论文部分内容阅读
教学片段：
数学课上，教师出示这样一道题：一个长方形长是12厘米，从中剪去一个最大的正方形，剩下长方形的周长是多少？
生1：这题没法解答，因为没有告诉宽啊？
师反问：真的没法解答吗？
学生纷纷拿出纸张开始画图，寻找解题的办法。
生2：我是采用假设数据的办法解答的，假设长方形的宽是11厘米，剪去一个最大的正方形后（如图1所示），剩下长方形的长为11厘米，宽为：12-11=1（厘米），阴影部分的周长：（11+1）×2=24（厘米）。
生3：我也是采用假设数据办法进行解答的。不同的是，我假设的宽是10厘米，剩下长方形的长就是原来的宽是10厘米，新的宽等于12-10=2（厘米），长方形的周长：（10+2）×2=24（厘米）。
生4：我也是采用假设的办法解决问题的，经过计算发现：宽只要是小于12厘米的任何一个数据，经过计算剩下长方形的周长都是24厘米，是不变的。
生5：我发现，从长方形中剪下一个最大的正方形后，剩下长方形的周长等于原来长方形长的2倍。
师追问：这位同学很善于观察和猜想，但是仅仅靠几个例子就得到结论是否合理呢，结论是否正确呢？如果不假设数据，是否也能计算出长方形的周长？
学生经历思考和实验操作后，开始发表自己的见解。
生5：我把宽的长度用字母x表示（如图2所示），剪去最大正方形后剩下长方形的长就是原来的宽x厘米，新的宽为(12-x)厘米，长方形的周长等于（12-x+x）×2，加x和减去x可以互相抵消，所以最后的结果为12×2=24（厘米），这里用字母x来表示长方形的宽，可以把宽的各种不同的情况全部包括。
师：如果宽不用数值或者字母来表示，你能否根据图形之间的关系得到阴影部分的周长？
学生再次进入思考的状态，在自己的本子上点点画画。
生6：(如图3所示)在长方形ABDE中，剪去一个最大的正方形，剩下是一个长方形CDEF，长方形CDEF的周长=（CF+FE）×2。因为ABCF是正方形，四条边相等，所以CF=AF，可以推出CF+FE=AF+FE，而AF+FE=AE，也就是原来长方形的长为12厘米，所以阴影部分的周长是12×2=24（厘米）。
大家被他严谨的论证和周密的推理所折服，教室中爆发出热烈的掌声。
生7：刚才这位同学的说理十分清楚，我们无需假设长方形宽的数据，经过CF=AF的数量替换，就能发现剩下的长方形的周长等于原来长方形的长的2倍。这种方法真巧妙！
师：同学们做这一题时都是采用画图的方法来呈现条件和问题，把复杂的问题简单化了，大部分同学采用假设长方形宽为具体的数值进行操作后计算得到长方形的周长，有的同学结合自己的观察大胆地提出了自己的猜想。为了验证猜想是否正确，有的同学还用了字母来表示宽，经过演算后得到长方形的周长，更有同学根据正方形的特征，推理得到长方形的周长，验证我们的猜想，经历了类似数学家发现问题、提出问题、解决问题、验证问题的历程，老师已经听到了同学们思维拔节生长的声音！真为你们感到高兴！
【反思】
对学生而言，纯文字形式呈现的问题相对比较抽象，仅凭文字叙述有时很难直接看出题中的数量关系，所以才有了学生质疑：“没告诉宽，没法解答。”《义务教育数学课程标准(2011年)》（以下简称《课标》）明确指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。所以有相当一部分学生经过思考后借助图形来表征数学事实，进而把复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生洞察数学对象的结构和关系，便于学生借助几何直观进行分析和想象，展开丰富多彩的直观推理。
学生个性化的解决问题的方法彰显了思维的独特性与独立性。第一种通过画图后假设长方形中宽的具体数值，来计算裁剪之后长方形的周长，采用列举不同数据的方法进行计算，这也是学生常用的方法。学生通过思考发现虽然列举数据不同，但最后的结果相同，变与不变的函数思想悄然间在学生心中绽放。同时进一步思考提出了“从长方形中剪下一个最大的正方形后，剩下长方形的周长等于原来长方形长的2倍”这一猜想，但是教师指出：仅仅通过一组数据或者几组数据得到的结论是只能属于猜想阶段，是属于不完全归纳法得到的结论，是否具有普遍性还有待于检验。教师指明了问题所在以及验证的方向。我们欣喜地看到学生基于数学现象观察、提出自己的问题、提出自己的猜想，合情推理的种子开始萌芽。
为了证明自己猜想的正确性，在这样的问题驱动下，学生为了能够把宽为各种不同的数值情况全部囊括，自然而然想到了“用符号表示具体情境中的数量关系和变化规律，并用符号进行了运算和推理”。学生用字母x来表示宽，经过运算，也能得到长方形的周长。符号x把宽的所有情况涵盖，彰显了字母丰富的内涵，使学生深刻地体会到符号的简明性和一般性，发展了学生的符号意识和抽象能力，使得学生从算数思想走向代数思想，数学建模的思想得到了很好的渗透。
最后一种方法，学生不自觉使用演绎推理的方法，根据图形的特征以及图形之间的关系，经过等量代换得到长方形的周长，从而使通过不完全归纳法获得的猜想得到了验证，使其更具有普遍意义，显示推理的力量和数学理性的魅力。学生遵循逻辑顺序分析问题，并能根据充足的依据（正方形四条边相等）进行推断，内部的思维条理性通过外部数学语言的表述呈现了出来，数学语言表达能力得到了锤炼。同样，学生在推理过程中，能够使用准确的数学语言表述推理的过程、概括推理的结果，对于发展学生的思维的严谨性、深刻性和条理性大有裨益。
《课标》明确提出：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。因此在日常的数学活动中，教师要有意识地让学生基于一定的观察，凭借经验和直觉，大胆猜测某种数学结论或者规律，进行着“从特殊到一般的推理”即发展学生的合情推理能力，当然推理的结果具有偶然性和或然性，这就需要我们教师要引导学生通过具体的验证活动，引导学生进行“从一般到特殊的推理”，即开展演绎推理，利用已有的事实和确定的规则，进行着“数学化”验证和计算，确保数学的严谨和准确。让学生感受数学理性的精神、美感和力量。大胆猜想是合情推理的根，严谨求证是演绎推理的魂，在数学课上把两种推理巧妙地结合起来，让学生学会数学地思考与表达。最终使得学生数学的学习过程成为猜想之旅、发现之旅、验证之旅，提高学生的创新意识和能力。
(作者单位：江苏省徐州市贾汪区实验小学 责任编辑：王彬)
数学课上，教师出示这样一道题：一个长方形长是12厘米，从中剪去一个最大的正方形，剩下长方形的周长是多少？
生1：这题没法解答，因为没有告诉宽啊？
师反问：真的没法解答吗？
学生纷纷拿出纸张开始画图，寻找解题的办法。
生2：我是采用假设数据的办法解答的，假设长方形的宽是11厘米，剪去一个最大的正方形后（如图1所示），剩下长方形的长为11厘米，宽为：12-11=1（厘米），阴影部分的周长：（11+1）×2=24（厘米）。
生3：我也是采用假设数据办法进行解答的。不同的是，我假设的宽是10厘米，剩下长方形的长就是原来的宽是10厘米，新的宽等于12-10=2（厘米），长方形的周长：（10+2）×2=24（厘米）。
生4：我也是采用假设的办法解决问题的，经过计算发现：宽只要是小于12厘米的任何一个数据，经过计算剩下长方形的周长都是24厘米，是不变的。
生5：我发现，从长方形中剪下一个最大的正方形后，剩下长方形的周长等于原来长方形长的2倍。
师追问：这位同学很善于观察和猜想，但是仅仅靠几个例子就得到结论是否合理呢，结论是否正确呢？如果不假设数据，是否也能计算出长方形的周长？
学生经历思考和实验操作后，开始发表自己的见解。
生5：我把宽的长度用字母x表示（如图2所示），剪去最大正方形后剩下长方形的长就是原来的宽x厘米，新的宽为(12-x)厘米，长方形的周长等于（12-x+x）×2，加x和减去x可以互相抵消，所以最后的结果为12×2=24（厘米），这里用字母x来表示长方形的宽，可以把宽的各种不同的情况全部包括。
师：如果宽不用数值或者字母来表示，你能否根据图形之间的关系得到阴影部分的周长？
学生再次进入思考的状态，在自己的本子上点点画画。
生6：(如图3所示)在长方形ABDE中，剪去一个最大的正方形，剩下是一个长方形CDEF，长方形CDEF的周长=（CF+FE）×2。因为ABCF是正方形，四条边相等，所以CF=AF，可以推出CF+FE=AF+FE，而AF+FE=AE，也就是原来长方形的长为12厘米，所以阴影部分的周长是12×2=24（厘米）。
大家被他严谨的论证和周密的推理所折服，教室中爆发出热烈的掌声。
生7：刚才这位同学的说理十分清楚，我们无需假设长方形宽的数据，经过CF=AF的数量替换，就能发现剩下的长方形的周长等于原来长方形的长的2倍。这种方法真巧妙！
师：同学们做这一题时都是采用画图的方法来呈现条件和问题，把复杂的问题简单化了，大部分同学采用假设长方形宽为具体的数值进行操作后计算得到长方形的周长，有的同学结合自己的观察大胆地提出了自己的猜想。为了验证猜想是否正确，有的同学还用了字母来表示宽，经过演算后得到长方形的周长，更有同学根据正方形的特征，推理得到长方形的周长，验证我们的猜想，经历了类似数学家发现问题、提出问题、解决问题、验证问题的历程，老师已经听到了同学们思维拔节生长的声音！真为你们感到高兴！
【反思】
对学生而言，纯文字形式呈现的问题相对比较抽象，仅凭文字叙述有时很难直接看出题中的数量关系，所以才有了学生质疑：“没告诉宽，没法解答。”《义务教育数学课程标准(2011年)》（以下简称《课标》）明确指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。所以有相当一部分学生经过思考后借助图形来表征数学事实，进而把复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生洞察数学对象的结构和关系，便于学生借助几何直观进行分析和想象，展开丰富多彩的直观推理。
学生个性化的解决问题的方法彰显了思维的独特性与独立性。第一种通过画图后假设长方形中宽的具体数值，来计算裁剪之后长方形的周长，采用列举不同数据的方法进行计算，这也是学生常用的方法。学生通过思考发现虽然列举数据不同，但最后的结果相同，变与不变的函数思想悄然间在学生心中绽放。同时进一步思考提出了“从长方形中剪下一个最大的正方形后，剩下长方形的周长等于原来长方形长的2倍”这一猜想，但是教师指出：仅仅通过一组数据或者几组数据得到的结论是只能属于猜想阶段，是属于不完全归纳法得到的结论，是否具有普遍性还有待于检验。教师指明了问题所在以及验证的方向。我们欣喜地看到学生基于数学现象观察、提出自己的问题、提出自己的猜想，合情推理的种子开始萌芽。
为了证明自己猜想的正确性，在这样的问题驱动下，学生为了能够把宽为各种不同的数值情况全部囊括，自然而然想到了“用符号表示具体情境中的数量关系和变化规律，并用符号进行了运算和推理”。学生用字母x来表示宽，经过运算，也能得到长方形的周长。符号x把宽的所有情况涵盖，彰显了字母丰富的内涵，使学生深刻地体会到符号的简明性和一般性，发展了学生的符号意识和抽象能力，使得学生从算数思想走向代数思想，数学建模的思想得到了很好的渗透。
最后一种方法，学生不自觉使用演绎推理的方法，根据图形的特征以及图形之间的关系，经过等量代换得到长方形的周长，从而使通过不完全归纳法获得的猜想得到了验证，使其更具有普遍意义，显示推理的力量和数学理性的魅力。学生遵循逻辑顺序分析问题，并能根据充足的依据（正方形四条边相等）进行推断，内部的思维条理性通过外部数学语言的表述呈现了出来，数学语言表达能力得到了锤炼。同样，学生在推理过程中，能够使用准确的数学语言表述推理的过程、概括推理的结果，对于发展学生的思维的严谨性、深刻性和条理性大有裨益。
《课标》明确提出：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。因此在日常的数学活动中，教师要有意识地让学生基于一定的观察，凭借经验和直觉，大胆猜测某种数学结论或者规律，进行着“从特殊到一般的推理”即发展学生的合情推理能力，当然推理的结果具有偶然性和或然性，这就需要我们教师要引导学生通过具体的验证活动，引导学生进行“从一般到特殊的推理”，即开展演绎推理，利用已有的事实和确定的规则，进行着“数学化”验证和计算，确保数学的严谨和准确。让学生感受数学理性的精神、美感和力量。大胆猜想是合情推理的根，严谨求证是演绎推理的魂，在数学课上把两种推理巧妙地结合起来，让学生学会数学地思考与表达。最终使得学生数学的学习过程成为猜想之旅、发现之旅、验证之旅，提高学生的创新意识和能力。
(作者单位：江苏省徐州市贾汪区实验小学 责任编辑：王彬)