否与AD平行？
过M、N分别作AD的垂线段MP、NQ易证：△AMB≌△CND（SSS），故MP=NQ.∴四边形MNQP是矩形（易证），∴MN∥PQ，故MN∥AD。
相似三角形性质的应用主要运用在以下几个方面：
一、证明比例式和乘积式
例如：例1. △ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE。
解析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF∶FE=BC∶AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：
证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，
∵DK∥AB，∴DF∶FE=BK∶BE
又∵AD=BE，∴DF∶FE=BK∶AD，而BK∶AD=BC∶AC
即DF：FE= BC：AC，∴DF·AC=BC·FE
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MD·ME；
（2）■=■
证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，
（上接第99页）
∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴■=■，∴MA2=MD·ME，
（2）∵△MAE∽△MDA，∴■=■，■=■，
∴■=■·■=■
评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC。
命题2 如图，如果AB2=AD·AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
二、证明两角相等、两线平行和线段相等
例3. 已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且■=■=■。
求证：∠AEF=∠FBD
分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形。
证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=3■k∵∠ADB=45°，∠FGD=90°∴∠DFG=45°∴DG=FG=■∴BG=3■k-■k=2■k∴■=■=■
又∠A=∠FGB=90°∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD
例4. 已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD。
分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有许多比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实，要证明AF∥CD，只要证明■=■即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：∵AB∥ED，BC∥FE∴■=■，■=■∴两式相乘可得：■=■
例5. 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG。
分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到■=■（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。
证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 则有■=■而FC∥DE ∴△AED∽△AFC
则有■=■∴又■=■=■∵BE=DE（正方形的边长相等）∴■=■，即GF=CF。
总之，通过类比教学，可以让学生更易理解和掌握数学新知，达到事半功倍的效果。因此，教师在课堂教学中要灵活地运用类比法进行教学。
（作者单位：江西省赣州市南康区第六中学 341000）
关键词：数学教学；类比教学；教学感受
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）04-0099
九年级数学《相似形》的第五节相似三角形的性质的教学，以笔者的经验，通过联系三角形全等的性质来类比教学，更能让学生接受。
全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，从而推出：全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等。
这就是说：“全等”对应着“相等”，而相似三角形的性质显然有：对应边成比例、对应角相等。能否类似地推出：对应高、对应中线、对应角平分线分别成比例。也就是说：“相似”对应着“边成比例”。让学生自觉阅读后掌握此性质，这就达到了预期的效果。
全等三角形的对应高相等，证明方法有两种：1.利用对应角相等、对应边相等，再用AAS可证；2.利用面积相等、对应边相等也可证得对应高相等。而相似三角形的对应高成比例的证明，只利用了对应角相等来证，仅此一法。而这正是突出了利用两个角对应相等的两个三角形相似的判定方法。
至于利用对应高成比例来说明边角废料的充分利用，在教材中更为重要，在全等三角形对应高相等的应用知识可看以下探究过程：
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）。
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1。
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∵△ABC∽△A′B′C′
AB⊥BC，A′D′⊥B′C′
■=■=K
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成。
分析示意图：结论→∽（欠缺条件）→∽（已知）
△ABC∽△A′B′C′
BM=MC，B′M′⊥M′C′
■=■=K
∴△ABC∽△A′B′C′
∴∠1=∠2，∠3=∠4
■=■=K
以上两种情况的证明可由学生完成。
应用：如图，A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN，求证：MN∥AD。
证明分析：若MN∥AD，则MN上的点到AD上的距离都相等，现在反过来，MN上的两点到AD的距离相等时，MN是否与AD平行？
过M、N分别作AD的垂线段MP、NQ易证：△AMB≌△CND（SSS），故MP=NQ.∴四边形MNQP是矩形（易证），∴MN∥PQ，故MN∥AD。
相似三角形性质的应用主要运用在以下几个方面：
一、证明比例式和乘积式
例如：例1. △ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE。
解析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF∶FE=BC∶AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：
证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，
∵DK∥AB，∴DF∶FE=BK∶BE
又∵AD=BE，∴DF∶FE=BK∶AD，而BK∶AD=BC∶AC
即DF：FE= BC：AC，∴DF·AC=BC·FE
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MD·ME；
（2）■=■
证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，
（上接第99页）
∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴■=■，∴MA2=MD·ME，
（2）∵△MAE∽△MDA，∴■=■，■=■，
∴■=■·■=■
评注：命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC。
命题2 如图，如果AB2=AD·AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
二、证明两角相等、两线平行和线段相等
例3. 已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且■=■=■。
求证：∠AEF=∠FBD
分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形。
证明：作FG⊥BD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=3■k∵∠ADB=45°，∠FGD=90°∴∠DFG=45°∴DG=FG=■∴BG=3■k-■k=2■k∴■=■=■
又∠A=∠FGB=90°∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD
例4. 已知A、C、E和B、F、D分別是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD。
分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有许多比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实，要证明AF∥CD，只要证明■=■即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：∵AB∥ED，BC∥FE∴■=■，■=■∴两式相乘可得：■=■
例5. 直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG。
分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到■=■（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。
证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF 则有■=■而FC∥DE ∴△AED∽△AFC
则有■=■∴又■=■=■∵BE=DE（正方形的边长相等）∴■=■，即GF=CF。
总之，通过类比教学，可以让学生更易理解和掌握数学新知，达到事半功倍的效果。因此，教师在课堂教学中要灵活地运用类比法进行教学。
（作者单位：江西省赣州市南康区第六中学 341000）