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摘 要：在课堂教学中，合理利用“错误”，将其变“废”为“宝”，成为学生课堂学习的重要资源，其意义深刻。
关键词：错误；解题能力；合作探究；师德
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）19-091-2
一、暴露学生的知识弱点，指明教学方向
犯错误是学习过程中自然存在的一种现象。在教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的。事实上，一方面可以充分暴露学生知识点薄弱环节，可以对症下药；另一方面，有时错误比正确更有教学价值，更重要的是学生的错误可以让教师的教学方向更明确。
案例1：已知双曲线右准线为x=4，右焦点F（10，0），离心率e=2，求双曲线方程。
（请两位同学上黑板解答，其他同学在下面做，教师要留意下面同学做的情况）
学生1 ∵x=a2c=4，c=10，∴a2=40，∴b2=c2-a2=60。
故所求的双曲线方程为x240-y260=1。
学生2 由焦点F（10，0）知c=10，∵e=ca=2，∴a=5，b2=c2-a2=75。
故所求的双曲线方程为x225-y275=1。
毫无疑问，这两个解法都是错误的，两位同学都误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件（班上有近一半人都这样认为的）。由于判断错误，而造成解法错误。这里充分暴露了同学们在学习椭圆的标准方程及简单的几何性质时，没能从真正意义上体会和感受教师所讲解的数学概念和相关的知识点。鉴于此，我觉得数学教师在备课时一定要把主要的精力放在如何讲透概念上，课堂上重点是让学生真正懂得数学概念的本质。有时学生的错误更是一种真实的、有价值的课程资源，通过学生的错误，教师可以及时发现学生所学知识的不足，发现他们思维中的困惑。针对作业中生成的这些错误，需要教师把错误当成教学的有效资源，善于适时放大有利用价值的错误资源，透过错误的分析使学生找到错因，弄清道理，吸取教训。帮助学生及时解除思维中的困惑，突破学习的难点，从而更扎实有效地掌握新知。
二、分析错误的原因，提高数学解题能力
数学解题的思维过程是数学问题的变换过程；数学问题的推广、引申和应用过程是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维深化过程和数学知识发展的过程。在教学中，学生常常会犯这样或那样的错误，如果教师在平时的教学中注意引导学生分析错误的原因，注意收集错题及解决的方法，避免以后的学习中再犯同样的错误。
案例2：双曲线x29-y216=1上有一点P到左准线的距离为165，则P到右焦点的距离为 。
学生错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x29-y216=1，易求得a=3，c=5，从而离心率e=53，再由第二定义，易求|PF1|=ed1=53×165=163，于是又由第一定义||PF2|-|PF1||=2a=6，得|PF2|=6±163。
事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离|A2F1|=a c=8，而163<8，故点P只能在左支，于是|PF2|=6 163=343。一般地，若|PF1|≥a c，则P可能在两支上，若|PF1| 三、解决错误，激发学生数学学习的兴趣
兴趣是数学学习最好的老师，作为数学教师最重要的是培养学生学习数学的兴趣。当学生学完知识，应用自己掌握的知识解决问题、找出错误时，学生就会产生了强烈的纠错感。同时在解决问题、寻找到错误的过程中让学生体会到学习的成就感，更能激发学生学习数学的强烈兴趣。
案例3：求与y轴相切于右侧，并与⊙C：x2 y2-6x=0也相切的圆的圆心的轨迹方程。
学生错解：已知⊙C的方程为（x-3）2 y2=9。设点P（x，y）（x>0）为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得
|CP|=|PM| 3，即（x-3）2 y2=x 3，化简得y2=12x（x>0）。
教师：本题只考虑了所求轨迹的充分性，而没有考虑所求轨迹的必要性。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。
学生：还有一部分忽视了。
教师：我们还请刚才那位同学上黑板解决，其他同学在下面完成。
（学生在黑板上给出下面的部分）
从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y=0（x>0且x≠3）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2=12x（x>0）和y=0（x>0且x≠3）。（其他同学也相继完成）
对于补充的这一部分，我给予了充分的肯定。我看到这位同学脸上露出了微笑，我相信学生在发现问题、然后自己解决问题的过程中一定能体验收获，从而兴趣倍增。
四、充分利用错误，培养学生的自信心
我们说，错误是不可避免的，为此，我们必须正视错误的出现，更要尊重出错的学生，帮其树立自信心，不应对学生鄙视。应感谢这些为我们提供“错误”这一宝贵资源的学生，发挥“错误”潜能，发挥错误的价值。
案例4：1）若方程x2m y2=1表示椭圆，则m的范围是 。（0，1）∪（1， ∞）（漏解）
2）已知椭圆x2m y2=1的离心率为32，则m的值为 。4或14（漏解） 3）椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4 23且∠F1BF2=2π3，则椭圆的方程是 。x24 y2=1或x2 y24=1（漏解）
以上都是同学们练习时易出现漏解的题目，面对同学们犯的错误，尽管题目不难，可我没有对犯错误的学生给予批评和指责，更没有对此表现出失望。相反，我鼓励做错的同学重新做一遍，对于第二次做对的学生，我还是给予了肯定。从而大大增强他们的自信心，让他们知道只要自己多注意，就一定能做得很好。我们应善加利用“错误”，巧妙地运用这一教育资源，为学生的全面发展服务。
五、利用好错误，培养学生合作探究的能力
“当局者迷，旁观者清。”对于学生个人学习中产生的各种各样的错误，学生本人往往比较难于发现，许多时候需要靠合作学习来发现、分析、共同探讨解决。
案例5：如图，具有公共y轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角α-y轴-β等于60°。已知β内的曲线C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲线C′在α内的射影的曲线方程。
（学生板书）
学生1：依题意，可知曲线C′是抛物线，
在β内的焦点坐标是F′（p2，0），p>0。
因为二面角α-y轴-β等于60°，
且x′轴⊥y轴，x轴⊥y轴，所以∠xox′=60°。
设焦点F′在α内的射影是F（x，y），那么，F位于x轴上，
从而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°，
所以OF=OF′·cos60°=p2·12=p4。所以点F（p4，0）是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C′在α内的射影的曲线方程是y2=px。
（同学争议……）
此时，做错的同学一脸无奈，不知道自己哪里错了。我有目地引导同学们相互之间进行合作探讨，寻求正确的解法。（此时同学们讨论开来了……）
教师：下面我请一位同学回答。
学生2：上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影（曲线）的焦点，其次，没有证明默认C′在α内的射影（曲线）是一条抛物线。
学生3：应该重点寻找原曲线上的任意点和射影曲线上的任意点之间的关系，利用原曲线的方程得出射影曲线的方程。（详细解答略）
此时，教师应充分发扬民主，不急于点评错误，给学生辩驳“错误”的机会与空间，引导学生自己去分析产生错误的原因，体验寻求纠正错误的过程，进而让学生否定自己的错误。这样比教师权威性的、灌输性的正面点评，效果要好，学生从心理上更容易接受，学生主体性地位才能得以充分地体现出来，这对培养同学们相互合作也是大有裨益的。
关键词：错误；解题能力；合作探究；师德
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）19-091-2
一、暴露学生的知识弱点，指明教学方向
犯错误是学习过程中自然存在的一种现象。在教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的。事实上，一方面可以充分暴露学生知识点薄弱环节，可以对症下药；另一方面，有时错误比正确更有教学价值，更重要的是学生的错误可以让教师的教学方向更明确。
案例1：已知双曲线右准线为x=4，右焦点F（10，0），离心率e=2，求双曲线方程。
（请两位同学上黑板解答，其他同学在下面做，教师要留意下面同学做的情况）
学生1 ∵x=a2c=4，c=10，∴a2=40，∴b2=c2-a2=60。
故所求的双曲线方程为x240-y260=1。
学生2 由焦点F（10，0）知c=10，∵e=ca=2，∴a=5，b2=c2-a2=75。
故所求的双曲线方程为x225-y275=1。
毫无疑问，这两个解法都是错误的，两位同学都误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件（班上有近一半人都这样认为的）。由于判断错误，而造成解法错误。这里充分暴露了同学们在学习椭圆的标准方程及简单的几何性质时，没能从真正意义上体会和感受教师所讲解的数学概念和相关的知识点。鉴于此，我觉得数学教师在备课时一定要把主要的精力放在如何讲透概念上，课堂上重点是让学生真正懂得数学概念的本质。有时学生的错误更是一种真实的、有价值的课程资源，通过学生的错误，教师可以及时发现学生所学知识的不足，发现他们思维中的困惑。针对作业中生成的这些错误，需要教师把错误当成教学的有效资源，善于适时放大有利用价值的错误资源，透过错误的分析使学生找到错因，弄清道理，吸取教训。帮助学生及时解除思维中的困惑，突破学习的难点，从而更扎实有效地掌握新知。
二、分析错误的原因，提高数学解题能力
数学解题的思维过程是数学问题的变换过程；数学问题的推广、引申和应用过程是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维深化过程和数学知识发展的过程。在教学中，学生常常会犯这样或那样的错误，如果教师在平时的教学中注意引导学生分析错误的原因，注意收集错题及解决的方法，避免以后的学习中再犯同样的错误。
案例2：双曲线x29-y216=1上有一点P到左准线的距离为165，则P到右焦点的距离为 。
学生错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x29-y216=1，易求得a=3，c=5，从而离心率e=53，再由第二定义，易求|PF1|=ed1=53×165=163，于是又由第一定义||PF2|-|PF1||=2a=6，得|PF2|=6±163。
事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离|A2F1|=a c=8，而163<8，故点P只能在左支，于是|PF2|=6 163=343。一般地，若|PF1|≥a c，则P可能在两支上，若|PF1| 三、解决错误，激发学生数学学习的兴趣
兴趣是数学学习最好的老师，作为数学教师最重要的是培养学生学习数学的兴趣。当学生学完知识，应用自己掌握的知识解决问题、找出错误时，学生就会产生了强烈的纠错感。同时在解决问题、寻找到错误的过程中让学生体会到学习的成就感，更能激发学生学习数学的强烈兴趣。
案例3：求与y轴相切于右侧，并与⊙C：x2 y2-6x=0也相切的圆的圆心的轨迹方程。
学生错解：已知⊙C的方程为（x-3）2 y2=9。设点P（x，y）（x>0）为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与y轴相切于M点，与⊙C相切于N点。根据已知条件得
|CP|=|PM| 3，即（x-3）2 y2=x 3，化简得y2=12x（x>0）。
教师：本题只考虑了所求轨迹的充分性，而没有考虑所求轨迹的必要性。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。
学生：还有一部分忽视了。
教师：我们还请刚才那位同学上黑板解决，其他同学在下面完成。
（学生在黑板上给出下面的部分）
从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y=0（x>0且x≠3）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2=12x（x>0）和y=0（x>0且x≠3）。（其他同学也相继完成）
对于补充的这一部分，我给予了充分的肯定。我看到这位同学脸上露出了微笑，我相信学生在发现问题、然后自己解决问题的过程中一定能体验收获，从而兴趣倍增。
四、充分利用错误，培养学生的自信心
我们说，错误是不可避免的，为此，我们必须正视错误的出现，更要尊重出错的学生，帮其树立自信心，不应对学生鄙视。应感谢这些为我们提供“错误”这一宝贵资源的学生，发挥“错误”潜能，发挥错误的价值。
案例4：1）若方程x2m y2=1表示椭圆，则m的范围是 。（0，1）∪（1， ∞）（漏解）
2）已知椭圆x2m y2=1的离心率为32，则m的值为 。4或14（漏解） 3）椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4 23且∠F1BF2=2π3，则椭圆的方程是 。x24 y2=1或x2 y24=1（漏解）
以上都是同学们练习时易出现漏解的题目，面对同学们犯的错误，尽管题目不难，可我没有对犯错误的学生给予批评和指责，更没有对此表现出失望。相反，我鼓励做错的同学重新做一遍，对于第二次做对的学生，我还是给予了肯定。从而大大增强他们的自信心，让他们知道只要自己多注意，就一定能做得很好。我们应善加利用“错误”，巧妙地运用这一教育资源，为学生的全面发展服务。
五、利用好错误，培养学生合作探究的能力
“当局者迷，旁观者清。”对于学生个人学习中产生的各种各样的错误，学生本人往往比较难于发现，许多时候需要靠合作学习来发现、分析、共同探讨解决。
案例5：如图，具有公共y轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角α-y轴-β等于60°。已知β内的曲线C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲线C′在α内的射影的曲线方程。
（学生板书）
学生1：依题意，可知曲线C′是抛物线，
在β内的焦点坐标是F′（p2，0），p>0。
因为二面角α-y轴-β等于60°，
且x′轴⊥y轴，x轴⊥y轴，所以∠xox′=60°。
设焦点F′在α内的射影是F（x，y），那么，F位于x轴上，
从而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°，
所以OF=OF′·cos60°=p2·12=p4。所以点F（p4，0）是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C′在α内的射影的曲线方程是y2=px。
（同学争议……）
此时，做错的同学一脸无奈，不知道自己哪里错了。我有目地引导同学们相互之间进行合作探讨，寻求正确的解法。（此时同学们讨论开来了……）
教师：下面我请一位同学回答。
学生2：上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影（曲线）的焦点，其次，没有证明默认C′在α内的射影（曲线）是一条抛物线。
学生3：应该重点寻找原曲线上的任意点和射影曲线上的任意点之间的关系，利用原曲线的方程得出射影曲线的方程。（详细解答略）
此时，教师应充分发扬民主，不急于点评错误，给学生辩驳“错误”的机会与空间，引导学生自己去分析产生错误的原因，体验寻求纠正错误的过程，进而让学生否定自己的错误。这样比教师权威性的、灌输性的正面点评，效果要好，学生从心理上更容易接受，学生主体性地位才能得以充分地体现出来，这对培养同学们相互合作也是大有裨益的。