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【摘要】本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，逐步建立了三元数函数与解析的理论.
【关键词】数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析;半解析;幂级数
【中图分类号】O153.5 泛代数
一、引 言
三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》发表的《超越复数的三元数》《复数的多元数》，后东北师大《数学学习与研究》发表了《代数基本定理在高维数空间之证明》，多项式函数首先得到了深刻的研究.然而数空间里是否存在优美和谐的函数与解析理论呢？本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，尝试给出了一个有趣的解答.
二、三元数基础知识
1.三元数的代数运算与三维数空间
形如a bi cj（a，b，c∈R）的数叫作三元数，三元数通常用一个字母p来表示，即
p=a bi cj，全体三元数构成的集合叫作三元数集，用字母A3来表示，定义：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，则有：（a0 a1i a2j）±（b0 b1i b2j）=（a0±b0） （a1±b1）i （a2±b2）j，
（a0 a1i a2j）×（b0 b1i b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2） （a0b1 b0a1）i （a0b2 b0a2）j.
說明 （1）三元数的加法满足交换律、结合律，乘法满足交换律及对加法的分配律;
（2）除法是乘法的逆运算，两个三元数作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得.
建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫作三维数空间，简称数空间，仍用A3来表示.于是：
实数一一对应实轴上的点;
复数z=a bi一一对应复平面内点z（a，b）;
三元数p=a bi cj一一对应数空间内点p（a，b，c）.
2.三元数的几何表示与重要性质
三维数空间内的点p可以表示三元数，由于三元数集A3与三维数空间内所有以原点O为起点的向量OP所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），所以三元数也可以用起点在原点的向量来表示.p=a bi cj称为三元数的代数形式，p=rcosθ sinθicosφ jsinφ称为三元数的三角形式.
（1）三元数的模 与三元数p=a bi cj对应的向量OP的模（即有向线段OP的长度）r叫作三元数p=a bi cj的模（或绝对值），记作p或a bi cj，易知p=a bi cj=a2 b2 c2.
三元数模的几何意义是：三元数p在数空间内对应的点p到原点的距离.
（2）三元数的辐角与倾角 数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点p可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角φ称三元数p=a bi cj的倾角，φ=arctancb，平面xOp称倾角为φ的数平面，特别地，复平面是倾角为0的数平面，无数个数平面形成了数空间.当点p落在x轴上时，倾角φ值不定，也就是说：实数的倾角φ值不定.
以x轴的正半轴为始边，向量OP所在的射线（起点是O）为终边的角θ叫作三元数p=a bi cj的辐角，记作Argp.
（3）辐角的主值 在区间0，2π内的辐角θ的值叫作辐角的主值，记作argp，即0≤argp<2π.非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定.
说明 （1）三元数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一;
（2）复平面是倾角为0的数平面;
（3）在复平面上成立的结论，在其他倾角的数平面上也成立;
（4）代数形式p=a bi cj与相对应的三角形式p=rcosθ sinθicosφ jsinφ的互化公式：
a=rcosθ，b=rsinθcosφ，c=rsinθsinφ，具体依下列规则进行
先求r：r=a2 b2 c2，再求θ：由点p0（a，b）的所在象限及rcosθ=a共同确定（一般取最小正角），最后求φ：一般地，取φ=arctancb，-π2
【关键词】数平面;数空间;平面解析;空间解析;泛解析;半解析;幂级数
【中图分类号】O153.5 泛代数
一、引 言
三元数、多元数的研究始于曲阜师大《中学数学杂志》发表的《超越复数的三元数》《复数的多元数》，后东北师大《数学学习与研究》发表了《代数基本定理在高维数空间之证明》，多项式函数首先得到了深刻的研究.然而数空间里是否存在优美和谐的函数与解析理论呢？本文从复数理论出发，通过推广函数、解析等数学概念，尝试给出了一个有趣的解答.
二、三元数基础知识
1.三元数的代数运算与三维数空间
形如a bi cj（a，b，c∈R）的数叫作三元数，三元数通常用一个字母p来表示，即
p=a bi cj，全体三元数构成的集合叫作三元数集，用字母A3来表示，定义：（1）i2=j2=-1（2）i·j=0，则有：（a0 a1i a2j）±（b0 b1i b2j）=（a0±b0） （a1±b1）i （a2±b2）j，
（a0 a1i a2j）×（b0 b1i b2j）=（a0b0-a1b1-a2b2） （a0b1 b0a1）i （a0b2 b0a2）j.
說明 （1）三元数的加法满足交换律、结合律，乘法满足交换律及对加法的分配律;
（2）除法是乘法的逆运算，两个三元数作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得.
建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫作三维数空间，简称数空间，仍用A3来表示.于是：
实数一一对应实轴上的点;
复数z=a bi一一对应复平面内点z（a，b）;
三元数p=a bi cj一一对应数空间内点p（a，b，c）.
2.三元数的几何表示与重要性质
三维数空间内的点p可以表示三元数，由于三元数集A3与三维数空间内所有以原点O为起点的向量OP所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），所以三元数也可以用起点在原点的向量来表示.p=a bi cj称为三元数的代数形式，p=rcosθ sinθicosφ jsinφ称为三元数的三角形式.
（1）三元数的模 与三元数p=a bi cj对应的向量OP的模（即有向线段OP的长度）r叫作三元数p=a bi cj的模（或绝对值），记作p或a bi cj，易知p=a bi cj=a2 b2 c2.
三元数模的几何意义是：三元数p在数空间内对应的点p到原点的距离.
（2）三元数的辐角与倾角 数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点p可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角φ称三元数p=a bi cj的倾角，φ=arctancb，平面xOp称倾角为φ的数平面，特别地，复平面是倾角为0的数平面，无数个数平面形成了数空间.当点p落在x轴上时，倾角φ值不定，也就是说：实数的倾角φ值不定.
以x轴的正半轴为始边，向量OP所在的射线（起点是O）为终边的角θ叫作三元数p=a bi cj的辐角，记作Argp.
（3）辐角的主值 在区间0，2π内的辐角θ的值叫作辐角的主值，记作argp，即0≤argp<2π.非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定.
说明 （1）三元数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一;
（2）复平面是倾角为0的数平面;
（3）在复平面上成立的结论，在其他倾角的数平面上也成立;
（4）代数形式p=a bi cj与相对应的三角形式p=rcosθ sinθicosφ jsinφ的互化公式：
a=rcosθ，b=rsinθcosφ，c=rsinθsinφ，具体依下列规则进行
先求r：r=a2 b2 c2，再求θ：由点p0（a，b）的所在象限及rcosθ=a共同确定（一般取最小正角），最后求φ：一般地，取φ=arctancb，-π2