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第四次新课程下的2010年广东高考数学试题(理科),语言朴实简洁,构思自然流畅,字里行间都渗透着新课标理念;细细品味,试题精彩纷呈,难易试题错落有致,解答时如同欣赏一首名曲,时而悠扬婉转,时而激昂澎湃,跌宕起伏,扣人心弦.这些都无不显示出命题者的用心和智慧,也禁不住让人佩服和赞叹!
亮点一:让数学试题“现代化”
翻开今年的试卷,最令高三备考人吃惊的是在课程改革时新增加的数学知识考查的分量比往年有大幅度的提高.今年涉及新增加知识点的考题,如第6、7、8、10、13、17、19等题共高达49分,这让许多习惯于考查传统重点数学知识的师生惊诧不已!也让那些“手握必考点,高考操胜券”的考生目瞪口呆!在前几年高考试题中,如果说对新增知识点的考查只是“犹抱琵琶半遮面”,那么在今年的高考试题中,对新增加的知识点的考查已是“小舟撑出柳荫来”.其实,我们在学习《普通高中数学课程标准(实验)》时会发现:在课程改革中,对传统的重点数学知识进行了“削枝强干”;对适应时代发展要求的“现代数学知识”进行了大幅度增加,如新增加的算法、概率统计等知识共有114学时,占高中理科数学总学时的35%.因此,在高考数学试题中,让数学试题“现代化”是新课程标准的内在要求,也是适应时代发展的必然结果;同时,在新课程的实施过程中,这也是高考命题者坚持“稳中有变”思想的具体体现.在四年高考不断变革中,对“现代数学知识”的考查今年首次达到了它应有的分量.
亮点二:让数学试题“生活化”
自1997年高考数学试题中采用数学应用题以来,有关数学应用题的教学和研究受到了广大师生的重视.数学应用题背景新颖,让学生“站在同一条起跑线上”接受考查,符合考试公平、公正的原则.其次,采用数学应用题也有利于全面考查学生的综合素质,因为采用数学应用题对学生进行考查,实际上是让学生在体验阅读自学、提炼问题、分析和解决问题的过程中展现自己的各项能力和素质,这种让学生“再创造”的考查形式有利于优秀学生脱颖而出.然而,在以往的高考数学应用试题中,大多数都是“人工技巧化”的试题,注重考查的是计算和解题技巧.数学源于生活但又高于生活.因此,在高考中采用“生活化”的数学应用题才是合情合理的现实要求,这也是引导学生“用数学眼光观察世界、用数学头脑思考世界”的有效方式.在2010年高考中,数学应用题的分量加大,而且背景更趋于“生活化”,这让广大的考生倍感亲切和自然.今年试卷中第8题就是一道值得我们细细品味的好题.
题目:为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是().
A. 1205秒B. 1200秒
C. 1195秒D. 1190秒
简析:这道试题的背景平凡、自然.要解决这道题首先是要读懂材料,然后是从材料中提炼出数学问题,从而进一步进行分析并加以解决.在提炼问题时,首先是要明白计算“所有不同的闪烁”实际上是一个5元素的全排列问题;其次,我们还要理解和明白何谓“一次闪烁”、“一次闪烁的时间是多长”、“所有不同的闪烁间共有多少个间隔”等问题,只有分析并解决好了这一连串的问题,我们才能得出正确的结论.让学生在熟视无睹的场景中去“发现”熟悉的知识和方法,考查的重点不是学生掌握的知识和技能,而是他们在阅读中迅速收集和处理信息的能力.“多考一点想、少考一点算”的命题思想在试题上得到了升华.
亮点三:让数学试题“思维化”
《普通高中数学课程标准(实验)》已经明确提出:高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一.数学是思维的体操,它在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.因此,无论是在高中生的素质培养上还是在高中生的选拔性考试中都要有目的地命制有一定思维深度和广度的数学试题.今年高考试卷中的第21题就是一道适合考查学生思维能力的好题.
题目:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=x2-x1+y2-y1.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),(1)若点C(x, y)是平面上的点,试证明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ ρ(A,B);(2)在平面xOy上是否存在点C(x, y),同时满足:①ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);②ρ(A,C)= ρ(C,B).若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.
简析:这道试题简短精炼,题意主要是理解一个定义.第(1)问是命题者希望考生进一步理解定义,并在此基础上再利用绝对不等式的性质去证明结论. 即ρ(A,C)+ρ(C,B)=x-x1+y-y1+x2-x+y2-y≥(x-x1)+(x2-x)+(y-y1)+(y2-y)=x2-x1+y2-y1≥ρ(A,B).
第(2)问是一个探究性问题,是本题考查的重点. 在xOy平面上是否存在同时满足① ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);② ρ(A,C)= ρ(C,B)的点C(x, y).
我们先考虑条件①,它实际上是第(1)问的深度考查.条件①成立即是不等式组:(x-x1)(x2-x)≥0(y-y1)(y2-y)≥0?圳
(x-x1)(x-x2)≤0(y-y1)(y-y2)≤0(*)成立,解答不等式组要先讨论x1与x2、y1与y2的大小.
下面考虑条件② ρ(A,C)= ρ(C,B),即:|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(**).解答时需要先去绝对值,也需要先讨论x与x1、x2和y与y1、y2的大小.
若x1=x2、y1≠y2,不妨设y1>y2,则(*)式为x=x1y2≤y≤y1,此时(**)式为y==y0,设AB的中点坐标为(x0,y0)(下文均相同),则点C即是AB的中点.
同理可求:当y1=y2,x1≠x2时,点C也是AB的中点.
若x1≠x2、y1≠y2,先不妨设x1>x2、y1>y2,则(*)式为x2≤x≤x1y2≤y≤y1,此时(**)式为x+y=x0+y0.则点C的轨迹是一条经过AB中点的线段x+y=x0+y0(x2≤x≤x1y2≤y≤y1).
同理可求:当x1>x2、y1 综上所述,当x1=x2、y1≠y2或y1=y2,x1≠x2时,符合条件的点C只有一个,即AB的中点;当x1≠x2、y1≠y2时,符合条件的点C有无数个,即经过AB的中点的一条线段x+y=x0+y0(x2≤x≤x1y2≤y≤y1)或x-y=x0-y0(x2≤x≤x1y1≤y≤y2).
欣然搁笔,回味无穷.本题两问由浅入深、逐步推进,解答时考生从定势思维转向发散性思维,考生在探究的过程中的思维力和想象力得到了淋漓尽致的发挥.同时,这也让我们清楚地看到:一道“以能力立意”的好题不仅考查了学生掌握的知识和技能,而且还能在解答的过程中全方位地展示他们的聪明才智、情感态度和价值观,这正是我们实施新课程标准所希望达到的目标.
责任编辑 罗 峰
亮点一:让数学试题“现代化”
翻开今年的试卷,最令高三备考人吃惊的是在课程改革时新增加的数学知识考查的分量比往年有大幅度的提高.今年涉及新增加知识点的考题,如第6、7、8、10、13、17、19等题共高达49分,这让许多习惯于考查传统重点数学知识的师生惊诧不已!也让那些“手握必考点,高考操胜券”的考生目瞪口呆!在前几年高考试题中,如果说对新增知识点的考查只是“犹抱琵琶半遮面”,那么在今年的高考试题中,对新增加的知识点的考查已是“小舟撑出柳荫来”.其实,我们在学习《普通高中数学课程标准(实验)》时会发现:在课程改革中,对传统的重点数学知识进行了“削枝强干”;对适应时代发展要求的“现代数学知识”进行了大幅度增加,如新增加的算法、概率统计等知识共有114学时,占高中理科数学总学时的35%.因此,在高考数学试题中,让数学试题“现代化”是新课程标准的内在要求,也是适应时代发展的必然结果;同时,在新课程的实施过程中,这也是高考命题者坚持“稳中有变”思想的具体体现.在四年高考不断变革中,对“现代数学知识”的考查今年首次达到了它应有的分量.
亮点二:让数学试题“生活化”
自1997年高考数学试题中采用数学应用题以来,有关数学应用题的教学和研究受到了广大师生的重视.数学应用题背景新颖,让学生“站在同一条起跑线上”接受考查,符合考试公平、公正的原则.其次,采用数学应用题也有利于全面考查学生的综合素质,因为采用数学应用题对学生进行考查,实际上是让学生在体验阅读自学、提炼问题、分析和解决问题的过程中展现自己的各项能力和素质,这种让学生“再创造”的考查形式有利于优秀学生脱颖而出.然而,在以往的高考数学应用试题中,大多数都是“人工技巧化”的试题,注重考查的是计算和解题技巧.数学源于生活但又高于生活.因此,在高考中采用“生活化”的数学应用题才是合情合理的现实要求,这也是引导学生“用数学眼光观察世界、用数学头脑思考世界”的有效方式.在2010年高考中,数学应用题的分量加大,而且背景更趋于“生活化”,这让广大的考生倍感亲切和自然.今年试卷中第8题就是一道值得我们细细品味的好题.
题目:为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是().
A. 1205秒B. 1200秒
C. 1195秒D. 1190秒
简析:这道试题的背景平凡、自然.要解决这道题首先是要读懂材料,然后是从材料中提炼出数学问题,从而进一步进行分析并加以解决.在提炼问题时,首先是要明白计算“所有不同的闪烁”实际上是一个5元素的全排列问题;其次,我们还要理解和明白何谓“一次闪烁”、“一次闪烁的时间是多长”、“所有不同的闪烁间共有多少个间隔”等问题,只有分析并解决好了这一连串的问题,我们才能得出正确的结论.让学生在熟视无睹的场景中去“发现”熟悉的知识和方法,考查的重点不是学生掌握的知识和技能,而是他们在阅读中迅速收集和处理信息的能力.“多考一点想、少考一点算”的命题思想在试题上得到了升华.
亮点三:让数学试题“思维化”
《普通高中数学课程标准(实验)》已经明确提出:高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一.数学是思维的体操,它在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.因此,无论是在高中生的素质培养上还是在高中生的选拔性考试中都要有目的地命制有一定思维深度和广度的数学试题.今年高考试卷中的第21题就是一道适合考查学生思维能力的好题.
题目:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=x2-x1+y2-y1.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),(1)若点C(x, y)是平面上的点,试证明:ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ ρ(A,B);(2)在平面xOy上是否存在点C(x, y),同时满足:①ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);②ρ(A,C)= ρ(C,B).若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.
简析:这道试题简短精炼,题意主要是理解一个定义.第(1)问是命题者希望考生进一步理解定义,并在此基础上再利用绝对不等式的性质去证明结论. 即ρ(A,C)+ρ(C,B)=x-x1+y-y1+x2-x+y2-y≥(x-x1)+(x2-x)+(y-y1)+(y2-y)=x2-x1+y2-y1≥ρ(A,B).
第(2)问是一个探究性问题,是本题考查的重点. 在xOy平面上是否存在同时满足① ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);② ρ(A,C)= ρ(C,B)的点C(x, y).
我们先考虑条件①,它实际上是第(1)问的深度考查.条件①成立即是不等式组:(x-x1)(x2-x)≥0(y-y1)(y2-y)≥0?圳
(x-x1)(x-x2)≤0(y-y1)(y-y2)≤0(*)成立,解答不等式组要先讨论x1与x2、y1与y2的大小.
下面考虑条件② ρ(A,C)= ρ(C,B),即:|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(**).解答时需要先去绝对值,也需要先讨论x与x1、x2和y与y1、y2的大小.
若x1=x2、y1≠y2,不妨设y1>y2,则(*)式为x=x1y2≤y≤y1,此时(**)式为y==y0,设AB的中点坐标为(x0,y0)(下文均相同),则点C即是AB的中点.
同理可求:当y1=y2,x1≠x2时,点C也是AB的中点.
若x1≠x2、y1≠y2,先不妨设x1>x2、y1>y2,则(*)式为x2≤x≤x1y2≤y≤y1,此时(**)式为x+y=x0+y0.则点C的轨迹是一条经过AB中点的线段x+y=x0+y0(x2≤x≤x1y2≤y≤y1).
同理可求:当x1>x2、y1
欣然搁笔,回味无穷.本题两问由浅入深、逐步推进,解答时考生从定势思维转向发散性思维,考生在探究的过程中的思维力和想象力得到了淋漓尽致的发挥.同时,这也让我们清楚地看到:一道“以能力立意”的好题不仅考查了学生掌握的知识和技能,而且还能在解答的过程中全方位地展示他们的聪明才智、情感态度和价值观,这正是我们实施新课程标准所希望达到的目标.
责任编辑 罗 峰